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Mathematics Arithmetic Progressions Ap ke topic-wise MCQs yahan grouped context me milenge. jo aap ko Exam ki preparation me madad milegi. Ye questions exam-oriented hai and students ko concept clarity, quick revision aur board exam preparation kaafi madad karenge. Sabhi se jude MCQs important topics ke anusar arranged hai, taaki aap Arithmetic Progressions Ap ko easy tarike se practice aur revise kar sake.
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What is the common difference of AP 5, 8, 11, 14?
B. 3
सार्व अंतर = 8 - 5 = 3 है। प्रत्येक क्रमागत पद में 3 की वृद्धि हो रही है। / The common difference is 8 - 5 = 3. Each successive term increases by 3.
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B. 13
कुल पेड़ों के आधार पर समीकरण \(x(x+4)=221\) होगा। इसलिए \(x^2+4x-221=0\), अर्थात् \((x-13)(x+17)=0\)। अतः \(x=13\) या \(x=-17\), लेकिन कतारों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 13 है। परीक्षा-युक्ति: शब्द-समस्याओं में प्राप्त मूलों को मूल परिस्थिति के अनुसार जाँचें और ऋणात्मक मानों को अस्वीकार करें। / The total number of trees gives the equation \(x(x+4)=221\). Thus, \(x^2+4x-221=0\), which factors as \((x-13)(x+17)=0\). Hence, \(x=13\) or \(x=-17\), but the number of rows cannot be negative, so the correct answer is 13. Exam tip: In word problems, check the roots against the given context and reject impossible negative values.
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What is the common difference in the sequence \(3,7,11,15,\ldots\)?
C. (4)
लगातार पदों का अंतर (7-3=4) है। परीक्षा में सार्व अंतर के लिए दूसरा पद घटा पहला पद करें। / The difference of consecutive terms is (7-3=4). In exams, find common difference by subtracting the first term from the second term.
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In an arithmetic progression, how is the common difference (d) found?
A. \(d=a_2-a_1\)
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर क्रमागत दो पदों के बीच का अंतर होता है। यदि पहला पद \(a_1\) और दूसरा पद \(a_2\) है, तो \(d=a_2-a_1\) होगा। विकल्प C में घटाने का क्रम उलटा है, इसलिए उसका मान \(-d\) होगा। परीक्षा में हमेशा बाद वाले पद में से पहले वाले पद को घटाएँ। / In an arithmetic progression, the common difference is the difference between consecutive terms. If the first two terms are \(a_1\) and \(a_2\), then \(d=a_2-a_1\). Option C reverses the subtraction and gives \(-d\). In exams, subtract the earlier term from the later term.
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What is the common difference in \(10,8,6,4,\ldots\)?
B. -2
समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर लगातार दो पदों का अंतर होता है: \(d=8-10=-2\)। जाँचने पर \(6-8=-2\) और \(4-6=-2\) भी मिलता है, इसलिए श्रेढ़ी घट रही है और इसका सार्व अंतर ऋणात्मक है। विकल्प A में चिह्न गलत है। परीक्षा में सार्व अंतर निकालने के लिए हमेशा अगले पद में से पिछले पद को घटाएँ: \(d=a_{n+1}-a_n\)। / The common difference is found by subtracting a term from the next term: \(d=8-10=-2\). The other consecutive differences are also \(6-8=-2\) and \(4-6=-2\), so the progression is decreasing with a negative common difference. Option A has the wrong sign. Exam tip: use \(d=a_{n+1}-a_n\), not the reverse subtraction.
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Which sequence is an arithmetic progression?
C. \(5,10,15,20,\ldots\)
\(5,10,15,20,\ldots\) में हर बार (5) जुड़ता है। समान अंतर वाली श्रेढ़ी समांतर श्रेढ़ी होती है। / In \(5,10,15,20,\ldots\), (5) is added each time. A sequence with equal differences is an arithmetic progression.
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What is the common difference of \(6,6,6,6,\ldots\)?
D. (0)
लगातार पदों का अंतर (6-6=0) है। समान पदों वाला अनुक्रम भी सार्व अंतर (0) के साथ समांतर श्रेढ़ी होता है। / The difference of consecutive terms is (6-6=0). A constant sequence is also an arithmetic progression with common difference (0).
