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255 questions tagged with irrational-numbers.
Which option is the value of \(\sqrt{10}\times\sqrt{40}\)?
A. (20)
\(\sqrt{10}\times\sqrt{40}=\sqrt{400}=20\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{10}\times\sqrt{40}=\sqrt{400}=20\). The product of two irrational numbers can be rational.
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Which of the following is the simplified form of \(\sqrt{192}-\sqrt{27}\)?
A. \(5\sqrt{3}\)
पहले प्रत्येक घनमूल के अंदर के गुणनखंडों को देखें: \(\sqrt{192}=\sqrt{64\times3}=8\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\)। अतः अन्तर \(8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(8-3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}\) है। निकटतम विचलन (\(3\sqrt{3}\)) केवल \(\sqrt{27}\) के बराबर है — यह अंतर नहीं है; कुछ विद्यार्थी घटाने के बजाय गलत तरीके से एक ही पद समझ लेते हैं। परीक्षा-टिप: पहले भीतर के पूर्ण वर्ग निकालें और फिर समान घनमूलों को गुणक के रूप में बाहर निकालकर सरल जोड़/घटाव करें। / Simplify each radical: \(\sqrt{192}=\sqrt{64\times3}=8\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). So the difference is \(8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(8-3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). The nearest distractor \(3\sqrt{3}\) equals \(\sqrt{27}\), not the difference; a common mistake is to confuse one term with the result. Exam tip: pull out perfect squares first and then combine like surd terms by adding/subtracting their coefficients.
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Which of the following is the simplified form of \(\sqrt{125}+\sqrt{45}\)?
A. 8\sqrt{5}
\(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\)। दोनों समान घनमूलों को जोड़ने पर 5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5} मिलता है, इसलिए सही उत्तर 8\sqrt{5} है। विकल्प B \(\sqrt{170}\) गलती से \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) को \sqrt{a+b} मानने से आता है, जो गलत है। विकल्प D \(10\sqrt{5}\) गुणांकों को गलत जोड़ने का परिणाम है। विकल्प C \(6\sqrt{10}\) तब होता है जब परिमार्जन या वर्ग गुणन में त्रुटि होती है — यहाँ दोनों पदों का सर्वसाधारण रूप 5\sqrt{5} और 3\sqrt{5} है, न कि \sqrt{10} के रूप में। परीक्षा-सुझाव: परवाहिल (radicand) में पूर्ण वर्ग निकालें और केवल समान घनमूलों को जोड़ें। / Simplify each term: \sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5} and \sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}. Adding like surds gives 5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}, so A is correct. Option B \(\sqrt{170}\) reflects the incorrect assumption \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}. Option D \(10\sqrt{5}\) is a mistaken addition of coefficients. Option C \(6\sqrt{10}\) arises from incorrect factorization or mixing radicands. Exam tip: always factor out perfect squares from each radicand first and then combine only like surds.
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Which option is correct about \(7-\sqrt{19}\)?
A. यह अपरिमेय हैIt is irrational
\(\sqrt{19}\) अपरिमेय है क्योंकि (19) पूर्ण वर्ग नहीं है। परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{19}\) is irrational because (19) is not a perfect square. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
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Which of the following is the simplified form of \(\sqrt{300}\)?
A. 10\sqrt{3}
\(\sqrt{300}=\sqrt{100\times3}=\sqrt{100}\times\sqrt{3}=10\sqrt{3}\)। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे बराबर नहीं हैं: \(5\sqrt{6}\) का मान \(5\times\sqrt{6}\approx12.25\) है, जो \(\sqrt{300}\approx17.32\) से अलग है; \(3\sqrt{100}=3\times10=30\) है; \(6\sqrt{50}=6\times5\sqrt{2}=30\sqrt{2}\) है जो \(\sqrt{300}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी भी संख्या का वर्गमूल लेते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें (यहाँ 100)। / \(\sqrt{300}=\sqrt{100\times3}=\sqrt{100}\cdot\sqrt{3}=10\sqrt{3}\). Hence option A is correct. The other choices are not equal to \(\sqrt{300}\): \(5\sqrt{6}\approx12.25\) (not 17.32), \(3\sqrt{100}=30\), and \(6\sqrt{50}=6\cdot5\sqrt{2}=30\sqrt{2}\). Exam tip: always extract the largest perfect square factor when simplifying square roots (here 100).
