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7.03125 एक निश्चित संख्या के बाद समाप्त हो जाता है, यानी यह समाप्त होने वाला दशमलव है। इसे भिन्न के रूप में लिखें तो हर बार हराश के हर भाग का हरोम भाग का हरोम भाग (उदा. 7.03125 = 703125/100000) के हरको गुणन करने पर हरमूल हरांश में केवल 2 और 5 का घात होता है \(10^5\)। इसलिए यह परिमेय है और terminating है। विकल्प B में "03" बार-बार दोहराया जा रहा है इसलिए वह आवर्ती (repeating) दशमलव है—परिमेय पर न समाप्त होने वाला। विकल्प C एक गैर-आवर्ती अनन्त क्रम दिखाता है (non-terminating, non-repeating) और इसलिए तर्कसंगत नहीं माना जा सकता; विकल्प D (�\(\pi\)\u0000) एक अप्रमेय अनन्त दशमलव है। परीक्षा-नुस्खा: किसी दशमलव के भिन्न में जितना छोटा समीकरण मिले, उसका हर (denominator) केवल 2 और/या 5 का गुणज होना चाहिए ताकि दशमलव समाप्त हो। / 7.03125 stops after a finite number of digits, so it is a terminating decimal. As a fraction 7.03125 = 703125/100000 and the denominator 100000 = 105 has only prime factors 2 and 5, which is the criterion for a terminating decimal. Option B (7.030303...) is repeating (periodic) and thus non-terminating though rational. Option C shows a non-terminating, non-repeating expansion (hence not terminating and typically irrational), and option D (\(\pi\)) is an irrational non-terminating, non-repeating decimal. Exam tip: convert to lowest-term fraction—if the denominator has only 2 and/or 5 as prime factors, the decimal terminates.
\(\sqrt{7}\times\sqrt{11}=\sqrt{77}\) है और (77) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए परिणाम अपरिमेय है। / \(\sqrt{7}\times\sqrt{11}=\sqrt{77}\) and (77) is not a perfect square. So the result is irrational.
\(\sqrt{5}\times\sqrt{45}=\sqrt{225}=15\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{45}=\sqrt{225}=15\). The product of two irrational numbers can be rational.
पहला कदम हर घातमूल को सरल करना है: \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\)। अब समान प्रकार के शर्तांक घटाने पर अंतर \(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) आता है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि यहाँ \(\sqrt{2}\) का गुणांक नहीं रखा गया है; विकल्प D (\(12\sqrt{2}\)) तब बनता है जब गलती से दोनों गुणांकों को जोड़ दिया जाए। परीक्षा युक्ति: किसी भी घातमूल को पहले पूर्णवर्ग का गुणनखंड निकालकर सरल करें ताकि समान प्रकार के परिभाज्य (like surds) मिल सकें। / Simplify each radical first: \(\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot2}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\). Subtracting like surds gives \(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). Option B (2) is incorrect because the factor \(\sqrt{2}\) must remain; option D (\(12\sqrt{2}\)) would result from wrongly adding the coefficients instead of subtracting. Exam tip: always factor out perfect squares from under the radical to combine surds correctly.
√72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2। यहाँ 72 के भीतर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग 36 है, इसलिए √72 का सरल रूप 6√2 है। विकल्प B (−6√2) केवल साइन में त्रुटि है — मूलघटक मान हमेशा गैर-नकारात्मक फल देता है। विकल्प C (6√3) और D (12√2) गलत हैं क्योंकि उनके वर्ग करने पर 36×3 = 108 तथा 144×2 = 288 मिलते हैं, जो 72 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी √ के भीतर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग ढूँढें और उसे अलग निकालें (यह अक्सर 4, 9, 16, 25, 36,... में से होता है)। / √72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2. The largest perfect square factor of 72 is 36, so the simplified form is 6√2. Option B (−6√2) only flips the sign — the principal square root is non-negative. Options C (6√3) and D (12√2) are incorrect because squaring them gives 108 and 288 respectively, not 72. Exam tip: always factor the radicand into the largest perfect square times the remainder (4, 9, 16, 25, 36,...), then take the square root of that perfect square out front.