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What is the first term of the arithmetic progression \(12,17,22,27,\ldots\)?
B. 12
समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद वह संख्या होती है जिससे श्रेढ़ी शुरू होती है। दी गई श्रेढ़ी में सबसे पहला पद 12 है, इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। 17 दूसरा पद है और 5 सार्व अंतर है, प्रथम पद नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्रथम पद ज्ञात करने के लिए श्रेढ़ी में सबसे बाईं ओर दी गई संख्या देखें। / The first term of an arithmetic progression is the number with which the sequence begins. In the given progression, the first term is 12, so option B is correct. The number 17 is the second term, while 5 is the common difference, not the first term. Exam tip: To identify the first term, look at the leftmost number in the progression.
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In the sequence \(4,9,14,\Box,24,\ldots\), what is the value of \(\Box\)?
C. 19
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें क्रमिक पदों का अंतर समान है: \(9-4=5\) और \(14-9=5\)। इसलिए सार्व अंतर \(5\) होने पर रिक्त पद \(14+5=19\) होगा। विकल्प 18 और 20 समान अंतर बनाए नहीं रखते। परीक्षा में रिक्त पद ज्ञात करने के लिए पहले सार्व अंतर की जाँच करें। / This is an arithmetic progression because the difference between consecutive terms is constant: \(9-4=5\) and \(14-9=5\). Hence, with common difference \(5\), the missing term is \(14+5=19\). The values 18 and 20 do not maintain the same common difference. Exam tip: first check the difference between consecutive known terms.
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Which sequence is not an arithmetic progression?
D. \(2,5,9,14,\ldots\)
\(2,5,9,14,\ldots\) में अंतर (3,4,5) हैं। अंतर समान न हो तो अनुक्रम समांतर श्रेढ़ी नहीं होता। / In \(2,5,9,14,\ldots\), the differences are (3,4,5). If differences are not equal, the sequence is not an arithmetic progression.
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A. 8
समांतर श्रेढ़ी में दूसरा पद प्रथम पद और सार्व अंतर के योग के बराबर होता है: दूसरा पद = a + d = 5 + 3 = 8। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प D केवल प्रथम पद 5 बताता है, जबकि प्रश्न में दूसरा पद पूछा गया है। परीक्षा-युक्ति: दूसरे पद के लिए हमेशा a₂ = a + d का सूत्र याद रखें। / In an arithmetic progression, the second term is the sum of the first term and the common difference: second term = a + d = 5 + 3 = 8. Therefore, option A is correct. Option D is only the first term, not the second term. Exam tip: remember the formula a₂ = a + d for finding the second term.
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What is the common difference in \(-3,1,5,9,\ldots\)?
C. 4
सार्व अंतर लगातार दो पदों का अंतर होता है। यहाँ \(d=a_2-a_1=1-(-3)=4\), और अन्य पदों के लिए भी \(5-1=4\) तथा \(9-5=4\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 5 अगला पद नहीं, बल्कि 1 और 5 के बीच का अंतर है। परीक्षा-युक्ति: किसी भी दो क्रमिक पदों का अंतर निकालकर जाँच करें कि वह समान है। / The common difference is the difference between two consecutive terms. Here, \(d=a_2-a_1=1-(-3)=4\); the other consecutive differences are also \(5-1=4\) and \(9-5=4\). Therefore, the correct answer is 4. The value 5 is a term, not the difference between consecutive terms. Exam tip: subtract any two consecutive terms to verify the common difference.
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What is the common difference in the arithmetic progression \(25,20,15,10,\ldots\)?
B. -5
समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर किसी पद में से उसके ठीक पहले वाले पद को घटाने पर मिलता है। यहाँ \\(20-25=-5\\) और \\(15-20=-5\\) है, इसलिए सार्व अंतर \\(-5\\) है। विकल्प A में चिन्ह गलत है; घटती हुई श्रेढ़ी का सार्व अंतर ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: लगातार दो पदों का अंतर निकालकर उसका चिन्ह अवश्य जाँचें। / The common difference of an arithmetic progression is found by subtracting a term from the term immediately before it. Here, \\(20-25=-5\\) and \\(15-20=-5\\), so the common difference is \\(-5\\). Option A has the wrong sign; a decreasing progression has a negative common difference. Exam tip: subtract consecutive terms and always check the sign.