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Which of the following is the value of the product \(1+\sqrt{3}\)\(1-\sqrt{3}\)?
A. -2
गुणनफल को सरल करने के लिए संयुग्मी पहचान उपयोग करें: \((1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1^2-(\sqrt{3})^2=1-3=-2\). यहाँ सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लागू होता है। विकल्प 4 उस त्रुटि से आता है जिसमें किसी ने 1 और 3 को जोड़ दिया (गलत तरीके से)। परीक्षा-टिप: संयुग्मी गुणा करने पर हमेशा चिह्नों का ध्यान रखें और तुरंत \((a+b)(a-b)\) पहचान लगाएँ। / Use the conjugate-product identity: \((1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1^2-(\sqrt{3})^2=1-3=-2.\) This follows from \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). The tempting wrong choice 4 comes from incorrectly adding 1 and 3 instead of subtracting. Exam tip: apply the conjugate formula and watch the signs carefully when multiplying surds.
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Which option correctly gives the two nearest integers between which \(\sqrt{2}\) lies?
A. (1) और (2)(1) and (2)
क्योंकि \(1^2=1<2<4=2^2\), इसलिए \(1<\sqrt{2}<2\)। अतः \(\sqrt{2}\) का मान दोनों पूर्णांकों 1 और 2 के बीच है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे या तो बहुत छोटे (0 और 1) या बहुत बड़े (2 और 3, 3 और 4) पूर्णांक दिये हुए हैं। परीक्षाई टिप: किसी संख्या \(x\) के लिए यह देखने हेतु कि \(\sqrt{x}\) किन पूर्णांकों के बीच है, निकटतम पूर्णांकों के वर्ग तुलना करें या दशमलव अनुमान (\(\sqrt{2}\approx1.414\)) का प्रयोग करें। / Since \(1^2=1<2<4=2^2\), it follows that \(1<\sqrt{2}<2\). Therefore \(\sqrt{2}\) lies between the integers 1 and 2. The other choices are incorrect because they give integers that are too small (0 and 1) or too large (2 and 3; 3 and 4). Exam tip: to locate \(\sqrt{x}\) between integers compare squares of consecutive integers or use a quick decimal estimate (\(\sqrt{2}\approx1.414\)).
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Which of the following is the value of \(4\sqrt{3}-\sqrt{27}\)?
A. \(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\) होता है। इसलिए \(4\sqrt{3}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}\)। विकल्प A सही है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि \(\sqrt{3}\approx1.732\) है, यह 1 के बराबर नहीं है। विकल्प C में घातांक गलत मिलाए गए हैं (यहाँ जोड़ने के बजाय घटाना करना चाहिए)। परीक्षा-टिप: संहिताबद्ध रूप में रैडिकल्स को पहले सरल करें और केवल 'like terms' (एक ही मूल वाले) को ही आपस में जोड़ें/घटाएं। / Simplify first: \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\). Thus \(4\sqrt{3}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}\), so option A is correct. Option B (1) is wrong because \(\sqrt{3}\approx1.732\), not 1. Option C (\(3\sqrt{3}\)) is incorrect because it treats the second term as if it should be added or left unsimplified; the correct simplification gives subtraction of like terms. Exam tip: always simplify radicals first and then combine only like surd terms (same radical part).
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Which of the following is the simplified form of \(\sqrt{162}\)?