परिमेय संख्या वह होती है जिसे \\(\frac{p}{q}\\) (p, q पूर्णांक, q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सके। \\(\sqrt{34}\\) एक गैर-परिमेय संख्या है क्योंकि 34 कोई पूर्ण वर्ग नहीं है; इसका दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्ती होगा और इसे \\(\frac{p}{q}\\) रूप में नहीं लिखा जा सकता। बाकी विकल्प परिमेय हैं: \\(-\\frac{11}{4}\\) स्पष्ट भिन्न है, \\(6.2 = \\frac{31}{5}\\) और \\(0.\overline{3} = \\frac{1}{3}\\)। परीक्षा टिप: किसी संख्या के परिमेय होने की जाँच के लिए देखें कि दशमलव समाप्त या आवर्ती है या अंदर का संख्या पूर्ण वर्ग है। / A rational number can be written as \\(\frac{p}{q}\\) with integers p, q and q ≠ 0. \\(\sqrt{34}\\) is irrational because 34 is not a perfect square; its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, so it cannot be expressed as \\(\frac{p}{q}\\). The other choices are rational: \\(-\\frac{11}{4}\\) is already a fraction, \\(6.2 = \\frac{31}{5}\\), and \\(0.\overline{3} = \\frac{1}{3}\\). Exam tip: check for perfect squares under square roots and convert repeating/terminating decimals to fractions to test rationality.
\(\sqrt{22}\) अपरिमेय है क्योंकि (22) पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्गों की जाँच करें। / \(\sqrt{22}\) is irrational because (22) is not a perfect square. In exams first check perfect squares.
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) होता है। इससे याद रखें कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Remember that the sum of two irrational numbers can sometimes be rational.
\(\sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=\sqrt{49}\times\sqrt{3}=7\sqrt{3}\) होता है। इसलिए सही उत्तर \(7\sqrt{3}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(3\sqrt{7}\) तब बनेगा जब संख्या \(9\times7\) हो — यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प C केवल मूल अभिव्यक्ति है, और विकल्प D सही उत्तर का तीन गुना है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समीकर्ण में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (यहाँ 49) खोजकर उसे मूल के बाहर निकालें। / \(\sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=\sqrt{49}\times\sqrt{3}=7\sqrt{3}\). Thus the simplified form is \(7\sqrt{3}\). Option B is incorrect because \(3\sqrt{7}\) would arise from \(\sqrt{9\times7}\), which is not the factorization here. Option C is just the unsimplified radical and D is three times the correct value. Exam tip: always factor the radicand to find the largest perfect square and take its square root outside the radical (here 49 → 7).
\(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\sqrt{7}\). यहाँ \(4\) एक पूर्ण वर्ग है इसलिए वह गुणक के रूप में बाहर आ जाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि मुख्य वर्गमूल (principal square root) हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, इसलिए \(-2\sqrt{7}\) नहीं। विकल्प C तब गलत होता अगर हम गलत तरह से \(\sqrt{28}=\sqrt{2\times14}=\sqrt{2}\sqrt{14}\) मान लें — यह रूप सरलतम नहीं और फिर भी \(\sqrt{14}\) \(\neq2\sqrt{7}\)। विकल्प B का अर्थ है \(\sqrt{28}=4\sqrt{7}\) जो तभी सच होगा जब \(28=16\times7\), जो असत्य है। परीक्षा टिप: किसी भी घनमूल/वर्गमूल को सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग फैक्टर निकालें। / \(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{7}=2\sqrt{7}\). The perfect square 4 is taken outside the radical, giving the principal (positive) square root. Option D is incorrect because the principal square root is non-negative, so \(-2\sqrt{7}\) is not the simplified value. Option C (\(\sqrt{14}\)) comes from a mistaken grouping and does not equal \(2\sqrt{7}\). Option B (\(4\sqrt{7}\)) would imply \(28=16\times7\), which is false. Exam tip: factor out the largest perfect-square factor to simplify radicals efficiently.