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If each next term of a sequence is (7) more than the previous term, what is its common difference?
C. (7)
हर बार (7) जोड़ने का अर्थ सार्व अंतर (7) है। ऐसी श्रेढ़ी समांतर श्रेढ़ी होगी। / Adding (7) each time means the common difference is (7). Such a sequence will be an arithmetic progression.
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What is the common difference of \(1.5,2.0,2.5,3.0,\ldots\)?
B. (0.5)
लगातार पदों का अंतर (2.0-1.5=0.5) है। दशमलव पदों में भी समान अंतर जाँचना होता है। / The difference of consecutive terms is (2.0-1.5=0.5). Even for decimal terms, equal differences must be checked.
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What is the common difference of \(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\ldots\)?
A. \(\frac{1}{2}\)
यहाँ \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) है। भिन्नों में भी सार्व अंतर लगातार पदों से ही निकलेगा। / Here \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\). For fractions also, the common difference is found from consecutive terms.
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Which sequence is an arithmetic progression with (d=3)?
B. \(4,7,10,13,\ldots\)
विकल्प B में लगातार पदों का अंतर समान है: \(7-4=3\), \(10-7=3\) और \(13-10=3\)। इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी है और इसका सार्व अंतर \(d=3\) है। विकल्प C का सार्व अंतर 4 तथा विकल्प D का सार्व अंतर −3 है। परीक्षा में सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए किसी पद में से उसके ठीक पहले वाला पद घटाएँ। / In option B, the differences between consecutive terms are equal: \(7-4=3\), \(10-7=3\), and \(13-10=3\). Therefore, it is an arithmetic progression with common difference \(d=3\). Option C has common difference 4, while option D has common difference −3. In an exam, find the common difference by subtracting each term from the term immediately after it.
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If the arithmetic progression is \(a,a+2,a+4,a+6,\ldots\), what is the common difference?
C. (2)
लगातार पदों का अंतर ((a+2)-a=2) है। अक्षर वाले पदों में भी घटाकर अंतर निकालें। / The difference of consecutive terms is ((a+2)-a=2). For algebraic terms also, subtract to find the difference.
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What will be the next term in \(30,27,24,21,\ldots\)?
C. 18
इस अनुक्रम का सार्व अंतर प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर है: \(27-30=-3\), \(24-27=-3\) और \(21-24=-3\)। इसलिए अगला पद \(21+(-3)=18\) होगा। विकल्प 19 गलत है क्योंकि उससे अंतर \(-2\) प्राप्त होता है, जबकि इस अनुक्रम में हर बार 3 घट रहा है। परीक्षा में अगला पद ज्ञात करने के लिए पहले सार्व अंतर पहचानें और उसे अंतिम पद में जोड़ें। / The common difference is the difference between consecutive terms: \(27-30=-3\), \(24-27=-3\), and \(21-24=-3\). Therefore, the next term is \(21+(-3)=18\). Option 19 is incorrect because it would give a difference of \(-2\), whereas the sequence decreases by 3 each time. Exam tip: identify the common difference first, then add it to the last given term.
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Which is the third term in the arithmetic progression \(2,5,8,11,\ldots\)?
C. 8
समांतर श्रेढ़ी में पदों को बाएँ से गिनते हैं: पहला पद 2, दूसरा पद 5 और तीसरा पद 8 है। यहाँ सार्व अंतर 3 है, लेकिन तीसरे पद के लिए सीधे पद की स्थिति गिनना पर्याप्त है। इसलिए सही उत्तर 8 है; 5 दूसरा और 11 चौथा पद है। परीक्षा में पद संख्या और पद के मान को भ्रमित न करें। / Count the terms from left to right: the first term is 2, the second is 5, and the third is 8. The common difference is 3, but for this question, identifying the third position directly is sufficient. Therefore, the correct answer is 8; 5 is the second term and 11 is the fourth term. In an exam, do not confuse the term number with its value.
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Which option states the correct property of an arithmetic progression?
B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता हैThe difference between every two consecutive terms is equal
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यही इसकी मुख्य पहचान है। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
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Why is \(3,6,12,24,\ldots\) not an arithmetic progression?
