Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), so \(s-\frac{1}{s}=8\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(16\sqrt{17}\). Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), so \(s-\frac{1}{s}=8\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=8\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\)।
The product of denominators is (26-25=1), and the numerator is (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}). In exams, add conjugate fractions together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{26}\). The product of denominators is (26-25=1), and the numerator is (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}). In exams, add conjugate fractions together.
Step 3
Exam Tip
हरों का गुणनफल (26-25=1) है और अंश (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ें।
The product of the denominators is (25-24=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{24}\). In exams, first find the product of conjugate denominators.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{24}\). The product of the denominators is (25-24=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{24}\). In exams, first find the product of conjugate denominators.
Step 3
Exam Tip
हरों का गुणनफल (25-24=1) है और अंश \(2\sqrt{24}\) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें।
Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), so \(s-\frac{1}{s}=6\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(12\sqrt{10}\). Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), so \(s-\frac{1}{s}=6\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=6\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\)।
The product of denominators is (10-9=1), and the numerator is (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6). In exams, find the product of conjugate denominators first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6). The product of denominators is (10-9=1), and the numerator is (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6). In exams, find the product of conjugate denominators first.
Step 3
Exam Tip
हरों का गुणनफल (10-9=1) है और अंश (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6) है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें।
The product of the denominators is (16-15=1), and the numerator becomes (8). In exams, adding conjugate denominators together is a fast method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (8). The product of the denominators is (16-15=1), and the numerator becomes (8). In exams, adding conjugate denominators together is a fast method.
Step 3
Exam Tip
हरों का गुणनफल (16-15=1) है और अंश (8) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों को साथ जोड़ना तेज तरीका है।
Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), so \(s-\frac{1}{s}=4\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(8\sqrt{7}\). Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), so \(s-\frac{1}{s}=4\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=4\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\)।
Since \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15}\), (\frac{1}{p}-p=\(4+\sqrt{15}\)-\(4-\sqrt{15}\)=2\sqrt{15}). In exams, the conjugate gives the reciprocal directly when the denominator product is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{15}\). Since \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15}\), (\frac{1}{p}-p=\(4+\sqrt{15}\)-\(4-\sqrt{15}\)=2\sqrt{15}). In exams, the conjugate gives the reciprocal directly when the denominator product is (1).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15}\), इसलिए (\frac{1}{p}-p=\(4+\sqrt{15}\)-\(4-\sqrt{15}\)=2\sqrt{15})। परीक्षा में हर (1) बनने पर संयुग्म सीधे उत्तर देता है।
The product of denominators is (6-5=1), and the numerator is (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}). In exams, adding conjugate fractions is often easier together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{6}\). The product of denominators is (6-5=1), and the numerator is (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}). In exams, adding conjugate fractions is often easier together.
Step 3
Exam Tip
हरों का गुणनफल (6-5=1) है और अंश (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ना आसान होता है।
The product of denominators is (\(3-\sqrt{8}\)\(3+\sqrt{8}\)=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{8}\). In exams, quickly use the product of conjugate denominators.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{8}\). The product of denominators is (\(3-\sqrt{8}\)\(3+\sqrt{8}\)=1), and the numerator becomes \(2\sqrt{8}\). In exams, quickly use the product of conjugate denominators.
Step 3
Exam Tip
हरों का गुणनफल (\(3-\sqrt{8}\)\(3+\sqrt{8}\)=1) है और अंश \(2\sqrt{8}\) बनता है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल जल्दी निकालें।
The first term becomes \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\), and the second becomes \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\), so the sum is \(2\sqrt{3}\). In exams, rationalize both denominators separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{3}\). The first term becomes \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\), and the second becomes \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\), so the sum is \(2\sqrt{3}\). In exams, rationalize both denominators separately.