\(0.\overline{12}\) एक अनंत आवर्ती दशमलव है और किसी आवर्ती दशमलव को हमेशा भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए \(0.\overline{12}=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}\), इसलिए यह परिमेय है और समाप्त नहीं होता। विकल्प B (\(0.875\)) परिमेय जरूर है पर यह समाप्त होने वाला दशमलव है, इसलिए प्रश्न की शर्त पर खरा नहीं उतरता। विकल्प C (\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)) और D (\(\pi\)) अपरिमेय हैं। परीक्षा-सूत्र: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए आवर्ती भाग को उपयुक्त 9, 99, 999 आदि से भाग करें (यह तेज़ तरीके से परिमेयता दिखा देता है)। / \(0.\overline{12}\) is a non-terminating recurring decimal; every recurring decimal is rational because it can be expressed as a fraction. For example \(0.\overline{12}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}\), so it is rational and non-terminating. Option B (\(0.875\)) is rational but terminating (\(0.875=\frac{875}{1000}=\frac{7}{8}\)), so it does not meet the "non-terminating" condition. Options C (\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)) and D (\(\pi\)) are irrational. Exam tip: convert recurring decimals to fractions using 9, 99, 999... under the recurring block to quickly test rationality.
\(\frac{3}{8}\) परिमेय है क्योंकि इसे पूर्णांकों के अनुपात \(\frac{p}{q}\) (जहाँ \(q\neq 0\)) के रूप में लिखा जा सकता है, पर यह पूर्ण संख्या नहीं है क्योंकि पूर्ण संख्याएँ हैं \(0,1,2,\dots\)। विकल्प B (6) और C (0) पूर्ण संख्याएँ हैं, इसलिए गलत हैं। विकल्प D (\(\sqrt{2}\)) परिमेय नहीं बल्कि अपरीमेय (irrational) है, इसलिए वह भी सही विकल्प नहीं है। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि संख्या किसी पूर्ण संख्या के रूप में है या नहीं; यदि नहीं तो देखें क्या उसे \(p/q\) (\(q\neq0\)) के रूप में लिखा जा सकता है। / \(\frac{3}{8}\) is rational because it can be expressed as a ratio of integers \(\frac{p}{q}\) with \(q\neq0\), and it is not a whole number (whole numbers are 0,1,2,...). Options B (6) and C (0) are whole numbers, so they are incorrect. Option D (\(\sqrt{2}\)) is irrational, so it is not a rational number. Exam tip: first check whether the number is an integer/whole number; if not, check if it can be written as \(p/q\) with \(q\neq0\).
0 जोड़ना किसी भी संख्या का मान नहीं बदलता — यह जोड़ का तटस्थ तत्व है, इसलिए \(b+0=b\)। चूँकि प्रश्न में \(b\) अपरिमेय दिया गया है, इसका मान अपरिवर्तित रहने पर भी अपरिमेय ही रहेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वह मान लेता कि \(b\) परिमेय है, जो प्रश्न के विरुद्ध है; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि पूर्णांक परिमेय का उपसमुच्चय हैं और "हमेशा शून्य" मात्र तभी सही होगा जब \(b=0\), पर 0 परिमेय है न कि अपरिमेय। परीक्षा टिप: जोड़ के तटस्थ तत्व 0 को याद रखें — किसी संख्या में 0 जोड़ने से संख्या नहीं बदलती। / Adding 0 does not change a number — 0 is the additive identity, so \(b+0=b\). Since \(b\) is given as irrational, it remains irrational after adding 0. Option B is wrong because it assumes \(b\) is rational, contrary to the premise; C and D are incorrect because integers are a subset of rationals and "always zero" would require \(b=0\), but 0 is rational, not irrational. Exam tip: remember the additive identity (0) — adding 0 leaves any number unchanged.
