बहुपद में पदों को जोड़ या घटाव के चिह्नों द्वारा अलग किया जाता है। यहाँ \(7x^2\) और \(5\) दो अलग-अलग पद हैं, इसलिए बहुपद में 2 पद हैं। परीक्षा में पदों की संख्या गिनते समय धन या ऋण चिह्न से अलग हुए प्रत्येक भाग को एक पद मानें। / Terms in a polynomial are separated by plus or minus signs. Here, \(7x^2\) and \(5\) are two distinct terms, so the polynomial has 2 terms. In an exam, count each part separated by a plus or minus sign as one term.
अभिव्यक्ति \(9x^{-4}y^{6}\cdot\frac{1}{9}x^{-4}y=x^{-8}y^{7}\) है। इसलिए \(c=1\), \(r=-8\), \(s=7\), और \(c+r+s=0\) होता है। / The expression is \(9x^{-4}y^{6}\cdot\frac{1}{9}x^{-4}y=x^{-8}y^{7}\). Thus \(c=1\), \(r=-8\), \(s=7\), and \(c+r+s=0\).
\(\left(\frac{125x^{-9}}{64y^{12}}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{5x^{-3}}{4y^{4}}\)। \(-\frac{1}{3}\) घात लेने पर व्युत्क्रम \(\frac{4x^{3}y^{4}}{5}\) मिलता है। / We get \(\left(\frac{125x^{-9}}{64y^{12}}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{5x^{-3}}{4y^{4}}\). The power \(-\frac{1}{3}\) gives the reciprocal \(\frac{4x^{3}y^{4}}{5}\).
अंदर \(\frac{9r^{-4}s^{3}}{81r^{2}s^{-5}}=\frac{1}{9}r^{-6}s^{8}\) है। (-1) घात लेने पर \(9r^{6}s^{-8}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{9r^{-4}s^{3}}{81r^{2}s^{-5}}=\frac{1}{9}r^{-6}s^{8}\). Raising to (-1) gives \(9r^{6}s^{-8}\).
\(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), और \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{343}=7\), \(\sqrt[3]{a^{15}}=a^{5}\), and \(\sqrt[3]{b^{12}}=b^{4}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
अभिव्यक्ति \(8x^{-3}y^{6}\cdot\frac{1}{4}x^{-2}y=;2x^{-5}y^{7}\) है। इसलिए \(c+r+s=2-5+7=4\) है। / The expression is \(8x^{-3}y^{6}\cdot\frac{1}{4}x^{-2}y=2x^{-5}y^{7}\). Hence \(c+r+s=2-5+7=4\).
\(\left(\frac{64x^{-6}}{27y^{9}}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{4x^{-2}}{3y^{3}}\)। \(-\frac{1}{3}\) घात लेने पर व्युत्क्रम \(\frac{3x^{2}y^{3}}{4}\) मिलता है। / We get \(\left(\frac{64x^{-6}}{27y^{9}}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{4x^{-2}}{3y^{3}}\). The power \(-\frac{1}{3}\) gives the reciprocal \(\frac{3x^{2}y^{3}}{4}\).
अंदर \(\frac{7r^{-3}s^{2}}{49r^{2}s^{-4}}=\frac{1}{7}r^{-5}s^{6}\) है। (-1) घात लेने पर \(7r^{5}s^{-6}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{7r^{-3}s^{2}}{49r^{2}s^{-4}}=\frac{1}{7}r^{-5}s^{6}\). Raising to (-1) gives \(7r^{5}s^{-6}\).
\(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), और \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{216}=6\), \(\sqrt[3]{a^{12}}=a^{4}\), and \(\sqrt[3]{b^{9}}=b^{3}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
घात के नियम \((ab)^k=a^k b^k\) के अनुसार बाएँ पक्ष का विस्तार \(x^{-3k}y^{2k}\) होगा। समान आधारों की घातों की तुलना करने पर \(-3k=-12\) और \(2k=8\) मिलता है। दोनों समीकरणों से \(k=4\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाले पदों की बराबरी में उनके घातांकों की तुलना करें। / Using the exponent rule \((ab)^k=a^k b^k\), the left-hand side becomes \(x^{-3k}y^{2k}\). Comparing the exponents of the same bases gives \(-3k=-12\) and \(2k=8\), and both equations yield \(k=4\). Exam tip: When monomials with the same bases are equal, compare the corresponding exponents.
