Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर के संयुग्मी \(\sqrt{11}+3\) से गुणा करने पर हर (11-9=2) बनता है और (2) कट जाता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी सही चुनें। / Multiplying by the conjugate \(\sqrt{11}+3\) makes the denominator (11-9=2), and (2) cancels. In exams choose the conjugate of the denominator correctly.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) और अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) बनता है। परीक्षा में एक ही चरण में संयुग्मी लगाएं। / Multiplying by the conjugate of the denominator gives denominator (1) and numerator (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}). In exams apply the conjugate in one step.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) है और हर (7-6=1) बनता है। परीक्षा में अंतर (1) होने पर उत्तर सरल हो जाता है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
\(\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\), इसलिए योग \(2\sqrt{10}\) है। परीक्षा में पहले व्युत्क्रम को परिमेयकृत करें। / \(\frac{1}{3+\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\), so the sum is \(2\sqrt{10}\). In exams rationalize the reciprocal first.
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) को \(2+\sqrt{3}\) से परिमेयकृत करने पर \(2+\sqrt{3}\) मिलता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी लगाएं। / Rationalizing \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) with \(2+\sqrt{3}\) gives \(2+\sqrt{3}\). In exams multiply by the conjugate of the denominator.
हर को \(\sqrt{5}+2\) से गुणा करने पर हर (5-4=1) बनता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी चुनें। / Multiplying the denominator by \(\sqrt{5}+2\) makes it (5-4=1). In exams choose the conjugate of the denominator.
पहला कदम हर का परिमेय रूप निकालना है। \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) को अभिन्न करने के लिए ऊपरी और निचले भाग को उसके सहगुणक \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) से गुणा करें:
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
अब जोड़ें: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}\). इसलिए सरल रूप \(2\sqrt{3}\) है।
निकटभ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प C वही \(r\) है (यह केवल पहला सदस्य है), विकल्प D वास्तव में \(1/r\) है और विकल्प B गलत जोड़-ग्रामित मान है। परीक्षात्मक सुझाव: हर बार जब हर में सार्थक वर्गमूल हों तो सहगुणक से गुणा कर निचले भाग को परिमेय बनाइए। / Rationalize the denominator to find the reciprocal.
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Add to \(r\): \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}\). Hence the simplified result is \(2\sqrt{3}\).
Why other options are wrong: option C is just \(r\) (not the sum), option D equals \(1/r\), and option B is an incorrect arithmetic result. Exam tip: use conjugates to rationalize denominators whenever square roots appear in the denominator.
हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। / Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। / The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें। / In conjugate fractions, clear the denominator first.
पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। / First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। / \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें। / For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly.
\(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) में हर को संयुग्मी से परिमेय करें। / Rationalize the denominator of \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
ऊपर (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2=8+4\sqrt{3}) और नीचे (6-2=4), इसलिए मान \(2+\sqrt{3}\) है। / The numerator becomes (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)2=8+4\sqrt{3}), and the denominator is (6-2=4), so the value is \(2+\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
भाग में संयुग्मी से गुणा करना प्रभावी तरीका है। / Multiplying by the conjugate is effective in such quotients.
\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) है। / The conjugate of \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) is \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (3-2=1) बनता है, इसलिए \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)। / The denominator becomes (3-2=1), so \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
जिन दो मूलों के वर्गों का अंतर (1) हो, वहाँ उत्तर बहुत सरल आता है। / When the difference of the squared surds is (1), the result becomes very simple.
हर में \(\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है। / The denominator has \(\sqrt{5}\), which is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
हर को परिमेय बनाने पर \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\) मिलेगा, जो अशून्य परिमेय गुणक के साथ अपरिमेय है। / Rationalizing gives \(x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\), a non-zero rational multiple of an irrational number.
Step 3
Exam Tip
हर परिमेय बनाने से संख्या की प्रकृति साफ दिखती है। / Rationalizing the denominator often reveals the number type clearly.