Step 3
Exam Tip
पहला पद \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) और दूसरा पद \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) बनता है, इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) है। परीक्षा में दोनों हरों को अलग-अलग परिमेय बनाएं।
Since \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4). In exams, identify conjugate numbers quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4). Since \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4). In exams, identify conjugate numbers quickly.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\), इसलिए (\frac{1}{x}+x=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4)। परीक्षा में संयुग्म संख्या तुरंत पहचानें।
Here \(\frac{1}{a}=2-\sqrt{3}\), so \(a+\frac{1}{a}=4\) and \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=4^{2}-2=14\). In exams, use the identity (\left\(a+\frac{1}{a}\right\)^{2}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (14). Here \(\frac{1}{a}=2-\sqrt{3}\), so \(a+\frac{1}{a}=4\) and \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=4^{2}-2=14\). In exams, use the identity (\left\(a+\frac{1}{a}\right\)^{2}).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{a}=2-\sqrt{3}\), इसलिए \(a+\frac{1}{a}=4\) और \(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=4^{2}-2=14\)। परीक्षा में (\left\(a+\frac{1}{a}\right\)^{2}) पहचान लगाएं।
Rationalizing gives \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2\). In exams, use the conjugate of the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{5}-2\). Rationalizing gives \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2\). In exams, use the conjugate of the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2\)। परीक्षा में हर के संयुग्म का प्रयोग करें।
To rationalize, \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\). In exams, multiply by the conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{3}\). To rationalize, \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\). In exams, multiply by the conjugate.
Step 3
Exam Tip
हर को परिमेय बनाने के लिए \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। परीक्षा में संयुग्म से गुणा करें।
Multiplying by the conjugate gives \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\). In exams divide by the common factor at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{15+\sqrt{221}}{2}\). Multiplying by the conjugate gives \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\). In exams divide by the common factor at the end.
Step 3
Exam Tip
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में अंत में समान गुणनखंड से भाग जरूर करें।
Multiplying by the conjugate of the denominator makes the denominator (10-9=1). Therefore the value is \(\sqrt{10}+3\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{10}+3\). Multiplying by the conjugate of the denominator makes the denominator (10-9=1). Therefore the value is \(\sqrt{10}+3\).
Step 3
Exam Tip
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (10-9=1) बनता है। इसलिए मान \(\sqrt{10}+3\) है।
Multiplying by the conjugate gives \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\). In exams simplify the fraction at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4-\sqrt{15}\). Multiplying by the conjugate gives \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\). In exams simplify the fraction at the end.
Step 3
Exam Tip
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\) मिलता है। परीक्षा में अंत में भिन्न को सरल करें।
Multiplying by the conjugate gives numerator (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) and denominator (2). So the value is \(4-\sqrt{15}\) and the correct simple option is A.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{4-\sqrt{15}}{2}\). Multiplying by the conjugate gives numerator (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) and denominator (2). So the value is \(4-\sqrt{15}\) and the correct simple option is A.
Step 3
Exam Tip
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर अंश (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) और हर (2) बनता है। इसलिए मान \(4-\sqrt{15}\) है पर सही सरल विकल्प A है।
\(\frac{1}{2+\sqrt{7}}\) equals \(\frac{2-\sqrt{7}}{-3}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\). So \(x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}-2}{3}=\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{7}\). \(\frac{1}{2+\sqrt{7}}\) equals \(\frac{2-\sqrt{7}}{-3}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\). So \(x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}-2}{3}=\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) नहीं बल्कि हर (4-7=-3) से मान \(\frac{2-\sqrt{7}}{3}\) है इसलिए सीधा विकल्प नहीं बनेगा। सही सरलीकरण जांचे बिना उत्तर न चुनें।
A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\)/For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\) / For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\). The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
Step 3
Exam Tip
\(5+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(5-\sqrt{2}\) है। परीक्षा में बीच का चिन्ह बदलना ही संयुग्मी बनाने की मुख्य बात है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{13}+2\) and the denominator becomes (13-4=9). Hence the value is (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{13}+2}{3}\). The conjugate of the denominator is \(\sqrt{13}+2\) and the denominator becomes (13-4=9). Hence the value is (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}).
