conjugate se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
43 questions tagged with conjugate.
If \(u=6+\sqrt{5}\) and \(v=6-\sqrt{5}\), what is the value of (uv)?
A. (31)
संयुग्मी गुणन से ((6)2-\(\sqrt{5}\)2=36-5=31) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में \(a^2-b^2\) प्रयोग करें। / Conjugate multiplication gives ((6)2-\(\sqrt{5}\)2=36-5=31). Use \(a^2-b^2\) in such questions.
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Which of the following is the value of the product \(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)?
A. -2
गुणनफल को सरल करने के लिए संयुग्मी पहचान उपयोग करें: \((1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1^2-(\sqrt{3})^2=1-3=-2\). यहाँ सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू होता है। विकल्प 4 उस त्रुटि से आता है जिसमें किसी ने 1 और 3 को जोड़ दिया (गलत तरीके से)। परीक्षा-टिप: संयुग्मी गुणा करने पर हमेशा चिह्नों का ध्यान रखें और तुरंत \((a+b)(a-b)\) पहचान लगाएँ। / Use the conjugate-product identity: \((1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1^2-(\sqrt{3})^2=1-3=-2.\) This follows from \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). The tempting wrong choice 4 comes from incorrectly adding 1 and 3 instead of subtracting. Exam tip: apply the conjugate formula and watch the signs carefully when multiplying surds.
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If u = 5 + \sqrt{2} and v = 5 - \sqrt{2}, what is the value of uv?
A. 23
क्योंकि यह दो संयुग्म (conjugates) हैं, हम अंतरांक वर्ग का सूत्र उपयोग कर सकते हैं: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)। यहाँ \(a=5\) और \(b=\sqrt{2}\), अतः \((5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})=5^2-(\sqrt{2})^2=25-2=23\)। विकल्प B (27) गलत है क्योंकि वह यादृच्छिक वृद्धि है; विकल्प C और D अपरिमेय रूपों को लौटाते हैं जो गुणन का सही परिणाम नहीं हैं। परीक्षा टिप: संयुग्मों के गुणन में हमेशा अंतर का वर्ग निकालें — यह तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / These are conjugates, so use the difference of squares identity: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). With \(a=5\) and \(b=\sqrt{2}\), \((5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})=5^2-(\sqrt{2})^2=25-2=23\). Option B (27) is incorrect — it confuses adding instead of subtracting the square; options C and D give irrational forms that are not the product. Exam tip: recognize conjugates and apply the difference of squares to compute such products quickly and reliably.
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Which option correctly writes \(\frac{2}{\sqrt{5}+1}\) with a rational denominator?
A. \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
हर को \(\sqrt{5}-1\) से गुणा करें। / Multiply by the conjugate \(\sqrt{5}-1\).
(\frac{2\(\sqrt{5}-1\)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2})। / (\frac{2\(\sqrt{5}-1\)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर परिमेय बन जाता है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator rational.
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Which option correctly gives the reciprocal of \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)?
A. \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
(\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=3-2=1)। / (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=3-2=1).
इसलिए \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) इसका व्युत्क्रम है। / Therefore \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) is its reciprocal.
व्युत्क्रम में संयुग्मी का क्रम और चिह्न सावधानी से रखें। / In reciprocals, keep the order and sign of the conjugate carefully.
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Which number is equal to \(\frac{2}{\sqrt{2}+1}\)?
A. \(2\sqrt{2}-2\)
हर का संयुग्मी \(\sqrt{2}-1\) है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{2}-1\).
(\frac{2}{\sqrt{2}+1}\times\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2\(\sqrt{2}-1\)}{2-1}=2\sqrt{2}-2)। / (\frac{2}{\sqrt{2}+1}\times\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2\(\sqrt{2}-1\)}{2-1}=2\sqrt{2}-2).
संयुग्मी का सही चिह्न चुनना बहुत जरूरी है। / Choosing the correct conjugate sign is very important.
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If \(x=2-\sqrt{3}\), what is the rationalized form of \(\frac{1}{x}\)?
