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दो द्विघात सदिशों का गुणन अंतर वर्ग के सूत्र से किया जा सकता है: \((\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})= (\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2=7-2=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। निकटभ्रांत उत्तर \(9\) इसलिए गलत है क्योंकि \(9\) \(7+2\) का योग है — यह कटौरे का वर्गों का योग है, न कि दोनोन का गुणन। \(\sqrt{14}\) गलत है क्योंकि \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{14}\) सही है पर वह केवल व्यक्तिगत गुणन के लिए है, पूरे अभिव्यंजक के गुणन के लिए नहीं। परीक्षा सुझाव: संगत जोड़-घटाव में कॉन्जुगेट ढूँढें और सीधे अंतर-चौकोर \(x^2-y^2\) का उपयोग करें; इससे शीघ्र और शुद्ध उत्तर मिलता है। / Multiply the conjugates using the difference of squares: \((\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2=7-2=5\). Hence the value is 5. The closest distractor 9 is wrong because it is the sum \(7+2\), i.e. sums of squares, not the product of conjugates. \(\sqrt{14}\) is incorrect since \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{14}\) holds for the product of the individual radicals, but not for the product of the summed expressions. \(9+2\sqrt{14}\) is the expansion of \((\sqrt{7}+\sqrt{2})^2\), not the product with its conjugate. Exam tip: spot conjugate pairs and apply \(x^2-y^2\) to avoid extra algebraic expansion.
हर वर्गमूल को अपने सरल स्वरूप में लिखें: \sqrt{12}=2\sqrt{3}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}, \sqrt{75}=5\sqrt{3}, \sqrt{48}=4\sqrt{3}. इन्हें जोड़ने/घटाने पर 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3} मिलता है। विकल्प B या C तब गलत होते हैं जब किसी पद को गलत तरीके से घटा या जोड़ लिया गया हो; विकल्प D \(\sqrt{66}\) इस तरह के पदों का परिणाम नहीं हो सकता क्योंकि विभिन्न गुणकों वाले समान आधार वाले वर्गमूलों को पहले गुणक रूप में लाकर जोड़ा जाता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक \sqrt{n} में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें फिर समान तरह के पद जोड़ें। / Write each radical in simplest form: \sqrt{12}=2\sqrt{3}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}, \sqrt{75}=5\sqrt{3}, \sqrt{48}=4\sqrt{3}. Adding and subtracting gives 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}, so A is correct. Options B and C reflect common arithmetic mistakes in combining coefficients; option D \(\sqrt{66}\) is not possible here because you must combine like radicals (same radicand) after simplifying. Exam tip: factor out perfect square factors first, then combine like radical terms by adding their coefficients.
दो संख्याओं का औसत उनके बीच होता है। इसलिए \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\) इनके बीच है। / The average of two numbers lies between them. Hence \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\) lies between them.
पहले सरल करें: \(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt{5}\), \(\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}\). अतः अभिव्यक्ति बनती है \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है, और किसी गैर-शून्य परिमेय संख्या (यहाँ 2) से गुणा करने पर भी परिणाम अपरिमेय रहता है, इसलिए \(2\sqrt{5}\) अपरिमेय है। अन्य विकल्प गलत इसलिए हैं: परिमेय नहीं हो सकता क्योंकि \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं है; पूर्णांक नहीं क्योंकि यह किसी पूर्णांक के बराबर नहीं है; शून्य नहीं क्योंकि गुणांकीय सहगं\(2\) शून्य नहीं है। परीक्षा सुझाव: वर्गमूलों में सामान्य गुणा-घटाव करके समान \(\sqrt{5}\) वाले पद जमा करें — यह अक्सर समस्या तुरंत सुलझा देता है। / Simplify first: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\), \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\). So the expression equals \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). Since \(\sqrt{5}\) is irrational, multiplying by the nonzero rational 2 yields an irrational number, so \(2\sqrt{5}\) is irrational. Why others are wrong: it cannot be rational because \(\sqrt{5}\) is irrational; it is not an integer; it is not zero because the coefficient 2 is nonzero. Exam tip: factor and combine like surd terms (same \(\sqrt{\;\;}\)) to simplify quickly.