A. \(9\sqrt{2}\)
\(\sqrt{162}=\sqrt{81\times2}=\sqrt{81}\times\sqrt{2}=9\sqrt{2}\). अतः सही उत्तर \(9\sqrt{2}\) है। विकल्प B (\(6\sqrt{3}\)) गलत है क्योंकि \(6\sqrt{3}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{108}\), जो \(\sqrt{162}\) से छोटा है। विकल्प C और D भी मानानुसार भिन्न हैं (\(18=\sqrt{324}\), \(18\sqrt{2}\) बहुत बड़ा)। परीक्षा युक्ति: हमेशा अंकों को गुणन के रूप में लिखकर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग पहले बाहर निकालें। / \(\sqrt{162}=\sqrt{81\times2}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\). Therefore the correct simplified form is \(9\sqrt{2}\). Option B (\(6\sqrt{3}\)) is incorrect because \(6\sqrt{3}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{108}\), which is not equal to \(\sqrt{162}\). Options C and D are also numerically different (\(18=\sqrt{324}\), and \(18\sqrt{2}\) is much larger). Exam tip: factor out the largest perfect square from under the root to simplify quickly.
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Which of the following is the value of \(\sqrt{5}(2+\sqrt{5})\)?
A. \(5+2\sqrt{5}\)
गुणन करें: \(\sqrt{5}(2+\sqrt{5})=2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}+5\). अतः मान \(5+2\sqrt{5}\) होगा। विकल्प B में अपरिमेय भाग का गुणांक गल्त है (\(1\sqrt{5}\) होना चाहिए था \(2\sqrt{5}\) के स्थान पर)। विकल्प C में परिमेय और अपरिमेय भाग के गुणांक उल्टे दिए गए हैं। विकल्प D गलत है — वह केवल उन स्थितियों में 1 देता है जहाँ भिन्न का हर और भाग समान हों; यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: घनौरी पदों पर वितरण (distributive property) लागू कर के पहले सभी पद गुणा करें, फिर समान प्रकार के पद (परिमेय और अपरिमेय) जोड़ें। / Multiply using distributive property: \(\sqrt{5}(2+\sqrt{5})=2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}+5\). So the value is \(5+2\sqrt{5}\). Option B is close but has the wrong coefficient of \(\sqrt{5}\) (it shows \(1\sqrt{5}\) instead of \(2\sqrt{5}\)). Option C swaps the coefficients of the rational and irrational parts, and option D (1) is incorrect — that would arise only if numerator and denominator were identical or by an invalid cancellation. Exam tip: distribute the surd across each term and then combine like (rational and irrational) terms carefully.
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Which statement is correct about the product of two irrational numbers?
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता हैThe product can be rational or irrational
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
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Which statement is correct about the sum of two irrational numbers?
A. योग परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता हैThe sum can be rational or irrational
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है पर \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए एक ही स्थायी नियम नहीं है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no single fixed rule.
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Which of the following is an irrational number between 6 and 7?
A. \(\sqrt{43}\)
\(\sqrt{43}\) क्योंकि 36 < 43 < 49 होने से \(\sqrt{36}=6 < \sqrt{43} < \sqrt{49}=7\)। 43 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{43}\) अपरिमेय है। अन्य विकल्पों की जाँच: \(\sqrt{36}=6\) सीमा पर है (बिच में नहीं), \(\sqrt{50}\approx7.07\) इसलिए 7 से बड़ा है, और \(\tfrac{13}{2}=6.5\) भले ही 6 और 7 के बीच है पर यह गुणोत्तर (rational) है। परीक्षा-सुझाव: किसी विकल्प को सटीक जाँचने के लिए उसे निकटतम पूर्ण वर्गों के बीच डालें और यह देखें कि संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / \(\sqrt{43}\) is between 6 and 7 because 36 < 43 < 49 implies \(\sqrt{36}=6 < \sqrt{43} < \sqrt{49}=7\). Since 43 is not a perfect square, \(\sqrt{43}\) is irrational. Checking other options: \(\sqrt{36}=6\) equals the lower endpoint, \(\sqrt{50}\approx7.07\) is greater than 7, and \(13/2=6.5\) is rational even though it lies between 6 and 7. Exam tip: compare under-the-root numbers with nearest perfect squares to locate square roots and test for irrationality by checking for perfect squares.
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Which option gives the correct relation between \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}\)?