C. क्योंकि लगातार पदों के बीच अंतर समान नहीं हैंBecause the differences between consecutive terms are not equal
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर समान होना चाहिए। यहाँ अंतर हैं: 6−3=3, 12−6=6 और 24−12=12। ये समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है। परीक्षा में AP पहचानने के लिए सबसे पहले लगातार पदों के अंतर जाँचें; पदों का धनात्मक या पूर्णांक होना पर्याप्त शर्त नहीं है। / In an arithmetic progression, the difference between every pair of consecutive terms must be constant. Here, the differences are 6−3=3, 12−6=6, and 24−12=12. Since these are not equal, the sequence is not an arithmetic progression. In an exam, first check consecutive differences; being positive or integral does not make a sequence an AP.
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If (a=9) and (d=-2), what is the second term of the arithmetic progression?
A. 7
समांतर श्रेढ़ी के दूसरे पद का सूत्र \(a_2=a+d\) है। इसलिए \(a_2=9+(-2)=7\)। विकल्प 9 प्रथम पद है, जबकि 11 में ऋणात्मक सार्व अंतर के बजाय 2 जोड़ दिया गया है। परीक्षा में ऋणात्मक अंतर का चिन्ह सावधानी से लगाएँ। / The second term of an arithmetic progression is given by \(a_2=a+d\). Thus, \(a_2=9+(-2)=7\). The value 9 is the first term, while 11 results from incorrectly adding 2 instead of adding the negative common difference. In exams, pay careful attention to the sign of the common difference.
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What is the common difference of \(100,90,80,70,\ldots\)?
B. -10
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर दो क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ 90 − 100 = −10 और 80 − 90 = −10 है, इसलिए सार्व अंतर −10 है। घटते हुए अनुक्रम में सार्व अंतर ऋणात्मक होता है; इसे केवल 10 नहीं लिखना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: हमेशा अगले पद में से पिछले पद को घटाएँ। / The common difference of an arithmetic progression is the difference between two consecutive terms. Here, 90 − 100 = −10 and 80 − 90 = −10, so the common difference is −10. Since the sequence is decreasing, its common difference is negative, not simply 10. Exam tip: subtract the preceding term from the succeeding term.
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A. \(6,10,14,18,\ldots\)
पहले दिन पौधों की संख्या 6 है और प्रत्येक अगले दिन 4 पौधे अधिक लगाए जाते हैं। इसलिए क्रमशः संख्याएँ 6, 6 + 4 = 10, 10 + 4 = 14 और 14 + 4 = 18 होंगी। अतः अनुक्रम \(6,10,14,18,\ldots\) है और इसका सार्व अंतर 4 है। विकल्प B में पहला पद 4 है, जबकि प्रश्न के अनुसार पहला पद 6 होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: एपी पहचानने के लिए लगातार पदों का अंतर समान जाँचें। / The number of plants on the first day is 6, and 4 more plants are added each subsequent day. Thus, the terms are 6, 6 + 4 = 10, 10 + 4 = 14, and 14 + 4 = 18. Therefore, the sequence is \(6,10,14,18,\ldots\), with common difference 4. Option B is incorrect because its first term is 4 instead of 6. Exam tip: To identify an AP, check whether the difference between consecutive terms remains constant.
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What is the fourth term in \(14,18,22,26,\ldots\)?
C. 26
इस अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद से 4 अधिक है, इसलिए यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद 14 और सार्व अंतर 4 है। चौथा पद \(a_4=a_1+3d=14+3\times4=26\) होगा। ध्यान रखें कि चौथे पद तक पहुँचने के लिए सार्व अंतर को तीन बार जोड़ा जाता है। / Each term in the sequence is 4 greater than the preceding term, so it is an arithmetic progression with first term 14 and common difference 4. The fourth term is \(a_4=a_1+3d=14+3\times4=26\). Remember that the common difference is added three times to reach the fourth term.
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Which sequence has common difference (-4)?
B. \(20, 16, 12, 8, \ldots\)
किसी समान्तर श्रेणी का सार्व अंतर दो क्रमागत पदों का अंतर होता है। विकल्प B में \(16-20=-4\), \(12-16=-4\) और \(8-12=-4\) है, इसलिए इसका सार्व अंतर \(-4\) है। विकल्प A और D में हर बार 4 जुड़ता है, जबकि विकल्प C में अंतर समान नहीं है। परीक्षा-युक्ति: लगातार पदों का अंतर निकालकर जाँचें कि वह हर बार समान है या नहीं। / The common difference of an arithmetic progression is the difference between consecutive terms. In option B, \(16-20=-4\), \(12-16=-4\), and \(8-12=-4\), so its common difference is \(-4\). In options A and D, 4 is added each time, while the differences in option C are not constant. Exam tip: subtract each term from the next one and check whether the difference remains the same.