भागफल के नियम से \(\frac{m^{-4}n^3}{m^2n^{-5}}=m^{-4-2}n^{3-(-5)}=m^{-6}n^8\)। अब \((-1)\) घात लेने पर व्यंजक का व्युत्क्रम मिलता है: \((m^{-6}n^8)^{-1}=m^6n^{-8}\)। अतः सही विकल्प B है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक घात का अर्थ व्युत्क्रम होता है, इसलिए \(n^{-8}=\frac{1}{n^8}\)। / Using the quotient rule for exponents, \(\frac{m^{-4}n^3}{m^2n^{-5}}=m^{-4-2}n^{3-(-5)}=m^{-6}n^8\). Raising this result to the power \(-1\) takes its reciprocal: \((m^{-6}n^8)^{-1}=m^6n^{-8}\). Therefore, option B is correct. Exam tip: a negative exponent represents a reciprocal, so \(n^{-8}=\frac{1}{n^8}\).
\(\left(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}\), इसलिए \(-\frac{1}{3}\) घात देने पर उसका व्युत्क्रम \(\frac{2xy^{2}}{3}\) है। परीक्षा में भिन्न घात के बाद ऋणात्मक संकेत को व्युत्क्रम मानें। / We get \(\left(\frac{27x^{-3}}{8y^{6}}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{3x^{-1}}{2y^{2}}\), so the power \(-\frac{1}{3}\) gives its reciprocal \(\frac{2xy^{2}}{3}\). In exams, treat the negative fractional power as a reciprocal after rooting.
अंदर \(\frac{5m^{-2}n^{3}}{25m^{4}n^{-1}}=\frac{1}{5}m^{-6}n^{4}\), इसलिए (-1) घात लेने पर \(5m^{6}n^{-4}\) है। परीक्षा में गुणांक भी उलटना न भूलें। / Inside, \(\frac{5m^{-2}n^{3}}{25m^{4}n^{-1}}=\frac{1}{5}m^{-6}n^{4}\), so raising to (-1) gives \(5m^{6}n^{-4}\). In exams, do not forget to invert the coefficient too.
\(\sqrt[3]{125}=5\), \(\sqrt[3]{a^{9}}=a^{3}\), और \(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\)। परीक्षा में घनमूल में घातों को (3) से भाग दें। / We have \(\sqrt[3]{125}=5\), \(\sqrt[3]{a^{9}}=a^{3}\), and \(\sqrt[3]{b^{6}}=b^{2}\). In exams, divide exponents by (3) under a cube root.
घातांक के नियम \((a^m)^n=a^{mn}\) के अनुसार, \((x^{2}y^{-1})^k=x^{2k}y^{-k}\)। अतः समान आधारों की घातों की तुलना करने पर \(2k=10\) और \(-k=-5\) मिलता है; दोनों से \(k=5\) प्राप्त होता है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि उससे घातें \(x^8y^{-4}\) होंगी। परीक्षा में पहले कोष्ठक की प्रत्येक घात को बाहरी घात से गुणा करें। / Using the exponent rule \((a^m)^n=a^{mn}\), we get \((x^{2}y^{-1})^k=x^{2k}y^{-k}\). Comparing the exponents of the same bases gives \(2k=10\) and \(-k=-5\), so both equations yield \(k=5\). Option 4 is incorrect because it would produce \(x^8y^{-4}\). Exam tip: multiply every exponent inside the bracket by the outside exponent before comparing like bases.
अंदर \(\frac{4x^{3}y^{-2}}{2x^{-1}y^{4}}=2x^{4}y^{-6}\), इसका वर्ग \(4x^{8}y^{-12}\) है। फिर \(\frac{y^{12}}{x^{4}}\) से गुणा करने पर \(4x^{4}\) मिलता है। / Inside, \(\frac{4x^{3}y^{-2}}{2x^{-1}y^{4}}=2x^{4}y^{-6}\), and its square is \(4x^{8}y^{-12}\). Multiplying by \(\frac{y^{12}}{x^{4}}\) gives \(4x^{4}\).