A. \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
कारण: \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। इसलिए विकल्प A सही है। क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B \(\sqrt{12}=4\sqrt{3}\) और विकल्प C \(\sqrt{12}=3\sqrt{2}\) दोनों गलत हैं क्योंकि 12 का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड 4 है (न कि 9 या 16), इसीलिए केवल \(\sqrt{4}\) को बाहर निकाला जा सकता है। विकल्प D छोटा मान देता है और स्पष्ट रूप से गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी समूलक को सरल करने के लिए उसके घनत्व (factor) में से सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें — तत्काल तुलना आसान हो जाएगी। / Reason: \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}\). Hence option A is correct. Why others are wrong: Option B (\(\sqrt{12}=4\sqrt{3}\)) and option C (\(\sqrt{12}=3\sqrt{2}\)) are incorrect because the largest perfect square factor of 12 is 4 (not 9 or 16), so only \(\sqrt{4}\) can be taken out. Option D yields a much smaller value and is clearly wrong. Exam tip: To compare or simplify surds, factor the radicand and pull out the largest perfect square; this makes direct comparison trivial.
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Which option is an example where the product of two irrational numbers is rational?
A. \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\)
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
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Which of the following is a non-terminating repeating decimal?
A. 1.272727...
विकल्प A में '27' का समूह बार-बार दोहर रहा है (1.27 27 27 ...), इसलिए यह अनंत आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय (rational) होते हैं और एक भिन्न के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। विकल्प C (1.27) समाप्त होने वाली दशमलव है, इसलिए आवर्ती नहीं है। विकल्प D, \(\sqrt{2}\), एक अपरिमेय संख्या है जिसका दशमलव अविराम और गैर-आवर्ती होता है। विकल्प B में दिए गए अंक एक स्पष्ट, स्थिर दोहराए जाने वाले ब्लॉक को नहीं दिखाते इसलिए उसे आवर्ती नहीं माना जाता (यहाँ दिया गया अनुक्रम गैर-आवर्ती या अस्पष्ट रूप से समाप्त नहीं दिखता)। परीक्षा सुझाव: किसी दशमलव को आवर्ती मानने के लिए देखें कि क्या एक निश्चित क्रमिक अंक-समूह पूरे शेष भाग में लगातार दोहराया जा रहा है। / Option A has the block '27' repeating indefinitely (1.272727...), so it is a non-terminating repeating decimal. Repeating decimals are rational and can be written as fractions. Option C (1.27) is a terminating decimal, not repeating. Option D, \(\sqrt{2}\), is irrational so its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Option B does not show a fixed repeating block in the digits shown, so it is not a repeating decimal (the pattern does not settle into a constant repeating block). Exam tip: to identify a repeating decimal, look for a fixed group of digits that repeats indefinitely after some point.
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If \(a=\sqrt{20}\), what is the simplified form of \(a\)?
A. \(2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। इस तरह पूर्ण वर्ग गुणनखंड (यहाँ 4) को स्रोत से बाहर निकाला जाता है। विकल्प B वास्तव में सरल नहीं किया गया रूप है (यह वही अभिव्यक्ति है)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे गुणनखंडों का गलत निकालना दर्शाते हैं (C में 4 का गुणन 2 से दोगुना कर दिया गया है, D में 20 को \(5\times2\) मान कर गलत रूप निकाला गया)। परीक्षा टिप: अंदर से सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (4, 9, 16, ...) खोजें और उसे बाएँ निकालें। / \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). Pull out the largest perfect-square factor (here 4) from under the radical. Option B is not simplified (it’s the original form). Options C and D result from incorrect factor extraction. Exam tip: always factor the radicand and remove the largest perfect square to simplify quickly.
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Which of the following is the simplified form of \(\sqrt{242}\)?