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What is the common difference of the arithmetic progression \(0,3,6,9,\ldots\)?
B. (3)
लगातार पदों का अंतर (3-0=3) है। पहला पद (0) हो सकता है फिर भी श्रेढ़ी समांतर हो सकती है। / The difference of consecutive terms is (3-0=3). The first term can be (0), and the sequence can still be an arithmetic progression.
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In \(11,15,19,23,\ldots\), what are (d) and (a) respectively?
B. (d=4,\ a=11)
पहला पद (a=11) और सार्व अंतर (15-11=4) है। क्रमशः पूछे गए मानों का क्रम ध्यान रखें। / The first term is (a=11) and the common difference is (15-11=4). Keep the asked order of values in mind.
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If (d=0), what will be the form of an arithmetic progression?
A. सभी पद समान होंगेAll terms will be equal
समांतर श्रेढ़ी में प्रत्येक दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है और इसे सार्व अंतर \(d\) कहते हैं। जब \(d=0\) होता है, तो अगले पद में पिछले पद से कोई परिवर्तन नहीं होता: \(a, a, a, a, \ldots\)। इसलिए सभी पद समान होंगे। सभी पद ऋणात्मक होना आवश्यक नहीं है; यह प्रथम पद पर निर्भर करता है। परीक्षा-युक्ति: \(d=0\) वाली AP को स्थिर या अचर श्रेढ़ी पहचानें। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant and is denoted by \(d\). When \(d=0\), no change occurs from one term to the next, so the progression is \(a, a, a, a, \ldots\). Hence, all terms are equal. The terms need not all be negative; that depends on the first term. Exam tip: Recognise an AP with \(d=0\) as a constant progression.
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What will be the fifth term in \(2,7,12,17,\ldots\)?
C. 22
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें सार्व अंतर \(d=7-2=5\) है। पाँचवाँ पद \(a_5=a_1+(5-1)d=2+4\times5=22\) होगा। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा में क्रमागत पदों का अंतर समान हो तो अगले पद के लिए वही सार्व अंतर जोड़ें। / This is an arithmetic progression with common difference \(d=7-2=5\). Using \(a_5=a_1+(5-1)d\), we get \(a_5=2+4\times5=22\). Therefore, option C is correct. Exam tip: when the consecutive difference is constant, add the common difference to obtain the next term.
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Which sequence is an arithmetic progression because of equal differences?
B. \(3, 8, 13, 18, \ldots\)
विकल्प B में क्रमागत पदों के अंतर समान हैं: \(8-3=5\), \(13-8=5\) और \(18-13=5\)। इसलिए इसका सार्व अंतर 5 है और यह समांतर श्रेढ़ी है। विकल्प A और D में पद दुगुने हो रहे हैं, जबकि विकल्प C में अंतर 3, 5, 7 है; इसलिए वे समांतर श्रेढ़ियाँ नहीं हैं। परीक्षा में जाँचने का आसान तरीका है कि दूसरे पद से प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर निकालें। / In option B, the differences between consecutive terms are equal: \(8-3=5\), \(13-8=5\), and \(18-13=5\). Thus, its common difference is 5, so it is an arithmetic progression. In option A and option D, the terms are multiplied by 2, while option C has differences 3, 5, and 7; therefore, none of them is an arithmetic progression. For exams, calculate the differences between consecutive terms to identify an AP quickly.
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What is the common difference of the arithmetic progression \(-10,-6,-2,2,\ldots\)?
B. 4
समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर किसी पद में से उसके ठीक पहले वाले पद को घटाकर प्राप्त होता है। यहाँ (-6)-(-10)=-6+10=4। अगले पदों में भी (-2)-(-6)=4 और 2-(-2)=4 है, इसलिए सार्व अंतर 4 है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या घटाते समय उसके आगे का ऋण चिह्न धन में बदल जाता है। / The common difference of an arithmetic progression is found by subtracting a term from the term immediately before it. Here, (-6)-(-10)=-6+10=4. The next differences are also (-2)-(-6)=4 and 2-(-2)=4, so the common difference is 4. Exam tip: when subtracting a negative number, its sign changes to plus.