पहले सभी घनमूलों और वर्गमूलों को सरल रूप में लिखें: \(2\sqrt{12}=2\sqrt{4\cdot3}=2\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\), \(-3\sqrt{27}=-3\sqrt{9\cdot3}=-3\times3\sqrt{3}=-9\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\). अब जोड़ें: \(4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(4-9+5)\sqrt{3}=0\). इसलिए सरलीकृत रूप \(0\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(10\sqrt{3}\) तब बनता है जब ऋणात्मक पद का चिन्ह नदारद समझ लिया जाए; यह गलत है। परीक्षा टिप: हर बार अंदर के पूर्ण वर्गों को निकालें और फिर समरूप मूलों को जोड़ें/घटाएँ। / Convert each radical to a common √3 factor: \(2\sqrt{12}=2\sqrt{4\cdot3}=4\sqrt{3}\), \(-3\sqrt{27}=-3\sqrt{9\cdot3}=-9\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\). Summing gives \(4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(4-9+5)\sqrt{3}=0\). Hence the expression simplifies to \(0\). The common distractor \(10\sqrt{3}\) arises from ignoring the negative sign on the middle term, so it is incorrect. Exam tip: factor out perfect squares inside radicals first, then combine like radical terms.
पहला कदम हर का परिमेय रूप निकालना है। \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) को अभिन्न करने के लिए ऊपरी और निचले भाग को उसके सहगुणक \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) से गुणा करें:
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
अब जोड़ें: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}\). इसलिए सरल रूप \(2\sqrt{3}\) है।
निकटभ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प C वही \(r\) है (यह केवल पहला सदस्य है), विकल्प D वास्तव में \(1/r\) है और विकल्प B गलत जोड़-ग्रामित मान है। परीक्षात्मक सुझाव: हर बार जब हर में सार्थक वर्गमूल हों तो सहगुणक से गुणा कर निचले भाग को परिमेय बनाइए। / Rationalize the denominator to find the reciprocal.
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Add to \(r\): \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}\). Hence the simplified result is \(2\sqrt{3}\).
Why other options are wrong: option C is just \(r\) (not the sum), option D equals \(1/r\), and option B is an incorrect arithmetic result. Exam tip: use conjugates to rationalize denominators whenever square roots appear in the denominator.
\(\sqrt{363}=\sqrt{121\times3}=\sqrt{121}\times\sqrt{3}=11\sqrt{3}\). इसलिए सही उत्तर \(11\sqrt{3}\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\sqrt{11}\) गलत है क्योंकि \(3\sqrt{11}=\sqrt{9\times11}=\sqrt{99}\), जो 363 नहीं है। विकल्प \(\sqrt{33}\) और \(\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{3}}\) भी मूल्य में अलग हैं (आखिरी विकल्प \(\dfrac{11}{\sqrt{3}}\) के बराबर है)। परीक्षा टिप: किसी भी व्यंजक का सरलीकरण करते समय अंदर के भाग में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें और उसे बाहर निकालें। / \(\sqrt{363}=\sqrt{121\times3}=\sqrt{121}\times\sqrt{3}=11\sqrt{3}\). Thus the simplified form is \(11\sqrt{3}\). The closest distractor \(3\sqrt{11}\) is incorrect because \(3\sqrt{11}=\sqrt{9\times11}=\sqrt{99}\), not \(\sqrt{363}\). Options \(\sqrt{33}\) and \(\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{3}}\) evaluate to different values (the last equals \(11/\sqrt{3}\)). Exam tip: always factor the radicand and pull out the largest perfect square factor to simplify roots quickly.
यह एक अंतर-घनफल (difference of squares) है: यदि a=\sqrt{10}, b=\sqrt{5} तो (a+b)(a-b)=a-2-b-2. यहाँ a-2=10 और b-2=5, अतः मान 10-5=5 होगा। विकल्प C \(\sqrt{50}\) भ्रमित कर सकता है क्योंकि \sqrt{50}=5\sqrt{2} जो 5 के बराबर नहीं है; विकल्प B (1) और D (15) भी गलत हैं — 1 संभवतः भागफल की गलती से आ सकता है और 15 जोड़ के परिणाम के समान है। परीक्षा टिप: ऐसे अभिव्यक्तियों में सीधे (a+b)(a-b)=a-2-b-2 पहचानें और फिर मात्र वर्गों की गणना करें। / This is a difference-of-squares: let a=\sqrt{10}, b=\sqrt{5}. Then (a+b)(a-b)=a-2-b-2. Here a-2=10 and b-2=5, so the value is 10-5=5. Option C \(\sqrt{50}\) is incorrect because \sqrt{50}=5\sqrt{2}, not 5; option B (1) and D (15) are also wrong — 1 could come from an erroneous division and 15 from adding 10 and 5. Exam tip: Recognise and apply (a+b)(a-b)=a-2-b-2 to simplify quickly without expanding radicals.