A. \(11\sqrt{2}\)
\(\sqrt{242}=\sqrt{121\times2}=\sqrt{121}\times\sqrt{2}=11\sqrt{2}\)। इसलिए सही उत्तर \(11\sqrt{2}\) है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(2\sqrt{11}=\sqrt{4\times11}=\sqrt{44}\), जो \(\sqrt{242}\) के बराबर नहीं है। विकल्प (C) गणितीय गलती पर आधारित है — \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\)। विकल्प (D) में गुणांक बढ़ा हुआ है और मान मेल नहीं खाता। परीक्षा युक्ति: अंदर का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग ढूँढें (यहाँ 121) और वह पूरा भाग वर्गमूल के बाहर निकालें। / \(\sqrt{242}=\sqrt{121\times2}=\sqrt{121}\times\sqrt{2}=11\sqrt{2}\). Thus the simplified form is \(11\sqrt{2}\). Option B is a common mistake: \(2\sqrt{11}=\sqrt{4\times11}=\sqrt{44}\), not \(\sqrt{242}\). Option C wrongly splits a sum under a root (\(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\)). Option D has an incorrect factor. Exam tip: always factor out the largest perfect square first (here 121).
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Which of the following statements about \(3-\sqrt{11}\) is correct?
A. यह अपरिमेय संख्या हैIt is an irrational number
\(\sqrt{11}\) तब अपरिमेय है जब 11 पूर्ण वर्ग नहीं होता — इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। यदि आप एक परिमेय संख्या (3) में से एक अपरिमेय संख्या घटाते हैं तो परिणाम सामान्यतः अपरिमेय ही रहता है। व्याख्या के लिए मान लें कि \(3-\sqrt{11}\) परिमेय होता; तब \(\sqrt{11}=3-(3-\sqrt{11})\) परिमेय होगा — जो विरोधाभास है। संख्यात्मक रूप से \(3-\sqrt{11}\approx-0.316\) है, जो न तो शून्य है न ही पूर्णांक। परीक्षा टिप: किसी संख्या में रूढ़िगत रूप से देखें कि क्या घातमूल किसी परिमेय भाग से पूरी तरह कट जाता है; यदि नहीं, तो परिणाम अपरिमेय होगा। / Since 11 is not a perfect square, \(\sqrt{11}\) is irrational. The difference of a rational number (3) and an irrational number is irrational: if \(3-\sqrt{11}\) were rational then \(\sqrt{11}=3-(3-\sqrt{11})\) would be rational, a contradiction. Numerically \(3-\sqrt{11}\approx-0.316\), so it is neither zero nor an integer. Exam tip: check whether the radical term cancels exactly; if it doesn't, the expression remains irrational.
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Which option is a set of only irrational numbers?
A. \({\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{12}}\)
\(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{12}\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग और परिमेय संख्या वाले विकल्प हटाएँ। / \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), and \(\sqrt{12}\) are all irrational. Remove options with perfect squares and rational numbers.
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Which of the following correctly describes \(0.123456789101112\ldots\)?
A. यह अनंत और अनावर्ती हैIt is non-terminating and non-repeating
यह दशमलव प्राकृतिक संख्याओं को क्रमशः जोड़कर बनता है: 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...। यहाँ न तो दशमलव कभी समाप्त होता है और न ही किसी निश्चित पुनरावृत्ति (periodic block) में फँसता है, इसलिए यह नॉन‑टर्मिनेटिंग और नॉन‑रिपीटिंग है। ऐसा नॉन‑टर्मिनेटिंग और नॉन‑रिपीटिंग दशमलव परिमेय नहीं होता (अर्थात् अभाज्य/irrational) — बुलाया जाने वाला कदम यह है कि यदि यह आवर्ती होता तो किसी निश्चित लंबाई का दोहराया गया ब्लॉक दिखना चाहिए, जो यहाँ मौजूद नहीं है। निकटतम विकर्षक (C) गलत है क्योंकि कोई स्थिर आवर्ती पैटर्न नहीं मिलता; (B) और (D) स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि दशमलव समाप्त नहीं हो रहा और पूर्णांक नहीं है। परिक्षा टिप: किसी दशमलव को परिमेय साबित करने के लिए दोहराव वाले ब्लॉक का पता लगाएँ; अनुपस्थिति में वह अभाज्य माना जा सकता है। / The decimal is formed by concatenating the natural numbers: 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... . It never terminates and does not settle into any fixed periodic block, so it is non‑terminating and non‑repeating. A non‑terminating, non‑repeating decimal represents an irrational number. The closest distractor (C) is wrong because a repeating decimal would show a constant repeating pattern after some point, which this sequence does not. Options B and D are also incorrect: it does not terminate and is not an integer. Exam tip: to test rationality, look for a repeating block — its presence implies rationality, its absence (for infinite decimals) implies irrationality.