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A. 5
समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर लगातार पदों के बीच का अंतर होता है। यहाँ दूसरा पद 23 और पहला पद 18 है, इसलिए सार्व अंतर = 23 − 18 = 5। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा में क्रम याद रखें: सार्व अंतर = अगला पद − पिछला पद। / The common difference of an arithmetic progression is the difference between two consecutive terms. Here, the next term is 23 and the previous term is 18, so the common difference is 23 − 18 = 5. Therefore, option A is correct. Exam tip: use common difference = next term − previous term.
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Is the sequence \(4,8,13,19,\ldots\) an arithmetic progression or not?
C. नहीं, क्योंकि क्रमागत पदों के अंतर समान नहीं हैंNo, because the differences between consecutive terms are not equal
क्रमागत पदों के अंतर हैं: 8−4=4, 13−8=5 और 19−13=6। समांतर श्रेढ़ी में प्रत्येक दो क्रमागत पदों का अंतर समान होना चाहिए, लेकिन यहाँ अंतर 4, 5 और 6 हैं। इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है। केवल पदों का बढ़ना या सभी पदों का धनात्मक होना पर्याप्त शर्त नहीं है। परीक्षा में AP जाँचने के लिए क्रमागत पदों के अंतर निकालकर उनकी समानता देखें। / The differences between consecutive terms are 8−4=4, 13−8=5, and 19−13=6. In an arithmetic progression, the difference between every pair of consecutive terms must be constant. Since these differences are 4, 5, and 6, the sequence is not an arithmetic progression. Merely having increasing or positive terms is not sufficient. Exam tip: calculate consecutive differences to test whether a sequence is an AP.
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C. 3
सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए किसी पद में से उसके ठीक पिछले पद को घटाते हैं। यहाँ, \(4-1=3\), \(7-4=3\) और \(10-7=3\)। इसलिए प्रत्येक पद पिछले पद से 3 अधिक है और इस समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर 3 है। परीक्षा-युक्ति: AP में लगातार दो पदों का अंतर समान होता है। / To find the common difference, subtract each term from the term immediately after it. Here, \(4-1=3\), \(7-4=3\), and \(10-7=3\). Therefore, each term is 3 greater than the previous term, so the common difference is 3. Exam tip: In an AP, the difference between consecutive terms remains constant.
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If (a=2) and (d=5), what are the first three terms?
B. (2, 7, 12)
समांतर श्रेणी में पहला पद \(a=2\) और सार्व अंतर \(d=5\) है। इसलिए क्रमशः 5 जोड़ते हैं: \(2\), \(2+5=7\), और \(7+5=12\)। अतः सही उत्तर (2, 7, 12) है। विकल्प A में दूसरे पद के बाद 5 के बजाय 5 का गलत प्रयोग हुआ है। परीक्षा सुझाव: पहले पद से शुरू करके प्रत्येक अगले पद में सार्व अंतर जोड़ें। / In an arithmetic progression, the first term is \(a=2\) and the common difference is \(d=5\). Add 5 successively: \(2\), \(2+5=7\), and \(7+5=12\). Therefore, the correct sequence is (2, 7, 12). Option A does not maintain a common difference of 5. Exam tip: start with the first term and add the common difference to obtain each next term.
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Which sequence starts with (a=9) and (d=2)?
A. \(9,11,13,15,\ldots\)
पहला पद (9) है और हर बार (2) जोड़ना है। इसलिए सही अनुक्रम \(9,11,13,15,\ldots\) है। / The first term is (9), and (2) is added each time. Hence the correct sequence is \(9,11,13,15,\ldots\).
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What will be the next two terms in \(40,35,30,25,\ldots\)?