\(\sqrt{432}=\sqrt{144\times3}\) क्योंकि \(144\) एक पूर्ण वर्ग है और \(144=12^2\)। अतः \(\sqrt{432}=\sqrt{144}\times\sqrt{3}=12\sqrt{3}\)। विकल्प B और C संख्यात्मक रूप से \(12\sqrt{3}\) के बराबर नहीं हैं; विकल्प D में \(3\sqrt{144}=3\times12=36\) जो स्पष्ट रूप से गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी घातमूल को सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग विभाजक खोजें (यहाँ 144), उसे बाहर निकालें और फिर बाकी को सरल करें। / Factor the radicand: \(\sqrt{432}=\sqrt{144\times3}\). Since \(144=12^2\), extract the square root: \(\sqrt{432}=\sqrt{144}\,\sqrt{3}=12\sqrt{3}\). Options B and C are not equal to \(12\sqrt{3}\) numerically; option D simplifies to \(3\sqrt{144}=3\times12=36\), which is incorrect. Exam tip: always look for the largest perfect square factor of the number under the radical and pull its square root outside first.
\((\frac{2}{5})\) परिमेय है क्योंकि यह दो पूर्णांकों का अनुपात है। परन्तु \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है क्योंकि 17 पूर्ण वर्ग नहीं है। यदि मान लें कि योग परिमेय है, तो \(\sqrt{17}=(\frac{2}{5}+\sqrt{17})-\frac{2}{5}\) भी परिमेय होना चाहिए — जो विरोधाभास है। अतः योग अपरिमेय है। विकल्प B (परिमेय) नजदीकी गलत विकल्प है; परिमेय तब ही सम्भव है जब दोनों पद परिमेय हों। विकल्प C और D (पूर्णांक तथा सांत दशमलव) भी परिमेय होने की श्रेणी में आते हैं, इसलिए वे भी असम्भव हैं क्योंकि उपसर्ग में अपरिमेय भाग मौजूद है। परीक्षा-सुझाव: किसी योग में यदि किसी पद में \(\sqrt{n}\) (जहाँ n पूर्ण वर्ग नहीं) आता है, तो पूरे योग को अक्सर अपरिमेय मानें — परिमेय होने के लिए उस अपरिमेय भाग का किसी तरह शून्य होना आवश्यक है। / \((\frac{2}{5})\) is rational (a ratio of integers) while \(\sqrt{17}\) is irrational because 17 is not a perfect square. If the sum were rational, then \(\sqrt{17}=(\frac{2}{5}+\sqrt{17})-\frac{2}{5}\) would be rational too, which is impossible. Hence the sum is irrational. The closest distractor is "Rational": this would require the irrational part to cancel out, which does not happen here. Options "Integer" and "Terminating decimal" are special cases of rational numbers and are therefore also impossible. Exam tip: isolate the irrational term — subtract any rational parts; if an irrational like \(\sqrt{m}\) with m not a perfect square remains, the whole expression is irrational.
वर्ग सूत्र के अनुसार \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\) होता है। यहाँ \(a=\sqrt{7}\) और \(b=\sqrt{3}\) लेने पर \((\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=7+3-2\sqrt{7}\sqrt{3}=10-2\sqrt{21}\) मिलता है। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प \(10+2\sqrt{21}\) है — यह चिन्ह की गलती है क्योंकि मध्य वाला पद नकारात्मक होता है। विकल्प \(4-2\sqrt{21}\) ग़लत है क्योंकि वहाँ गलती से \(a^2+b^2\) को \(7-3\) समझ लिया गया। परिक्षा टिप: किसी भी द्विपद का वर्ग निकालते समय हमेशा \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\) फ़ॉर्मूला लागू कर के मध्य पद का संकेत जांचें। / Use the square formula \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\). With \(a=\sqrt{7}\) and \(b=\sqrt{3}\) we get \((\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=7+3-2\sqrt{7}\sqrt{3}=10-2\sqrt{21}\), so option A is correct. The closest wrong choice \(10+2\sqrt{21}\) has the wrong sign for the \(2ab\) term. Option C \(4-2\sqrt{21}\) arises from confusing signs or subtracting instead of adding \(a^2\) and \(b^2\). Exam tip: always square each term first, then compute the \(-2ab\) term and check its sign before simplifying radicals.