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What is the simplified form of \(\sqrt{2}+\sqrt{18}\)?
A. \(4\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}\) होने से\(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। विकल्प B, \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) है, जो \(4\sqrt{2}\) के बराबर नहीं है। विकल्प C सिर्फ \(\sqrt{18}\) का सरलीकरण है (\(3\sqrt{2}\)) और विकल्प D मात्रा में छोटा है। परीक्षा-सुझाव: पहले हर रूट को गुणनफल में तोड़कर पूर्ण वर्ग निकालें और तभी समान प्रकार के पद जोड़ें। / Since \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\), we have \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). Option B, \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), is not equal to \(4\sqrt{2}\). Option C equals only \(\sqrt{18}\) (i.e. \(3\sqrt{2}\)), and option D is too small. Exam tip: always simplify each radical by extracting perfect squares first, then combine like (same-radical) terms.
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Which option gives the simplified form of \(\sqrt{150}\)?
A. \(5\sqrt{6}\)
सही उत्तर इसलिए है क्योंकि \(\sqrt{150}=\sqrt{25\times6}=5\sqrt{6}\)। यहाँ 25 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए उसे मूल से बाहर लेकर आ सकते हैं। नज़दीकी भ्रमितकर्ता क्यों गलत है: \(3\sqrt{50}\) गलत है क्योंकि \(3\sqrt{50}=3\times5\sqrt{2}=15\sqrt{2}\), जो \(5\sqrt{6}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी जड़ को सरल करने के लिए अंदर के भाग को सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड में विभाजित करें। / Correct because \(\sqrt{150}=\sqrt{25\times6}=5\sqrt{6}\); 25 is the largest perfect square factor and can be taken outside the root. Why the closest distractor is wrong: \(3\sqrt{50}=3\times5\sqrt{2}=15\sqrt{2}\), not equal to \(5\sqrt{6}\). Exam tip: always factor the radicand into the largest perfect square times the remainder to simplify square roots quickly.
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Which option is formed by adding a rational number to an irrational number?
A. \(\frac{3}{5}+\sqrt{10}\)
विकल्प A में \(\frac{3}{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है, अतः यह प्रत्यक्ष रूप से परिमेय + अपरिमेय का योग है। ऐसे योग सामान्यतः अपरिमेय होते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों पद (\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) अपरिमेय हैं — यह परिमेय+अपरिमेय का मामला नहीं है। विकल्प C और D दोनों में केवल परिमेय संख्याएँ हैं (भिन्न या पूर्णांकीय), इसलिए वे परिमेय जोड़ हैं। परीक्षा-टिप: किसी विकल्प में परिमेय और अपरिमेय को अलग करके पहचाने — परिमेय + अपरिमेय सामान्यतः अपरिमेय देता है; दो परिमेय का योग हमेशा परिमेय होता है। / In option A, \(\frac{3}{5}\) is rational and \(\sqrt{10}\) is irrational, so A is explicitly a sum of a rational and an irrational number. Such a sum is generally irrational, so A is correct. In option B both terms (\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) are irrational — this is not a rational+irrational case. Options C and D are sums of rational numbers only, so they are not examples of rational plus irrational. Exam tip: identify each term's type first — rational+irrational is usually irrational; sum of two rationals is always rational, while sum of two irrationals can be either but is not the case asked here.
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Which of the following numbers is real but irrational?