Step 3
Exam Tip
हर का संयुग्मी \(\sqrt{13}+2\) है और हर (13-4=9) बनता है। इसलिए मान (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}) है।
Since (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), the reciprocal is \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\). In exams quickly identify conjugates where (a-b=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\). Since (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), the reciprocal is \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\). In exams quickly identify conjugates where (a-b=1).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(\sqrt{13}-\sqrt{12}\) है। परीक्षा में (a-b=1) वाले संयुग्मी जल्दी पहचानें।
Multiplying by the conjugate \(\sqrt{11}+3\) makes the denominator (11-9=2), and (2) cancels. In exams choose the conjugate of the denominator correctly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{11}+3\). Multiplying by the conjugate \(\sqrt{11}+3\) makes the denominator (11-9=2), and (2) cancels. In exams choose the conjugate of the denominator correctly.
Step 3
Exam Tip
हर के संयुग्मी \(\sqrt{11}+3\) से गुणा करने पर हर (11-9=2) बनता है और (2) कट जाता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी सही चुनें।
Multiplying by the conjugate of the denominator gives denominator (1) and numerator (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}). In exams apply the conjugate in one step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5+2\sqrt{6}\). Multiplying by the conjugate of the denominator gives denominator (1) and numerator (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}). In exams apply the conjugate in one step.
Step 3
Exam Tip
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) और अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) बनता है। परीक्षा में एक ही चरण में संयुग्मी लगाएं।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\). The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
Step 3
Exam Tip
हर का संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) है और हर (7-6=1) बनता है। परीक्षा में अंतर (1) होने पर उत्तर सरल हो जाता है।
\(\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\), so the sum is \(2\sqrt{10}\). In exams rationalize the reciprocal first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2\sqrt{10}\). \(\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\), so the sum is \(2\sqrt{10}\). In exams rationalize the reciprocal first.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\), इसलिए योग \(2\sqrt{10}\) है। परीक्षा में पहले व्युत्क्रम को परिमेयकृत करें।
Rationalizing \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) with \(2+\sqrt{3}\) gives \(2+\sqrt{3}\). In exams multiply by the conjugate of the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{3}\). Rationalizing \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) with \(2+\sqrt{3}\) gives \(2+\sqrt{3}\). In exams multiply by the conjugate of the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) को \(2+\sqrt{3}\) से परिमेयकृत करने पर \(2+\sqrt{3}\) मिलता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी लगाएं।
Multiplying the denominator by \(\sqrt{5}+2\) makes it (5-4=1). In exams choose the conjugate of the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{5}+2\). Multiplying the denominator by \(\sqrt{5}+2\) makes it (5-4=1). In exams choose the conjugate of the denominator.
Step 3
Exam Tip
हर को \(\sqrt{5}+2\) से गुणा करने पर हर (5-4=1) बनता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी चुनें।
Multiplying by the conjugate makes the denominator rational. चरण 1: हर को \(\sqrt{5}-1\) से गुणा करें। चरण 2: (\frac{2\(\sqrt{5}-1\)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2})। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करने पर हर परिमेय बन जाता है।
A. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) और अपरिमेय/\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Rationalize the denominator before combining terms. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) जो अपरिमेय है। चरण 3: जोड़ने से पहले हर को परिमेय बनाने की आदत रखें।
(\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Product of conjugates often removes the radical. चरण 1: यह अंतर के वर्ग का रूप है। चरण 2: (\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पदों का गुणनफल अक्सर वर्गमूल हटा देता है।
Do not forget to rationalize the denominator at the end. चरण 1: \(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{3}\)। चरण 2: \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)। चरण 3: अंत में हर को परिमेय बनाना न भूलें।
Therefore \(5+\sqrt{24}\) is the reciprocal of \(5-\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
If conjugates multiply to (1), the reciprocal is directly the conjugate. चरण 1: (\(5-\sqrt{24}\)\(5+\sqrt{24}\)=25-24=1)। चरण 2: इसलिए \(5+\sqrt{24}\), \(5-\sqrt{24}\) का व्युत्क्रम है। चरण 3: यदि संयुग्मी गुणन (1) दे, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी होता है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (5-2=3), so the form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
For a sum of two surds, the conjugate changes the sign between them. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (5-2=3) बनता है, इसलिए रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। चरण 3: दो मूलों के योग में संयुग्मी का चिह्न बदलता है।
Hence \(x+\frac{1}{x}=4\), so \(x^2+\frac{1}{x^2}=4^2-2=14\).