गुणन के लिए समास \\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 )\\ का प्रयोग करें। यहाँ a=2 और b=\sqrt{5} है, अतः \\(\(2+\sqrt{5}\)\(2-\sqrt{5}\)=22-\(\sqrt{5}\)2=4-5=-1)\\। विकल्प B (1) तब गलत होगा जब साइन भूल जाएँ (4+5=9 और उसके बाद गलत सरलीकरण), और विकल्प D सीधे रूप में अपरिमेय भाग हटाने के बाद ही सही नहीं बैठता। परीक्षा टिप: किसी भी संयुग्म जोड़े का गुणन करते समय तुरंत \\(a^2-b^2)\\ की विधि याद रखें — इससे अपरिमेय भाग स्वतः हट जाता है। / Use the identity (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Here a=2 and b=\sqrt{5}, so \(2+\sqrt{5}\)\(2-\sqrt{5}\)=22-\(\sqrt{5}\)2=4-5=-1. Option B (1) is a common sign-error distractor; option D \(4-\sqrt{5}\) still contains the irrational part and is not the simplified product. Exam tip: recognize conjugate pairs and apply a-2-b-2 to eliminate the surd quickly.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
दशमलव भाग \(0.01011011101111\ldots\) में 1 के समूह की लंबाई धीरे-धीरे बढ़ती है (एक, फिर दो, फिर तीन, फिर चार 1s, आदि) और कोई स्थायी आवर्ती ब्लॉक कभी दोहराकर अंत में दिखाई नहीं देता। इसलिए यह दशमलव अनंत है और किसी नियत आवर्ती चक्र में नहीं आता — यही वजह है कि यह संख्या अपरिमेय है। विकल्प B गलत है क्योंकि दशमलव भाग समाप्त नहीं होता; विकल्प C गलत है क्योंकि आवर्ती दशमलव के लिए कुछ निश्चित ब्लॉक अंततः बार-बार दिखना चाहिए जो यहाँ नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि संख्या का भिन्न भाग शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को गुणक रूप में लिखने से पहले देखें कि क्या दशमलव अंततः आवर्ती या समाप्त हो रहा है; यदि नहीं, तो वह अपरिमेय है। / The fractional part \(0.01011011101111\ldots\) shows groups of 1s whose lengths keep increasing (one 1, then two 1s, then three 1s, and so on). There is no fixed block that repeats indefinitely, so the decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Hence the number is irrational. Option B is wrong because the decimal does not terminate; C is wrong because a repeating decimal must eventually show a fixed repeating block; D is wrong because the number has a nonzero fractional part. Exam tip: Rational numbers have decimal expansions that either terminate or become eventually periodic — checking for eventual periodicity is a quick test in exams.
समान मूल वाले पदों को जोड़कर सरल करें: सभी में \(\sqrt{3}\) है, इसलिए गुणांकों का योग है \(6-2+1=5\)। अतः सरल रूप \(5\sqrt{3}\) है. विकल्प B (\(9\sqrt{3}\)) तब बनता यदि सभी संख्याएँ जोड़ दीँ जाएँ (6+2+1), जो गलत है क्योंकि दूसरा पद ऋणात्मक है। विकल्प C तब बनेगा यदि केवल एक जोड़ को ध्यान में रखा गया हो; विकल्प D गलत है क्योंकि उस में मूल को हटा दिया गया है। परीक्षा-सूत्र: समरूप रैडिकलों में मात्र गुणांकों को जोड़ें/घटाएँ और मूल को उसी तरह रखें — पहले कॉमन रैडिकल बाहर निकालने का अभ्यास करें। / Combine like radical terms. Each term contains \(\sqrt{3}\), so add their coefficients: \(6-2+1=5\). Thus the simplified form is \(5\sqrt{3}\). Option B (\(9\sqrt{3}\)) reflects mistakenly adding all coefficients as positive (6+2+1) and is incorrect. Option C corresponds to keeping only one unit coefficient; option D wrongly removes the radical. Exam tip: always factor out the common radical (e.g. \(\sqrt{3}\)) and then add/subtract the numeric coefficients before reattaching the radical.