C. (20, 15)
क्रमागत पदों का अंतर समान है: \(35-40=-5\), \(30-35=-5\) और \(25-30=-5\)। अतः यह एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्व अंतर \(-5\) है। इसलिए 25 के बाद के पद \(25-5=20\) और \(20-5=15\) होंगे। विकल्प (22, 19) में अंतर \(-3\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अगले पद ज्ञात करने के लिए पहले दो क्रमागत पदों का अंतर निकालें और उसे आगे लागू करें। / The difference between consecutive terms is constant: \(35-40=-5\), \(30-35=-5\), and \(25-30=-5\). Hence, this is an AP with common difference \(-5\). Therefore, the terms after 25 are \(25-5=20\) and \(20-5=15\). In option (22, 19), the difference is \(-3\), so it does not continue the AP. Exam tip: Find the difference between consecutive terms first, then apply the same difference to get the next terms.
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Which term is not given in the arithmetic progression \(18,21,24,27,\ldots\)?
D. 30
दी गई समांतर श्रेढ़ी के लिखे हुए पद 18, 21, 24 और 27 हैं। इसका सार्व अंतर \(21-18=3\) है, इसलिए अगला पद \(27+3=30\) होगा। अतः 30 श्रेढ़ी का अगला पद तो है, लेकिन प्रश्न में दिए गए पदों में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए पदों की पहचान करने के लिए केवल दी गई सूची देखें; आगे के संभावित पदों को अलग रखें। / The explicitly listed terms are 18, 21, 24 and 27. The common difference is \(21-18=3\), so the next term would be \(27+3=30\). Therefore, 30 is a term of the AP but is not among the terms given in the question. Exam tip: distinguish the terms already listed from the terms that can be generated next.
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If a sequence is \(5,5,5,5,\ldots\), what type of arithmetic progression is it?
C. समान पदों वालीConstant-term
समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर लगातार दो पदों का अंतर होता है। यहाँ \(d=5-5=0\) है और प्रत्येक लगातार पद का अंतर भी शून्य है। इसलिए सभी पद समान हैं और यह समान पदों वाली समांतर श्रेढ़ी है। इसे बढ़ती या घटती हुई श्रेढ़ी नहीं कहेंगे। परीक्षा में याद रखें: सार्व अंतर \(d=0\) होने पर AP स्थिर या समान पदों वाली होती है। / The common difference of an arithmetic progression is the difference between consecutive terms. Here, \(d=5-5=0\), and the difference between every pair of consecutive terms is also zero. Therefore, all the terms are equal, so it is an arithmetic progression with constant terms. It is neither increasing nor decreasing. Exam tip: an AP with \(d=0\) is called a constant AP.
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B. 2
समान्तर श्रेणी में सार्व अंतर दो क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ \(14-12=2\) और \(16-14=2\), इसलिए सार्व अंतर 2 है। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि वह पहले और तीसरे पद का अंतर है, क्रमागत पदों का नहीं। परीक्षा-युक्ति: सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए हमेशा अगले पद में से पिछले पद को घटाएँ। / In an arithmetic progression, the common difference is the difference between two consecutive terms. Here, \(14-12=2\) and \(16-14=2\), so the common difference is 2. Option 4 is incorrect because it is the difference between the first and third terms, not consecutive terms. Exam tip: subtract each term from the term immediately after it to find the common difference.
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In the sequence \(50,45,40,35,\ldots\), how much less is each term than the previous term?
C. 5
क्रमागत पदों का अंतर निकालें: \(45-50=-5\), \(40-45=-5\)। इसलिए हर अगला पद पिछले पद से 5 कम है और समान अंतर \(-5\) है। पूछा गया है कि कितना कम है, इसलिए उत्तर 5 है, न कि \(-5\)। परीक्षा-युक्ति: ‘कितना कम’ धनात्मक कमी बताता है, जबकि सार्व अंतर का चिह्न ऋणात्मक होता है। / Find the differences between consecutive terms: \(45-50=-5\) and \(40-45=-5\). Thus, each term is 5 less than the preceding term, and the common difference is \(-5\). Since the question asks how much less, the answer is 5 rather than \(-5\). Exam tip: “how much less” gives the positive magnitude of the decrease, whereas the common difference is negative.
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B. \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) है। समान हर वाले भिन्नों में अंश घटाएँ। / \(\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). For fractions with the same denominator, subtract the numerators.
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If \(a_1=16\) and \(a_2=10\), what will be the common difference (d)?