अंदर \(a^{-3-2}b^{2-(-4)}=a^{-5}b^{6}\) है, इसलिए (-2) घात देने पर \(a^{10}b^{-12}\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक घात पर दोनों घातों के चिह्न बदलते हैं। / Inside, \(a^{-3-2}b^{2-(-4)}=a^{-5}b^{6}\), so raising to (-2) gives \(a^{10}b^{-12}\). In exams, a negative outer power changes the signs of both exponents.
\(\frac{3x^{-2}}{y^{-1}}=3x^{-2}y\), इसका घन \(27x^{-6}y^{3}\) है, फिर \(\frac{y^{2}}{27}\) से गुणा करने पर \(x^{-6}y^{5}\) मिलता है। परीक्षा में भाग को ऋणात्मक घात से गुणा में बदलें। / \(\frac{3x^{-2}}{y^{-1}}=3x^{-2}y\), its cube is \(27x^{-6}y^{3}\), and multiplying by \(\frac{y^{2}}{27}\) gives \(x^{-6}y^{5}\). In exams, turn division by a negative power into multiplication.
बाएँ पक्ष में घातें (2n) और (3n) हैं, इसलिए \(2n=8\) और \(3n=12\) से \(n=4\)। परीक्षा में दोनों चर की घात मिलाकर जांचें। / The left side has exponents (2n) and (3n), so \(2n=8\) and \(3n=12\), giving \(n=4\). In exams, match exponents of both variables.
अंदर \(a^{3-(-1)}b^{-2-2}=a^{4}b^{-4}\), इसलिए वर्ग करने पर \(a^{8}b^{-8}\) है। परीक्षा में ऋणात्मक घात घटाते समय चिह्न पर ध्यान दें। / Inside, \(a^{3-(-1)}b^{-2-2}=a^{4}b^{-4}\), and squaring gives \(a^{8}b^{-8}\). In exams, watch the sign when subtracting negative exponents.
\(\left(ab^{-2}\right)^{3}=a^{3}b^{-6}\), फिर \(a^{-1}b^{5}\) से गुणा करने पर \(a^{2}b^{-1}\) मिलता है। परीक्षा में हर चर की घात अलग-अलग जोड़ें। / We have \(\left(ab^{-2}\right)^{3}=a^{3}b^{-6}\), and multiplying by \(a^{-1}b^{5}\) gives \(a^{2}b^{-1}\). In exams, add exponents separately for each variable.
अंदर \(\frac{4x^{2}y^{-3}}{2x^{-1}y}=2x^{3}y^{-4}\), इसलिए घात (-2) देने पर \(\frac{y^{8}}{4x^{6}}\) मिलता है। परीक्षा में पहले कोष्ठक के अंदर सरल करें। / Inside, \(\frac{4x^{2}y^{-3}}{2x^{-1}y}=2x^{3}y^{-4}\), and raising to (-2) gives \(\frac{y^{8}}{4x^{6}}\). In exams, simplify inside the bracket first.
ऊपर ((2x)3\(3x^{-2}\)=8x-3\cdot 3x^{-2}=24x), और \(\dfrac{24x}{12x^{-1}}=2x^2\)। परीक्षा में coefficient और variable दोनों सरल करें। / The numerator is ((2x)3\(3x^{-2}\)=8x-3\cdot 3x^{-2}=24x), and \(\dfrac{24x}{12x^{-1}}=2x^2\). In exams, simplify both coefficient and variable parts.
गुणांक (-4) और (3) का गुणनफल (-12) है, और \(a^{2-1}b^{-3+5}=ab^2\) है। परीक्षा में गुणांक और घातांक अलग-अलग संभालें। / The product of coefficients (-4) and (3) is (-12), and \(a^{2-1}b^{-3+5}=ab^2\). In exams, handle coefficients and exponents separately.
गुणांक \(\dfrac{6}{2}=3\), \(a^{3-1}=a^2\) और \(b^{2-(-1)}=b^3\) है। परीक्षा में हर के ऋणात्मक घातांक को घटाते समय sign बदलता है। / The coefficient is \(\dfrac{6}{2}=3\), \(a^{3-1}=a^2\), and \(b^{2-(-1)}=b^3\). In exams, the sign changes when subtracting a negative exponent.
गुणांक (2) और (-3) का गुणनफल (-6) है, और समान चरों की घातें जुड़ती हैं। परीक्षा में sign और exponents दोनों ध्यान से देखें। / The product of coefficients (2) and (-3) is (-6), and powers of like variables are added. In exams, watch both the sign and the exponents carefully.