गुणन करके: \(\sqrt{2}(5-\sqrt{2})=5\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}-2\). इसलिए सही उत्तर \(5\sqrt{2}-2\) है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(5-2\sqrt{2}\) अलग रूप है (यहाँ धन/घात और गुणांक बदल गए हैं) — संख्यात्मक जाँच से भी फर्क दिखेगा: मूल अभिव्यक्ति ≈5.071 जबकि \(5-2\sqrt{2}\)≈2.172। परीक्षण-सुझाव: बहुगुणक फैलाते समय रैशनल और इरैशनल भाग अलग रखें और अंतिम चरण में परिमेय पदों को जोड़ें/घटाएँ। / Distribute: \(\sqrt{2}(5-\sqrt{2})=5\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}-2\). Hence the correct value is \(5\sqrt{2}-2\). The closest distractor \(5-2\sqrt{2}\) is not equal — coefficients and order differ; numerical check: original ≈5.071, distractor ≈2.172. Exam tip: expand using distribution, simplify \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\), then combine like (rational vs irrational) terms and, if unsure, verify with a quick decimal approximation.
\(3^2=9<11<16=4^2\) होने के कारण \(3<\sqrt{11}<4\)। अतः \(\sqrt{11}\) 3 और 4 के बीच स्थित है (लगभग \(3.316\ldots\))। विकल्प C (4 और 5) भ्रमित कर सकता है पर वहाँ के लिए न्यूनतम वर्ग \(4^2=16\) है जो 11 से बड़ा है, इसलिए \(\sqrt{11}\) 4 से छोटा है। परिक्षा-सुझाव: किसी भी संख्या का वर्ग करके निकटतम पूर्णांक खोजें — इससे तुरंत घातमूल के बीच का अंतर ज्ञात हो जाता है। / Since \(3^2=9<11<16=4^2\), we have \(3<\sqrt{11}<4\), so \(\sqrt{11}\) lies between 3 and 4 (approximately \(3.316\ldots\)). Option C (4 and 5) is wrong because \(4^2=16>11\), so \(\sqrt{11}\) cannot be ≥4. Exam tip: Compare squares of consecutive integers to bracket a square root quickly on the number line.
\(\frac{25}{4}=6.25\) है जो 6 और 7 के बीच आता है और परिमेय है क्योंकि इसे पूर्णांक के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। दूसरी विकल्पों में \(\sqrt{41}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) ऐसे वर्गमूल हैं जिनके भीतर मूलांक परिपूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए वे अपरिमेय हैं। \(\pi+3\) में \(\pi\) ट्रांसेंडेंटल (अपरिमेय) है, इसलिए वह भी अपरिमेय होगा। परीक्षा-सुझाव: दो पूर्णांकों a और b के बीच कोई परिमेय संख्या पाने के लिए आप औसत \((a+b)/2\) ले सकते हैं — यहाँ \((6+7)/2=6.5=13/2\) भी उपयुक्त होगा। / \(\frac{25}{4}=6.25\), which lies between 6 and 7 and is rational because it is a ratio of integers. The other choices are irrational: \(\sqrt{41}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) are square roots of non-perfect squares, and \(\pi+3\) is irrational because \(\pi\) is transcendental. Exam tip: to find a rational between two integers a and b, use the midpoint \((a+b)/2\) (e.g. \(6.5=13/2\)).
\(\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30\). The product of two irrational numbers can be rational.