A. \(2+\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) में हर का संयुग्मी \(2+\sqrt{3}\) है। / The conjugate of the denominator in \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) is \(2+\sqrt{3}\).
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\times\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\)। / \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\times\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}\).
हर में संयुग्मी से गुणा करने पर मूल हट जाता है। / Multiplying by the conjugate removes the radical from the denominator.
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If \(x=4-\sqrt{15}\), what is \(\frac{1}{x}\)?
A. \(4+\sqrt{15}\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{15}}\) में हर का संयुग्म \(4+\sqrt{15}\) है। / In \(\frac{1}{4-\sqrt{15}}\), the conjugate of the denominator is \(4+\sqrt{15}\).
हर (16-15=1) बनता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। / The denominator becomes (16-15=1), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
संयुग्म से परिमेयकरण करने पर हर जल्दी सरल होता है। / Rationalising with the conjugate quickly simplifies the denominator.
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What is the form of \(\frac{1}{4+\sqrt{15}}\) with a rational denominator?
A. \(4-\sqrt{15}\)
हर \(4+\sqrt{15}\) का संयुग्म \(4-\sqrt{15}\) है। / The conjugate of \(4+\sqrt{15}\) is \(4-\sqrt{15}\).
\(\frac{1}{4+\sqrt{15}}\times\frac{4-\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}}=\frac{4-\sqrt{15}}{16-15}=4-\sqrt{15}\)। / \(\frac{1}{4+\sqrt{15}}\times\frac{4-\sqrt{15}}{4-\sqrt{15}}=\frac{4-\sqrt{15}}{16-15}=4-\sqrt{15}\).
परिमेयकरण में हर का संयुग्म प्रयोग करें। / Use the conjugate of the denominator for rationalisation.
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If \(x=3-\sqrt{8}\), what is \(\frac{1}{x}\)?
A. \(3+\sqrt{8}\)
\(\frac{1}{3-\sqrt{8}}\) में हर का संयुग्म \(3+\sqrt{8}\) है। / In \(\frac{1}{3-\sqrt{8}}\), the conjugate of the denominator is \(3+\sqrt{8}\).
हर (9-8=1) बनता है, इसलिए मान \(3+\sqrt{8}\) है। / The denominator becomes (9-8=1), so the value is \(3+\sqrt{8}\).
संयुग्म से परिमेयकरण करने पर हर जल्दी सरल होता है। / Rationalising with the conjugate quickly simplifies the denominator.
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What is the form of \(\frac{1}{3+\sqrt{8}}\) with a rational denominator?
A. \(3-\sqrt{8}\)
हर \(3+\sqrt{8}\) का संयुग्म \(3-\sqrt{8}\) है। / The conjugate of \(3+\sqrt{8}\) is \(3-\sqrt{8}\).
\(\frac{1}{3+\sqrt{8}}\times\frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}}=\frac{3-\sqrt{8}}{9-8}=3-\sqrt{8}\)। / \(\frac{1}{3+\sqrt{8}}\times\frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}}=\frac{3-\sqrt{8}}{9-8}=3-\sqrt{8}\).
परिमेयकरण में हर का संयुग्म प्रयोग करें। / Use the conjugate of the denominator for rationalisation.
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If \(x=2-\sqrt{3}\), what is \(\frac{1}{x}\)?
A. \(2+\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) में हर का संयुग्म \(2+\sqrt{3}\) है। / For \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\), the conjugate of the denominator is \(2+\sqrt{3}\).
गुणा करने पर हर (4-3=1) बनता है, इसलिए मान \(2+\sqrt{3}\) है। / Multiplying gives denominator (4-3=1), so the value is \(2+\sqrt{3}\).
संयुग्म से परिमेयकरण तेजी से उत्तर देता है। / Rationalising with the conjugate gives the answer quickly.
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What is the form of \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\) with a rational denominator?
A. \(2-\sqrt{3}\)
हर का संयुग्म \(2-\sqrt{3}\) है। / The conjugate of the denominator is \(2-\sqrt{3}\).
\(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}\)। / \(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}\).
परिमेयकरण में संयुग्म से गुणा करें। / For rationalisation, multiply by the conjugate.
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