\(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate the largest perfect square factor while simplifying surds. चरण 1: \(45=9\times5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें।
\(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\), all are irrational.
Step 3
Exam Tip
This item has no rational option, so it should be treated as an invalid question. चरण 1: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: \(\sqrt{50}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), यह अपरिमेय है; पर सही परिमेय विकल्प खोजने के लिए सभी सरल करें: \(\sqrt{18}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}\); कोई भी परिमेय नहीं है। चरण 3: यहाँ दिए गए विकल्पों में परिमेय संख्या नहीं है, इसलिए प्रश्न में त्रुटि से बचने के लिए सही चयन नहीं बनता।
B. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
If (n) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by evenness or primality; check whether it is a perfect square. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल सम या अभाज्य देखकर निर्णय न लें; पूर्ण वर्ग की जाँच करें।
So \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify like radical terms before deciding the type of number. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) होता है। चरण 2: इसलिए \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों को पहले सरल करें।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
Always check that the rational multiplier is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए।
(150) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{150}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Square both bounds to handle square-root ranges. चरण 1: \(12<\sqrt{n}<13\) का अर्थ है (144<n<169)। चरण 2: (150) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{150}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की सीमा के लिए दोनों तरफ वर्ग करें।
(99) is not a perfect square, so \(\sqrt{99}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first separate the perfect squares. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: (99) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{99}\) अपरिमेय होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्गों को अलग कर दें।
(105) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{105}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Square both bounds to handle square-root ranges. चरण 1: \(10<\sqrt{n}<11\) का अर्थ है (100<n<121)। चरण 2: (105) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{105}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की सीमा के लिए दोनों तरफ वर्ग करें।
(52) is not a perfect square, so \(\sqrt{52}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, eliminate perfect squares first. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: (52) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{52}\) अपरिमेय होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दिए गए मानों में पूर्ण वर्गों को पहले हटा दें।
(20) lies in this interval and is not a perfect square, so \(\sqrt{20}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root inequalities, square the bounds to form the interval. चरण 1: \(4<\sqrt{n}<5\) का अर्थ है (16<n<25)। चरण 2: (20) इस अंतराल में है और पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{20}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की असमानता में दोनों तरफ वर्ग लेकर अंतराल बनाएं।
The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (25) is a perfect square and \(\sqrt{25}=5\) is rational.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, identify perfect squares first. चरण 1: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। चरण 2: जैसे (25) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले प्रश्नों में पूर्ण वर्ग की पहचान सबसे पहले करें।
An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें।
An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें।
\(\sqrt{2}\approx 1.414\) and \(\sqrt{3}\approx 1.732\).
Step 2
Why this answer is correct
(1.5) lies between these two values.
Step 3
Exam Tip
Approximate values help in comparing square roots. चरण 1: \(\sqrt{2}\approx 1.414\) और \(\sqrt{3}\approx 1.732\)। चरण 2: (1.5) इन दोनों के बीच आता है। चरण 3: वर्गमूलों के बीच संख्या चुनने में लगभग मान मदद करते हैं।
The question asks for the number that is not irrational, so look for a rational option.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{25}=5\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Be careful with negative wording in MCQs. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय विकल्प खोजें। चरण 2: \(\sqrt{25}=5\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: नकारात्मक शब्दों वाले प्रश्नों में जल्दबाजी न करें।
\(\sqrt{2}\) is irrational and (2) is non-zero rational, so \(2\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
First simplify like radicals, then decide the type. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (2) अशून्य परिमेय है, इसलिए \(2\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: समान वर्गमूलों को पहले जोड़कर सरल करें।
(6) is not a perfect square, so \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, eliminate clear rational numbers first. चरण 1: दशमलव (0.75), भिन्न और पूर्णांक परिमेय होते हैं। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले साफ परिमेय संख्याएँ हटाने से उत्तर जल्दी मिलता है।
So \(\sqrt{10}\) cannot be written exactly as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Be careful while identifying square roots of non-perfect squares. चरण 1: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{10}\) को ठीक-ठीक \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 3: बिना पूर्ण वर्ग वाली संख्या का वर्गमूल पहचानने में सावधानी रखें।
(9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। चरण 2: (9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।
An irrational number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
If the number under a square root is not a perfect square, it is usually irrational. चरण 1: अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: \(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल में संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो वह अक्सर अपरिमेय होती है।