यदि मान लें \(\sqrt[3]{4}\) एक तर्कसंगत संख्या है और \(\sqrt[3]{4}=\dfrac{p}{q}\) (घनिष्ठ रूप से सरल भिन्न, gcd\((p,q)=1\)) हो। दोनों पक्षों का घन करने पर \(4q^{3}=p^{3}\) मिलता है। इससे स्पष्ट है कि \(p^{3}\) सम है इसलिए \(p\) सम होगा; मान लें \(p=2k\)। तब \(4q^{3}=8k^{3}\) और इसी से \(q^{3}=2k^{3}\) आता है, अतः \(q\) भी सम है। यह \(p\) और \(q\) के सह-प्रथम होने के विरोध में है। अतः प्रारम्भिक मान असत्य है और \(\sqrt[3]{4}\) अपरिमेय है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि \(2^{3}=8\), न कि 4; C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण घन का परीक्षण करें — यदि अंदर का पूर्णांक पूर्ण घन न हो तो उसका घनमूल अपरिमेय होगा। / Assume \(\sqrt[3]{4}\) is rational: \(\sqrt[3]{4}=p/q\) in lowest terms (gcd\((p,q)=1\)). Cubing both sides gives \(4q^{3}=p^{3}\). Hence \(p^{3}\) is even so \(p\) is even; write \(p=2k\). Substituting yields \(4q^{3}=8k^{3}\) ⇒ \(q^{3}=2k^{3}\), so \(q\) is even too, contradicting gcd\((p,q)=1\). Therefore \(\sqrt[3]{4}\) is irrational. Option B (2) is incorrect because \(2^{3}=8\), not 4; C and D are also obviously wrong. Exam tip: for cube roots of integers, check whether the radicand is a perfect cube — if not, the cube root is irrational.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, पर उनका योग \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) परिमेय है। इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प B में \(\sqrt{2}+\sqrt{7}\) सामान्यतः अपरिमेय रहता है (दो भिन्न गैर‑वर्गाकार मूलों का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है)। विकल्प C में \(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) जो अपरिमेय है। विकल्प D में एक परिमेय और एक अपरिमेय का योग है, इसलिए वह अपरिमेय होगा। परीक्षा‑सुझाव: किसी जोड़ में अगर संख्या और उसकी प्रतिक (additive inverse) दोनों हों तो योग तुरंत 0 यानी परिमेय होगा। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but their sum \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) is rational, so A is correct. Closest distractor B, \(\sqrt{2}+\sqrt{7}\), remains irrational (sums of distinct square‑free roots are generally irrational). C gives \(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), still irrational. D is a sum of a rational and an irrational, which is irrational. Exam tip: look for additive inverses — if both terms cancel each other, the sum is rational (often 0).
किसी भी वास्तविक संख्या — चाहे वह परिमेय हो या अपरिमेय — को शून्य से गुणा करने पर परिणाम हमेशा शून्य
(0) होता है। शून्य को परिमेय माना जाता है क्योंकि इसे
\(0=0/1\) के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। इसलिए सही उत्तर (0) जो परिमेय है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प B है, जो कहता है "हमेशा अपरिमेय" — यह गलत है क्योंकि शून्य अपरिमेय नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर तुरंत उत्तर 0 होगा; यह गुणा का मौलिक नियम है। / Multiplying any real number — whether rational or irrational — by zero always yields zero (0). Zero is rational because it can be written as \(0=0/1\). Hence the correct choice is (0), which is rational. The closest distractor is B (Always irrational), which is incorrect since zero is not irrational. Exam tip: Whenever you see "×0" in a question, the product is immediately 0, regardless of the other factor's type.
\(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) क्योंकि \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\)। जड़ वाले हर को सरल करने का अभ्यास करें। / \(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) because \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\). Practice simplifying denominators with roots.
\((\sqrt{13})^2=13\) क्योंकि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या \(a\) के लिए \((\sqrt{a})^2=a\) होता है। विकल्प B केवल मूल \(x\) को दोहराता है, यह \(x^2\) नहीं है। विकल्प C (169) तब बनता है जब 13 को वर्ग किया जाए — यहाँ गलती यह है कि घन वर्गमूल की जगह 13 को ही वर्ग कर दिया गया। विकल्प D (-13) गलत चिह्न है; \(x^2\) हमेशा शून्य या धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: किसी भी प्रश्न में जहाँ \(x=\sqrt{a}\) दिया हो, तुरंत \(x^2=a\) रखना सुरक्षित होता है। / Since \((\sqrt{13})^2=13\), squaring the square root returns the original nonnegative number. Option B is just the original \(x\), not \(x^2\). Option C (169) results from incorrectly squaring 13 itself. Option D is wrong because \(x^2\) cannot be negative here. Exam tip: whenever \(x=\sqrt{a}\) for \(a\ge0\), you can directly replace \(x^2\) with \(a\).
