A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root. चरण 1: किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। चरण 2: जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। चरण 3: केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
A. \(3\sqrt{7}\) और अपरिमेय/\(3\sqrt{7}\) and irrational
Step 1
Concept
Since \(28=4\cdot 7\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In exams, combine like radicals by adding their coefficients. चरण 1: \(28=4\cdot 7\) इसलिए \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)। चरण 2: अब \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: परीक्षा में समान वर्गमूल वाले पदों को गुणांक जोड़कर सरल करें।
A. क्या वह पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में बदल रही है/Whether it becomes the square root of a perfect square
Step 1
Concept
In square-root questions first check whether the number inside is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
A perfect square may give a rational square root while a non-perfect square often gives an irrational value.
Step 3
Exam Tip
Simplifying is the safest first step in identification questions. चरण 1: वर्गमूल वाले प्रश्नों में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। चरण 2: पूर्ण वर्ग हो तो वर्गमूल परिमेय हो सकता है और पूर्ण वर्ग न हो तो अक्सर अपरिमेय होता है। चरण 3: पहचान वाले प्रश्नों में सरल करना सबसे सुरक्षित शुरुआत है।
\(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\). Since \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\), the second expression is greater.
Step 3
Exam Tip
Simplify first and compare carefully. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)। तुलना में \(4\sqrt{2}\) लगभग (5.66) और दूसरा लगभग (6.29) लगता है लेकिन शुद्ध तुलना में \(2\sqrt{2}\) और \(2\sqrt{3}\) के कारण दूसरा बड़ा है। चरण 3: अनुमान और सरल रूप दोनों जांचें।
A. \(2\sqrt{2}\) और अपरिमेय/\(2\sqrt{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The difference is \(2\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Directly subtracting numbers inside radicals is wrong. चरण 1: \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)। चरण 2: अंतर \(2\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों के अंदर की संख्याओं को सीधे घटाना गलत है।
B. यह \(\sqrt{6}\) है और अपरिमेय है/It is \(\sqrt{6}\) and irrational
Step 1
Concept
The product of radicals is \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (6) is not a perfect square \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication the numbers inside radicals multiply, not add. चरण 1: वर्गमूलों का गुणनफल \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\) है। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में भीतर की संख्याएं गुणा होती हैं जोड़ नहीं।
A. समकोण त्रिभुज की भुजाएं (1) और (1) लेकर कर्ण बनाना/Make a right triangle with legs (1) and (1) and use the hypotenuse
Step 1
Concept
\(1^2+1^2=2\).
Step 2
Why this answer is correct
So the hypotenuse of that right triangle is \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
The Pythagoras theorem helps locate irrational numbers on a number line. चरण 1: \(1^2+1^2=2\) होता है। चरण 2: इसलिए ऐसे समकोण त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{2}\) होगा। चरण 3: संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्या रखने में पाइथागोरस प्रमेय उपयोगी है।
B. अपरिमेय क्योंकि \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)/Irrational because \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and remains irrational after division by (3).
Step 3
Exam Tip
Check both numerator and denominator of the fraction. चरण 1: \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (3) से भाग देने पर भी अपरिमेय रहता है। चरण 3: भिन्न के अंश और हर दोनों को जांचें।
Multiplying by the conjugate makes the denominator rational. चरण 1: हर को \(\sqrt{5}-1\) से गुणा करें। चरण 2: (\frac{2\(\sqrt{5}-1\)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2})। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करने पर हर परिमेय बन जाता है।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
A. यह \(6\sqrt{2}\) है और अपरिमेय है/It is \(6\sqrt{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The result is \(6\sqrt{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add and subtract coefficients of like radicals. चरण 1: \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: परिणाम \(6\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़ें और घटाएं।
A. \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) would be rational which is impossible
Step 1
Concept
The equation gives \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{a}{b}\) is rational but \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Such questions use irrationality to create a contradiction. चरण 1: समीकरण से \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) मिलेगा। चरण 2: \(-\frac{a}{b}\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अपरिमेयता से विरोधाभास बनता है।
Hence \(1<\sqrt{2}<2\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To locate an irrational number compare squares. चरण 1: (1<2<4) है। चरण 2: इसलिए \(1<\sqrt{2}<2\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को स्थान देने के लिए वर्ग करके तुलना करें।
A. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) और अपरिमेय/\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Rationalize the denominator before combining terms. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) जो अपरिमेय है। चरण 3: जोड़ने से पहले हर को परिमेय बनाने की आदत रखें।
B. अपरिमेय क्योंकि यह \(\sqrt{5}\) के बराबर है/Irrational because it equals \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even after division check the remaining radical. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)। चरण 2: \(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: हर से भाग देने पर भी बचा हुआ वर्गमूल जांचना जरूरी है।