\(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः अंतर \(7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\) होता है। विकल्प C (\(3\sqrt{2}\)) और B (\(9\sqrt{2}\)) गलत हैं क्योंकि वे गुणांक में गलत गणना दर्शाते हैं; विकल्प D छोटा है। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा पहले अंदर के वर्ग-गुणकों को निकालकर समरूपी घनरूटों में गुणक एकत्र करें। / Simplify each radical: \(\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot2}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\). Their difference is \(7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\), so option A is correct. Distractors like C (\(3\sqrt{2}\)) and B (\(9\sqrt{2}\)) are incorrect because the coefficients are not the result of subtracting 7 and 2. Exam tip: extract square factors first to write surds as a common radical factor, then subtract the coefficients.
\(\sqrt{288}=\sqrt{144\times2}=\sqrt{144}\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\). इसलिए सही उत्तर \(12\sqrt{2}\) है। नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प \(2\sqrt{144}\) को देखकर गलती से ऐसा समझ सकते हैं कि \(2\sqrt{144}=2\times12=24\), पर यह \(12\sqrt{2}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल निकالتे समय अंदर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें (यहाँ 144)। / \(\sqrt{288}=\sqrt{144\times2}=\sqrt{144}\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), so the simplified form is \(12\sqrt{2}\). The closest distractor \(2\sqrt{144}\) equals \(2\times12=24\), which is not equal to \(12\sqrt{2}\). Exam tip: always factor the radicand into the largest perfect square times a remaining factor to simplify surds quickly (here the largest perfect square is 144).
\(245=49\times5\) है, अतः \(\sqrt{245}=\sqrt{49\times5}=\sqrt{49}\times\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)। विकल्प B (\(5\sqrt{7}\)) गलत है क्योंकि \((5\sqrt{7})^2=25\times7=175\) होता है, न कि 245। विकल्प C (\(49\sqrt{5}\)) तब हुआ होगा जब किसी ने 49 को बाहर निकालते समय \(\sqrt{49}=7\) न लेकर 49 ही ले लिया — यह मूल संख्या से बहुत ज्यादा बड़ा परिणाम देगा। विकल्प D मूल रूप है, पर सरल नहीं। परीक्षा-सुझाव: अंदर से सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग (यहाँ 49) खोजें और उसका वर्गमूल बाहर निकालें। / Factor 245: \(245=49\times5\). Then \(\sqrt{245}=\sqrt{49\times5}=\sqrt{49}\times\sqrt{5}=7\sqrt{5}\), so A is correct. Option B (\(5\sqrt{7}\)) is incorrect — \((5\sqrt{7})^2=175\), not 245. Option C (\(49\sqrt{5}\)) arises from mistakenly taking 49 instead of its square root (\(\sqrt{49}=7\)), giving an answer that is far too large. Option D is just the unsimplified radical. Exam tip: always pull out the largest perfect square factor and take its square root outside the radical.
\(\sqrt{112}=\sqrt{16\times7}=4\sqrt{7}\)। इसलिए \(4\sqrt{7}-\sqrt{112}=4\sqrt{7}-4\sqrt{7}=0\)। विकल्प A सही है। अन्य विकल्पों में से सबसे निकट भ्रामक विकल्प \(\sqrt{7}\) है, पर वह भी सही नहीं क्योंकि दोनों पदों का घटाव शून्य देता है। परीक्षा टिप: सूड (surd) सरल करने के लिए नंबर को परफेक्ट स्क्वेयर के गुणनखंडों में विभाजित करें। / \(\sqrt{112}=\sqrt{16\times7}=4\sqrt{7}\). Hence \(4\sqrt{7}-\sqrt{112}=4\sqrt{7}-4\sqrt{7}=0\). Option A is correct. A tempting distractor is \(\sqrt{7}\), but it is not equal because the subtraction yields zero after simplifying \(\sqrt{112}\). Exam tip: always factor out perfect square factors from square roots to simplify surds quickly.
यदि हम \(a=\sqrt{5}\) और \(b=\sqrt{2}\) मानें, तो सूत्र \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\) लागू होता है। इसलिए \((\sqrt{5}-\sqrt{2})^2=5+2-2\sqrt{10}=7-2\sqrt{10}\)। विकल्प A सही है। विकल्प B में क्रॉस-टर्म \(2ab\) का गुणक 2 छूटा हुआ है; विकल्प C में क्रॉस-टर्म का चिन्ह विपरीत है; विकल्प D क्रॉस-टर्म को पूरी तरह अनदेखा करता है। परीक्षा टिप: वर्ग के फार्मूले में हमेशा \(2ab\) और उसके चिन्ह पर ध्यान दें। / Let \(a=\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{2}\). Using \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\) we get \((\sqrt{5}-\sqrt{2})^2=5+2-2\sqrt{10}=7-2\sqrt{10}\). So option A is correct. Option B misses the factor 2 in the cross term; option C has the wrong sign for the cross term; option D omits the cross term entirely. Exam tip: always apply the \(2ab\) term with the correct sign when expanding squares of binomials.
