Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संख्याएँ \(110,121,\ldots,495\) हैं और उनका योग (10890) है। between लिखे होने पर सिरों को शामिल करना है या नहीं यह ध्यान से देखें। / The numbers are \(110,121,\ldots,495\), and their sum is (10890). When between is written, check carefully whether endpoints are included.
संख्याएँ \(105,110,\ldots,195\) हैं और (19) पदों का योग (2850) है। बीच का अर्थ अक्सर सिरों को शामिल नहीं करता। / The numbers are \(105,110,\ldots,195\), and the sum of (19) terms is (2850). The word between often excludes endpoints.
\( \sqrt{14}\approx3.742\), इसलिए (3.8) इसके और (4) के बीच है। निकट वर्गमूलों में दशमलव अनुमान जरूरी है। / \( \sqrt{14}\approx3.742\), so (3.8) lies between it and (4). Decimal estimation is important for nearby square roots.
\( \sqrt{1.44}=1.2\) और \( \sqrt{1.69}=1.3\), इसलिए (1.25) बीच में है। दशमलव वर्गों को याद रखना उपयोगी है। / \( \sqrt{1.44}=1.2\) and \( \sqrt{1.69}=1.3\), so (1.25) lies between them. Knowing decimal squares is useful.
\( \frac{3}{7}\approx0.428\), \( \frac{1}{2}=0.5\), और \( \frac{4}{7}\approx0.571\)। भिन्नों की तुलना में दशमलव या क्रॉस गुणन उपयोग करें। / \( \frac{3}{7}\approx0.428\), \( \frac{1}{2}=0.5\), and \( \frac{4}{7}\approx0.571\). Use decimals or cross multiplication to compare fractions.
\( \sqrt{8}\approx2.828\), इसलिए (2.9) उसके और (3) के बीच है। पहले अपरिमेय संख्या का अनुमान करें। / \( \sqrt{8}\approx2.828\), so (2.9) lies between it and (3). First estimate the irrational number.
\(\frac{2}{5}=0.4\), \(\frac{1}{2}=0.5\), और \(\frac{3}{5}=0.6\), इसलिए \(\frac{1}{2}\) बीच में है। तुलना के लिए दशमलव रूप उपयोगी है। / \(\frac{2}{5}=0.4\), \(\frac{1}{2}=0.5\), and \(\frac{3}{5}=0.6\), so \(\frac{1}{2}\) lies between them. Decimal form helps in comparison.
(2.5), (2) और (3) के बीच आता है। बीच की संख्या दोनों सिरों से छोटी-बड़ी तुलना करके पहचानें। / (2.5) lies between (2) and (3). Identify a middle number by comparing it with both endpoints.
क्योंकि (100<115<121) इसलिए \(\sqrt{115}\) (10) और (11) के बीच है। (115) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Since (100<115<121), \(\sqrt{115}\) lies between (10) and (11). (115) is not a perfect square.
\(\sqrt{85}\) का मान लगभग 9.219... है, जो 9 और 10 के बीच आता है। 85 किसी पूर्ण वर्ग का अंक नहीं है, इसलिए \(\sqrt{85}\) अपरिमेय है। निकटतम विकर्षक \(\frac{19}{2}=9.5\) भले ही 9 और 10 के बीच है पर धनात्मक पूर्णांक का अनुपात होने के कारण यह परिमेय है। \(\sqrt{100}=10\) और \(\sqrt{81}=9\) सीमाओं पर हैं (बीच में नहीं)। परीक्षा-सुझाव: किसी पूर्ण वर्गों \(n^2\) और \((n+1)^2\) के बीच आने वाला कोई भी गैर-पूर्ण-वर्ग का अंक लें और उसका वर्गमूल लें — वह \(n\) और \(n+1\) के बीच एक अपरिमेय होगा। / \(\sqrt{85}\) ≈ 9.219…, which lies strictly between 9 and 10. Since 85 is not a perfect square, \(\sqrt{85}\) is irrational. The closest distractor \(\frac{19}{2}=9.5\) is between 9 and 10 but is rational (ratio of integers). \(\sqrt{100}=10\) and \(\sqrt{81}=9\) are endpoints, not numbers strictly between 9 and 10. Exam tip: to find an irrational between n and n+1, pick a non-square integer between n-2 and (n+1)2 and take its square root — it will be irrational and lie between n and n+1.
क्योंकि (64<70<81) इसलिए \(\sqrt{70}\) (8) और (9) के बीच है। (70) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since (64<70<81), \(\sqrt{70}\) lies between (8) and (9). (70) is not a perfect square so it is irrational.
परिमेय संख्या वह होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके। \(\frac{15}{2}=7.5\) है जो स्पष्ट रूप से 7 और 8 के बीच आता है और यह दो पूर्णांकों का भागफल है, अतः परिमेय है। बाकी विकल्पों में \(\sqrt{53}\) और \(\sqrt{60}\) पूर्ण वर्ग नहीं हैं इसलिए वे अपरिमेय होते हैं, और \(\pi+4\) भी अपरिमेय है क्योंकि \(\pi\) अपरिमेय है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(\sqrt{53}\) है (लगभग 7.2801) पर वह भी अपरिमेय है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को परिमेय साबित करने के लिये उसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखने की कोशिश करें; अगर कोई व्यंजक पूर्ण वर्ग या ज्ञात अपरिमेय स्थिरांक (जैसे \(\pi\)) शामिल करता है तो वह सामान्यतः अपरिमेय होता है। / A rational number can be expressed as a ratio of two integers. \(\frac{15}{2}=7.5\) lies between 7 and 8 and is explicitly a ratio of integers, so it is rational. The other choices are irrational: \(\sqrt{53}\) and \(\sqrt{60}\) are square roots of non-perfect squares, and \(\pi+4\) is irrational because \(\pi\) is irrational. The closest distractor is \(\sqrt{53}\) (≈7.2801) but it remains irrational. Exam tip: check if a number can be written as m/n with integers m,n; if not, test for perfect squares or known irrational constants to rule out rationality quickly.
\(\frac{7}{5}=1.4\) है और इसे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। दूसरी विकल्पों में \(\sqrt{2},\,\sqrt{3}\) और \(\pi/2\) अपरिमेय संख्याएँ हैं (ये अनंत, गैर‑आवर्ती दशमलव प्रदर्शित करती हैं और इन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता)। परीक्षा सुझाव: किसी संख्या को परिमेय साबित करने के लिए उसे दो पूर्णांकों का अनुपात दिखाएँ; घनमूल यदि परिपूर्ण वर्ग नहीं है तो वह आमतौर पर अपरिमेय होता है। / \(\frac{7}{5}=1.4\) lies between 1 and 2 and is expressible as a ratio of integers, so it is rational. The other choices \(\sqrt{2},\,\sqrt{3}\) and \(\pi/2\) are irrational (they have non‑terminating, non‑repeating decimal expansions and cannot be written as a ratio of integers). Exam tip: to check rationality, try to express the number as a fraction of two integers; non‑perfect square roots and multiples of \(\pi\) are typically irrational.
क्योंकि (25<30<36) इसलिए \(\sqrt{30}\) (5) और (6) के बीच है। (30) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since (25<30<36), \(\sqrt{30}\) lies between (5) and (6). (30) is not a perfect square so it is irrational.
\(\frac{5}{2}=2.5\) है जो (2) और (3) के बीच है और परिमेय है। भिन्न रूप परिमेयता बताता है। / \(\frac{5}{2}=2.5\), which lies between (2) and (3) and is rational. Fraction form shows rationality.