A. \(7\sqrt{3}\) और अपरिमेय/\(7\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(7\sqrt{3}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify radicals before adding them. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। चरण 2: योग \(7\sqrt{3}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों को जोड़ने से पहले सरल रूप में बदलें।
If (r-s) were rational then (s=r-(r-s)) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
Adding or subtracting a rational and an irrational number gives an irrational number. चरण 1: मान लें परिमेय (r) और अपरिमेय (s) हैं। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय को जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।
(\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Product of conjugates often removes the radical. चरण 1: यह अंतर के वर्ग का रूप है। चरण 2: (\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पदों का गुणनफल अक्सर वर्गमूल हटा देता है।
B. यह \(2\sqrt{a}\) के बराबर अपरिमेय है/It equals \(2\sqrt{a}\) and is irrational
Step 1
Concept
Like terms give \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a) is not a perfect square \(\sqrt{a}\) is irrational and its double is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add like radicals like algebraic terms. चरण 1: समान पद जोड़ने पर \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\)। चरण 2: (a) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान वर्गमूलों को बीजगणितीय पदों की तरह जोड़ें।
B. \(\sqrt{6}\) परिमेय है/\(\sqrt{6}\) is rational
Step 1
Concept
Suppose \(5-\sqrt{6}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then \(\sqrt{6}=5-\) that rational number so \(\sqrt{6}\) would be rational.
Step 3
Exam Tip
In contradiction proofs identify the result that clashes with a known fact. चरण 1: मान लें \(5-\sqrt{6}\) परिमेय है। चरण 2: तब \(\sqrt{6}=5-\) वह परिमेय संख्या होगा इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिल जाएगा। चरण 3: विरोधाभास विधि में उस निष्कर्ष को पकड़ें जो ज्ञात तथ्य से टकराता है।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
B. अपरिमेय क्योंकि \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)/Irrational because \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(48=16\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The square root of an even number need not be rational. चरण 1: \(48=16\cdot 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: सम संख्या का वर्गमूल परिमेय होगा यह जरूरी नहीं।
If \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) were rational then its reciprocal \(\sqrt{3}\) would be rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) is irrational so the given number is irrational.
Step 3
Exam Tip
A denominator with an irrational radical does not make the value rational automatically. चरण 1: यदि \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) परिमेय हो तो उसका व्युत्क्रम \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होगा। चरण 2: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए दी गई संख्या भी अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय हर देखकर उसे अपने आप परिमेय न मानें।
C. अनंत अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-recurring decimal
Step 1
Concept
Rational numbers have terminating or recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
Irrational numbers have non-terminating and non-recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
If a repeating block is visible the number may be rational. चरण 1: परिमेय संख्याओं का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: अपरिमेय संख्याओं का दशमलव अनंत और अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव में बार-बार आने वाला समूह दिखाई दे तो वह परिमेय हो सकता है।
B. अपरिमेय क्योंकि उत्तर \(\sqrt{2}\) है/Irrational because the answer is \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The difference is \(\sqrt{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not subtract the numbers inside square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: अंतर \(\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल घटाते समय भीतर की संख्याओं को सीधे न घटाएं।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
B. दोनों अपरिमेय हैं और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)/Both are irrational and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
Since \(8=4\cdot 2\) we have \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and its double is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Compare like radicals after simplifying them. चरण 1: \(8=4\cdot 2\) है इसलिए \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाली संख्याओं को सरल रूप में तुलना करें।
Multiplying it by \(\sqrt{13}\) gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
In products check first whether square roots combine to a perfect square. चरण 1: \(\frac{3}{5}\) शून्य रहित परिमेय है। चरण 2: शून्य रहित परिमेय संख्या से \(\sqrt{13}\) को गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: गुणनफल में पहले देखें कि वर्गमूल मिलकर पूर्ण वर्ग तो नहीं बना रहे।
C. यह अनावर्ती और अनंत दशमलव है/It is non-recurring and non-terminating decimal
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) is not the square root of a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
So it is irrational and its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
While using decimal form check whether repetition exists. चरण 1: \(\sqrt{5}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है। चरण 2: इसलिए यह अपरिमेय है और इसका दशमलव विस्तार अनंत अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव रूप से पहचानते समय आवृत्ति पर ध्यान दें।