समतुल्य (conjugate) गुणन के रूप में \\(1+\sqrt{7})\(1-\sqrt{7}\)\\ को गुणा करने पर सूत्र \\(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\ लागू होता है। यहाँ a=1 और b=\sqrt{7} है, अतः \\(1+\sqrt{7})\(1-\sqrt{7}\)=12-\(\sqrt{7}\)2=1-7=-6\\। विकल्प B (6) साइन की ग़लती है; विकल्प C (0) और D (-8) प्रारम्भिक गणना में त्रुटि को दर्शाते हैं। परीक्षा-सूचना: संयुग्मों के गुणन के लिए हमेशा \\(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\ याद रखें। / Multiply as conjugates using the identity \\(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\. With a=1 and b=\sqrt{7} we get \\(1+\sqrt{7})\(1-\sqrt{7}\)=12-\(\sqrt{7}\)2=1-7=-6\\. Option B (6) is a sign error; C (0) and D (-8) are results of arithmetic mistakes. Exam tip: for conjugate pairs use the difference of squares formula directly to avoid algebraic expansion errors.
\(\sqrt[3]{125}=5\) जो एक पूर्णांक है और इसे \(5=5/1\) के रूप में लिखा जा सकता है; अतः यह परिमेय संख्या है। किसी पूर्ण घन की घनमूल हमेशा पूर्णांक (यदि घन सही पूर्णांक है) और इसलिए परिमेय होती है। निकट भ्रामक विकल्प B (अपरिमेय) त्रुटिपूर्ण है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर-समाप्त और अनावर्ती दशमलव रूप देती हैं, परन्तु यहाँ संख्या 5 समाप्त दशमलव है। विकल्प C गलत है क्योंकि 5 व्यावहारिक रूप से वास्तविक संख्या भी है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि "अनावर्ती दशमलव" सामान्यतः अपरिमेय संख्याओं का गुण है, जबकि 5 का दशमलव रूप समाप्त है। परीक्षा सुझाव: किसी घनमूल को जाँचना हो तो पहले देखें कि क्या रैडिकैंड (यहाँ 125) एक पूर्ण घन है। / \(\sqrt[3]{125}=5\), which is an integer and can be written as \(5=5/1\); therefore it is a rational number. The cube root of a perfect cube is an integer (hence rational). The closest distractor B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non‑terminating, non‑repeating decimal expansions, whereas 5 is a terminating decimal. C is wrong because the number is real, not non‑real. D is incorrect because a "non‑repeating decimal" typically describes irrationals, but 5 has a terminating decimal. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect power—if so, the root will be an integer (rational).
\(2\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}=(2\times3)\times(\sqrt{5}\times\sqrt{5})=6\times5=30\). यहाँ समान द्विघातमूलों का गुणन करने पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) बनता है। सबसे समीप का भ्रामक विकल्प \(6\sqrt{5}\) इस गलत समझ का परिणाम है कि केवल गुणांक (2 और 3) को गुणा कर दिया गया पर मूलों को जोड़ा/संभालना भूल गए। परीक्षा टिप: समान रैडिकल्स के गुणन में पहले गुणांक गुणा करें और फिर \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) का प्रयोग करें। / \(2\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}=(2\times3)\times(\sqrt{5}\times\sqrt{5})=6\times5=30\). Multiplying like radicals uses \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\), so the product is rational. The nearest distractor, \(6\sqrt{5}\), arises from multiplying coefficients only and forgetting to simplify the radical part. Exam tip: for products of the form \((a\sqrt{b})(c\sqrt{b})\), compute \(ac\) and use \(\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}=b\) to simplify.