C. -6
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर पहले पद को दूसरे पद से घटाने पर मिलता है: d = a₂ − a₁ = 10 − 16 = −6। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प B में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है; केवल परिमाण 6 लेना सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि अगला पद पिछले पद से छोटा हो, तो सार्व अंतर ऋणात्मक होगा। / In an arithmetic progression, the common difference is found by subtracting the first term from the second term: d = a₂ − a₁ = 10 − 16 = −6. Therefore, option C is correct. Option B gives only the magnitude, 6, and misses the negative sign. Exam tip: when the next term is smaller than the previous term, the common difference is negative.
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The sequence \(2,4,6,8,\ldots\) has common difference (2). What type of sequence is it?
A. समांतर श्रेढ़ीArithmetic progression
लगातार पदों के अंतर समान हैं: 4−2=2, 6−4=2 और 8−6=2। इसलिए यह समांतर श्रेढ़ी है। यह गुणोत्तर श्रेढ़ी नहीं है, क्योंकि उसके लगातार पदों का अनुपात समान होना चाहिए, जबकि यहाँ अनुपात समान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी समांतर श्रेढ़ी की पहचान के लिए लगातार पदों का अंतर जाँचें। / The differences between consecutive terms are equal: 4−2=2, 6−4=2, and 8−6=2. Therefore, the sequence is an arithmetic progression. It is not a geometric progression because a geometric progression must have a constant ratio between consecutive terms, which is not true here. Exam tip: To identify an arithmetic progression, check whether the differences between consecutive terms are equal.
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In an arithmetic progression, when (d>0), how do the terms generally change?
B. बढ़ते हैंThey increase
समांतर श्रेढ़ी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में सार्व अंतर d जोड़कर प्राप्त होता है। जब d>0 होता है, तो हर अगला पद पिछले पद से बड़ा होता है; इसलिए पद बढ़ते हैं। विकल्प D तब सही होता जब d=0 होता, जबकि d<0 होने पर पद घटते। परीक्षा-टिप: d का चिह्न देखें—धनात्मक d में श्रेढ़ी बढ़ती, शून्य d में स्थिर और ऋणात्मक d में घटती है। / In an arithmetic progression, each successive term is obtained by adding the common difference d to the preceding term. When d>0, each next term is larger than the previous one, so the terms increase. Option D would be correct only when d=0, while the terms decrease when d<0. Exam tip: check the sign of d—positive means increasing, zero means constant, and negative means decreasing.
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In an arithmetic progression, when (d<0), how do the terms generally change?
C. घटते हैंThey decrease
समांतर श्रेढ़ी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में सार्व अंतर \(d\) जोड़कर प्राप्त होता है। जब \(d<0\) होता है, तो हर बार एक ऋणात्मक संख्या जुड़ती है, इसलिए पद क्रमशः घटते हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(d=0\) हो। परीक्षा-युक्ति: \(d>0\) पर पद बढ़ते, \(d=0\) पर समान और \(d<0\) पर घटते हैं। / In an arithmetic progression, each successive term is obtained by adding the common difference \(d\) to the previous term. When \(d<0\), a negative number is added each time, so the terms decrease successively. Option B would be correct only when \(d=0\). Exam tip: terms increase for \(d>0\), remain equal for \(d=0\), and decrease for \(d<0\).
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In the sequence \(7,10,13,16,\ldots\), which term is (10)?
B. दूसरा पदSecond term
लिखे क्रम में (7) पहला और (10) दूसरा पद है। पद संख्या निकालते समय शुरुआत से गिनें। / In the written order, (7) is the first term and (10) is the second term. Count from the beginning to find the term position.
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What is the common difference of the arithmetic progression \(31,28,25,22,\ldots\)?
B. -3
समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर लगातार दो पदों का अंतर होता है। यहाँ, \(d=28-31=-3\) और अगले पदों के लिए भी \(25-28=-3\) है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B, \(-3\), है। घटती हुई समांतर श्रेढ़ी में सार्व अंतर ऋणात्मक होता है—पदों का क्रम देखकर उसके चिह्न की जाँच करें। / The common difference of an arithmetic progression is the difference between two consecutive terms. Here, \(d=28-31=-3\), and the next difference is also \(25-28=-3\). Therefore, option B, \(-3\), is correct. In a decreasing arithmetic progression, the common difference is negative; check the sign by subtracting the preceding term from the next term.
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