\(\sqrt{19}\) सही है क्योंकि \(4^2=16\) और \(5^2=25\) तथा \(16<19<25\), इसलिए \(\sqrt{19}\) का मान 4 और 5 के बीच है। 19 पूर्ण वर्ग नहीं है, अत: \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है। निकटतम छलावा \(\frac{9}{2}=4.5\) है जो वास्तव में 4 और 5 के बीच तो है परंतु परिमेय (rational) है। और \(\sqrt{16}=4\) तथा \(\sqrt{25}=5\) सीमा बिंदु हैं, पर खुले अंतराल (4,5) में नहीं आते। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्ग देखकर तय करें कि वह दो पूर्ण वर्गों के बीच है या नहीं — इससे तुरंत पता चलता है कि उसका वर्गमूल किस दो पूर्णांकों के बीच होगा। / \(\sqrt{19}\) is correct because \(4^2=16\) and \(5^2=25\), and since \(16<19<25\), we have \(4<\sqrt{19}<5\). Also 19 is not a perfect square, so \(\sqrt{19}\) is irrational. The closest distractor \(\frac{9}{2}=4.5\) lies between 4 and 5 but is rational. \(\sqrt{16}=4\) and \(\sqrt{25}=5\) are the end points, not inside the open interval (4,5). Exam tip: to check whether a square root is between two integers, compare the radicand with the squares of those integers and check if it's a perfect square.
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। इसलिए सही सरल रूप \(5\sqrt{3}\) है। नज़दीकी विकल्पों का परीक्षण: \(3\sqrt{5}=\sqrt{9\times5}=\sqrt{45}\) (गलत), \(25\sqrt{3}\) का अर्थ \(25\times\sqrt{3}\) है जो बहुत बड़ा है, और \(\sqrt{15}\) स्पष्ट रूप से अलग संख्या है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के अंदर सबसे बड़ा पूर्णवर्ग गुणनखंड (यहाँ 25) निकालकर सरल करें। / \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). Hence the simplified form is \(5\sqrt{3}\). Checking distractors: \(3\sqrt{5}=\sqrt{9\times5}=\sqrt{45}\) so it is not equal to \(\sqrt{75}\); \(25\sqrt{3}\) means \(25\times\sqrt{3}\) which is far larger; \(\sqrt{15}\) is a different value. Exam tip: factor out the largest perfect square from under the root (here 25) to simplify quickly.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=\sqrt{16}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). इसलिए सही उत्तर \(4\sqrt{2}\) है। विकल्प B (\(8\sqrt{2}\)) उससे बड़ा है और गलत गुणनफल दर्शाता है; विकल्प C (\(4\)) मात्र \(\sqrt{16}\) है, जो \(\sqrt{32}\) के बराबर नहीं; विकल्प D अनसरलीकृत रूप है। परीक्षा टिप: भीतर से अधिकतम पूर्ण वर्ग निकालें (यहाँ 16)। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). Hence the simplified form is \(4\sqrt{2}\). Option B (\(8\sqrt{2}\)) is much larger and incorrect; option C (\(4\)) equals \(\sqrt{16}\), not \(\sqrt{32}\); option D is the unsimplified radical. Exam tip: always factor out the largest perfect square from under the root.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय भी हो सकता है। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\). The product of two irrational numbers can be rational.
परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. \(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
परिमेय संख्या (6) में अपरिमेय \(\sqrt{11}\) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। जड़ को पूर्ण वर्ग समझने की गलती न करें। / Adding irrational \(\sqrt{11}\) to rational (6) gives an irrational number. Do not mistake the root for a perfect square.