Step 3
Exam Tip
Finding \(x+\frac{1}{x}\) first saves long calculation. चरण 1: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x+\frac{1}{x}=4\), अतः (x-2+\frac{1}{x-2}=(4)2-2=14)। चरण 3: पहले \(x+\frac{1}{x}\) निकालना लंबी गणना बचाता है।
Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
In conjugate fractions, clear the denominator first. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 3: संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें।
First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly. चरण 1: पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। चरण 2: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। चरण 3: संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें।
Rationalize the denominator of \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2=8+4\sqrt{3}), and the denominator is (6-2=4), so the value is \(2+\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Multiplying by the conjugate is effective in such quotients. चरण 1: \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) में हर को संयुग्मी से परिमेय करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2=8+4\sqrt{3}) और नीचे (6-2=4), इसलिए मान \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 3: भाग में संयुग्मी से गुणा करना प्रभावी तरीका है।
When multiplying by the conjugate, the numerator may become a full square. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: (\frac{\(2+\sqrt{3}\)2}{4-3}=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3})। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करते समय ऊपर भी पूरा वर्ग बनता है।
(x-\frac{2}{x}=\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\)-\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)=2\sqrt{3}). चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(\frac{2}{x}=\sqrt{5}-\sqrt{3}\)। चरण 3: (x-\frac{2}{x}=\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\)-\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)=2\sqrt{3})।
Recognizing the conjugate reciprocal saves long calculation. चरण 1: \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: (x+\frac{1}{x}=\(2+\sqrt{3}\)+\(2-\sqrt{3}\)=4)। चरण 3: संयुग्मी व्युत्क्रम को पहचानने से लंबी गणना बचती है।
The conjugate of \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) is \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (3-2=1), so \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
When the difference of the squared surds is (1), the result becomes very simple. चरण 1: \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (3-2=1) बनता है, इसलिए \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)। चरण 3: जिन दो मूलों के वर्गों का अंतर (1) हो, वहाँ उत्तर बहुत सरल आता है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{6}+\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{5}\)2=6-5=1).
Step 3
Exam Tip
When the denominator is a difference of two surds, multiply by its conjugate. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{6}+\sqrt{5}\) है। चरण 2: हर (\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{5}\)2=6-5=1) बनता है। चरण 3: जब हर में दो मूलों का अंतर हो, तो संयुग्मी से गुणा करें।
Choosing the correct conjugate sign is very important. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{2}-1\) है। चरण 2: (\frac{2}{\sqrt{2}+1}\times\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2\(\sqrt{2}-1\)}{2-1}=2\sqrt{2}-2)। चरण 3: संयुग्मी का सही चिह्न चुनना बहुत जरूरी है।
Multiplying by the conjugate removes the radical from the denominator. चरण 1: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) में हर का संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\times\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। चरण 3: हर में संयुग्मी से गुणा करने पर मूल हट जाता है।
Use the difference of squares in the denominator when multiplying by a conjugate. चरण 1: हर का संयुग्मी \(2-\sqrt{5}\) है। चरण 2: (\frac{3}{2+\sqrt{5}}\times\frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}=\frac{3\(2-\sqrt{5}\)}{4-5}=3\(\sqrt{5}-2\))। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करते समय हर में अंतर के वर्ग का प्रयोग करें।
The denominator has \(\sqrt{5}\), which is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Rationalizing gives \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\), a non-zero rational multiple of an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Rationalizing the denominator often reveals the number type clearly. चरण 1: हर में \(\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 2: हर को परिमेय बनाने पर \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\) मिलेगा, जो अशून्य परिमेय गुणक के साथ अपरिमेय है। चरण 3: हर परिमेय बनाने से संख्या की प्रकृति साफ दिखती है।
Rationalizing the denominator gives a cleaner exam answer. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)। चरण 3: हर को मूल से मुक्त करना परीक्षा में साफ उत्तर देता है।