A. \(\sqrt{41}\)
\(\sqrt{41}\) वास्तविक है और 41 कोई पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{41}\) अपरिमेय है। अन्य विकल्पों की जांच: \(\frac{41}{1}=41\) एक पूर्ण भज्य है (राशि), 4.1 = \(\frac{41}{10}\) एक परिमेय भिन्न है, तथा 0.\overline{41} एक आवर्ती दशमलव है जिसका मान \(\frac{41}{99}\) होता है — यह भी परिमेय है। परीक्षा-सूत्र: अगर संख्या की दशमलव रूपांतरण समाप्त या आवर्ती है तो वह परिमेय है; किसी संख्या के वर्गमूल का पूरा वर्ग न होने पर वह अपरिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{41}\) is real and since 41 is not a perfect square, \(\sqrt{41}\) is irrational. Check the other options: \(\frac{41}{1}=41\) is an integer (rational), 4.1 = \(\frac{41}{10}\) is rational, and 0.\overline{41} is a repeating decimal equal to \(\frac{41}{99}\), hence rational. Exam tip: a decimal that terminates or repeats is rational; the square root of a non‑perfect square is typically irrational.
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Which option is both a natural number and a rational number?
A. 14
14 एक प्राकृतिक संख्या है क्योंकि यह एक सकारात्मक पूर्णांक है। इसे \(\frac{14}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय भी है (परिमेय वह संख्या होती है जिसे \(\frac{p}{q}\), \(q\neq0\), के रूप में लिखा जा सके)। \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है, \(-14\) प्राकृतिक नहीं है क्योंकि यह नकारात्मक है, और \(0.14\) परिमेय जरूर है पर प्राकृतिक नहीं। परीक्षा टिप: "प्राकृतिक" शब्द से पॉज़िटिव पूर्णांकों (1,2,3,...) को ही चुनें; किसी दशमलव या नकारात्मक संख्या को प्राकृतिक न मानें। / 14 is a natural number because it is a positive integer, and it can be written as \(\frac{14}{1}\), so it is rational as well (a rational number can be expressed as \(\frac{p}{q}\), \(q\neq0\)). \(\sqrt{14}\) is irrational, -14 is not a natural number (it's negative), and 0.14 is rational but not a natural number. Exam tip: natural numbers are positive integers (1,2,3,...); any number expressible as \(\frac{p}{q}\) with integer p,q (q≠0) is rational.
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Which of the following is a rational number between 0 and 1?
A. \(\frac{4}{9}\)
\(\frac{4}{9}\) एक परिमेय भिन्न है और 0 तथा 1 के बीच है क्योंकि \(0<\frac{4}{9}<1\)। अन्य विकल्पों में \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\), \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) और \(1.5/1.5\) का मान सभी 1 के बराबर हैं, इसलिए वे 0 और 1 के बीच नहीं आते। परीक्षा-सूत्र: किसी भी विकल्प को सरल कर लें या दशमलव में बदलकर तुरंत जाँच कर सकते हैं कि वह 0 और 1 के बीच है या नहीं। / \(\frac{4}{9}\) is a rational fraction and satisfies \(0<\frac{4}{9}<1\), so it lies between 0 and 1. The other choices evaluate to 1 (\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\), \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1\), \(1.5/1.5=1\)), so they are not between 0 and 1. Exam tip: simplify expressions or convert to decimal form to quickly check whether a number lies between 0 and 1.
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If (r) is a non zero rational number and (s) is irrational then what is (rs)?
A. अपरिमेय संख्याIrrational number
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है। / A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
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Which statement is correct about \(\sqrt[3]{9}\)?
A. यह अपरिमेय हैIt is irrational
(9) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{9}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन पहचानना जरूरी है। / (9) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{9}\) is irrational. Identifying perfect cubes is important in cube roots.
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What is the simplified value of \(\frac{5}{\sqrt{5}}\)?
A. \(\sqrt{5}\)
\(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) है क्योंकि \(5=\sqrt{5}\times\sqrt{5}\)। जड़ वाले हर को सरल करना सीखें। / \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) because \(5=\sqrt{5}\times\sqrt{5}\). Learn to simplify denominators with roots.
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