A. परिमेय और वास्तविक संख्या/Rational and real number
Explanation
Simple Explanation
(-8) को \\(-8=\\frac{-8}{1}\\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह दो पूर्णांकों का अनुपात है और परिमेय है। सभी पूर्णांक वास्तविक संख्या भी होते हैं, इसलिए यह वास्तविक भी है।
बारीक अंतर: अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता (जैसे \(\sqrt{2}\)), इसलिए विकल्प B गलत है। विकल्प C गलत है क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक (1,2,3,...) होती हैं; \(-8\) प्राकृतिक नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि अवास्तविक/गैर-रेअल संख्याएँ कल्पनीय भाग रखती हैं (जैसे \(3+2i\)); \(-8\) का कोई कल्पनीय भाग नहीं है।
परीक्षा-टिप: किसी संख्या को परिमेय जानने के लिए जाँचें कि क्या उसे दो पूर्णांकों के अनुपात \(\frac{p}{q}\) (जहाँ \(q\neq0\)) के रूप में लिखा जा सकता है। / You can write (-8) as \( -8=\frac{-8}{1}\), so it is a ratio of two integers and therefore rational. Every integer is also a real number, so (-8) is real as well.
Why other choices are wrong: B is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers (e.g. \(\sqrt{2}\)). C is wrong because natural numbers are positive integers (1,2,3,...); -8 is not natural. D is wrong because non-real (complex) numbers have a nonzero imaginary part (e.g. \(3+2i\)); -8 has no imaginary part.
Exam tip: To decide if a number is rational, try to express it as \(\frac{p}{q}\) with integers \(p,q\) and \(q\neq0\).
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
यदि किसी संख्या का दशमलव विस्तार अनन्त है और उसमें कोई निश्चित आवर्ती पैटर्न नहीं होता, तो वह अपरिमेय संख्या होती है। परिमेय संख्याएँ या तो समाप्त होती हैं (terminating) या किसी निश्चित आवर्ती क्रम में अनन्त तक दोहराती हैं (recurring)। यहाँ दिया हुआ 5.123123312333... किसी स्थिर आवर्तन को नहीं दिखाता, इसलिए वह अपरिमेय है। सबसे करीब मानसिक भ्रम पैदा करने वाला विकल्प परिमेय है — वह तब गलत होगा जब दशमलव या तो समाप्त न हो और न ही आवर्ती पैटर्न दिखाए। परीक्षा-सुझाव: कोई संख्या अपरिमेय तभी मानीए जब दशमलव विस्तार दोनों—समाप्त और आवर्ती—में से किसी भी तरह का न हो; सिर्फ अनन्त होना पर्याप्त नहीं। / A decimal expansion that is non-terminating and non-repeating represents an irrational number. Rational numbers always have decimal expansions that either terminate or eventually repeat a fixed block. The given expansion 5.123123312333... shows no fixed repeating block, so it is irrational. The closest distractor, 'rational number', is incorrect because a rational decimal must exhibit a repeating pattern if it does not terminate. Exam tip: to test quickly, look for a consistent repeating block—if none exists, the number is irrational.
\(\sqrt{15}\) में (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना बहुत उपयोगी है। / \(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
यहाँ \(x-2=\sqrt{5}\) होता है। \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि 5 कोई पूर्ण वर्ग नहीं है और इसे किसी पूर्णांकीय भिन्न \(p/q\) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। इसलिए \(x-2\) अपरिमेय है। निकटतम विचलक विकल्प परिमेय (B) गलत है क्योंकि परिमेय संख्या को \(p/q\) रूप में लिखा जा सकता है—यह \(\sqrt{5}\) के लिए संभव नहीं। विकल्प C (पूर्णांक) और D (शून्य) भी गलत हैं क्योंकि \(\sqrt{5}\) न तो कोई पूर्णांक है न शून्य। परीक्षा-सुझाव: पहले अभिव्यक्ति सरल करें और अपरिमेयता के लिए अंदर के मान का पूर्ण वर्ग होना जांचें। / Here \(x-2=\sqrt{5}\). Since 5 is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is irrational and cannot be written as a ratio \(p/q\) of integers; hence \(x-2\) is irrational. The closest distractor, rational (B), is wrong because rationals can be expressed as \(p/q\), which \(\sqrt{5}\) cannot. Integer (C) and zero (D) are also incorrect because \(\sqrt{5}\) is neither an integer nor zero. Exam tip: always simplify the expression first and use the perfect-square test to check irrationality.