गुणा-वितरण कर लें: \(\sqrt{3}(4+\sqrt{3})=4\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}+3\). इसलिए सरल रूप \(3+4\sqrt{3}\) है। विकल्प (B) में मात्रिक और अपरिमेय भागों के गुणांक बदल दिए गए हैं; (C) और (D) में केवल शुद्ध अपरिमेय रूप दिए गए हैं — ये उस कारण से गलत हैं कि\(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\) एक परिमेय संख्या बनाती है जिसे अपरिमेय भाग से अलग जोड़ना होता है। परीक्षा-सुझाव: पहले हर पद का अलग से गुणा करें और फिर परिमेय व अपरिमेय पदों को अलग-अलग जोड़ें। / Distribute: \(\sqrt{3}(4+\sqrt{3})=4\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}+3\). So the simplified form is \(3+4\sqrt{3}\). Option (B) swaps the rational and irrational coefficients and is therefore incorrect; (C) and (D) are pure surd forms that would result from mistaken addition or multiplication of terms. Exam tip: multiply each term separately, simplify \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\), then combine rational and irrational parts.
घनमूल (square root) का मान नॉन-नेगेटिव वास्तविक संख्याओं पर बढ़ते हुए फ़ंक्शन होता है: यदि \(a>b\ge0\) तो \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)। यहाँ \(99>90\), अतः \(\sqrt{99}>\sqrt{90}\)। संख्यात्मक रूप से \(\sqrt{90}\approx9.4868\) और \(\sqrt{99}\approx9.9499\)। विकल्प B उल्टा क्रम दर्शाता है और गलत है; C गलत है क्योंकि अंदर की संख्याएँ समान नहीं; D भी गलत है क्योंकि तुलना बिल्कुल संभव और स्पष्ट है। परीक्षा सुझाव: ऐसे मामलों में अंदर की संख्याओं की सीधे तुलना करें या दोनों ओर का वर्ग लेकर निर्णय आसान हो जाता है। / The square-root function is increasing for non‑negative real numbers: if \(a>b\ge0\) then \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\). Since \(99>90\), we have \(\sqrt{99}>\sqrt{90}\). Numerically \(\sqrt{90}\approx9.4868\) and \(\sqrt{99}\approx9.9499\). Option B reverses the order, C is false because the radicands are different, and D is wrong because the comparison is definite. Exam tip: either compare the radicands directly or compute approximate square roots to decide quickly.
\(2^2=4\) और \(3^2=9\) होने के कारण \(4<7<9\)। इसलिए \(2<\sqrt{7}<3\)। अतः \(\sqrt{7}\) उन दो पूर्णांकों 2 और 3 के बीच आता है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (3, 4) इसलिए गलत है क्योंकि \(\sqrt{7}\) की मान 3 से छोटी है; B और D स्पष्ट रूप से असंगत हैं। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करके आप त्वरित रूप से उसके वर्गमूल के निकटतम पूर्णांक पता कर सकते हैं। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), we have \(4<7<9\). Hence \(2<\sqrt{7}<3\), so \(\sqrt{7}\) lies between the integers 2 and 3. The closest distractor C (3, 4) is wrong because \(\sqrt{7}\) is less than 3; B and D are evidently incorrect. Exam tip: compare the given number with consecutive perfect squares to find the integer bounds for its square root quickly.
दोनों व्यंजकों में समरूप भाग 3 और -√6 तथा √6 मौजूद हैं। जोड़ते समय ±√6 आपस में रद्द हो जाते हैं और केवल 3+3 बचता है, अतः \(a+b=6\)। विकल्प D (\(6+2\sqrt{6}\)) गलत है क्योंकि वहाँ पर वर्गमूलों को रद्द करने के बजाय जोड़ दिया गया है — यह अनुपस्थित करने का सामान्य त्रुटि है। परीक्षा सुझाव: समरूप पदों (like terms) को साथ जोड़ें और विशेषकर सह-प्रपंचों (conjugates) में √ के चिन्हों का ध्यान रखें। / Add like terms: the rational parts 3 and 3 sum to 6, while the irrational parts \(+\sqrt{6}\) and \(-\sqrt{6}\) cancel. Therefore \(a+b=6\). Distractor D (\(6+2\sqrt{6}\)) is a common mistake resulting from adding the square-root terms instead of canceling them. Exam tip: look for conjugates — the ±√ terms cancel when summed, leaving twice the rational part.
