निम्नलिखित में से किस विकल्प का वर्णन \(0.123456789101112\ldots\) के लिए सही है?

Correct Answer: A. यह अनंत और अनावर्ती है / It is non-terminating and non-repeating. Explanation: यह दशमलव प्राकृतिक संख्याओं को क्रमशः जोड़कर बनता है: 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...। यहाँ न तो दशमलव कभी समाप्त होता है और न ही किसी निश्चित पुनरावृत्ति (periodic block) में फँसता है, इसलिए यह नॉन‑टर्मिनेटिंग और नॉन‑रिपीटिंग है। ऐसा नॉन‑टर्मिनेटिंग और नॉन‑रिपीटिंग दशमलव परिमेय नहीं होता (अर्थात् अभाज्य/irrational) — बुलाया जाने वाला कदम यह है कि यदि यह आवर्ती होता तो किसी निश्चित लंबाई का दोहराया गया ब्लॉक दिखना चाहिए, जो यहाँ मौजूद नहीं है। निकटतम विकर्षक (C) गलत है क्योंकि कोई स्थिर आवर्ती पैटर्न नहीं मिलता; (B) और (D) स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि दशमलव समाप्त नहीं हो रहा और पूर्णांक नहीं है। परिक्षा टिप: किसी दशमलव को परिमेय साबित करने के लिए दोहराव वाले ब्लॉक का पता लगाएँ; अनुपस्थिति में वह अभाज्य माना जा सकता है। / The decimal is formed by concatenating the natural numbers: 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... . It never terminates and does not settle into any fixed periodic block, so it is non‑terminating and non‑repeating. A non‑terminating, non‑repeating decimal represents an irrational number. The closest distractor (C) is wrong because a repeating decimal would show a constant repeating pattern after some point, which this sequence does not. Options B and D are also incorrect: it does not terminate and is not an integer. Exam tip: to test rationality, look for a repeating block — its presence implies rationality, its absence (for infinite decimals) implies irrationality.