proof-by-contradiction MCQ Questions for Class 10

Simple Explanation

\(\sqrt{2}\) धनात्मक है और अपरिमेय है। संक्षेप में प्रमाण: मान लीजिए \(\sqrt{2}=\tfrac{p}{q}\) जहाँ p,q पूर्णांक हैं और उनकी gcd 1 है। फिर \(p^2=2q^2\) से p सम (even) होता है, यानी \(p=2k\)। अभिव्यक्ति में रखकर मिलता है \(4k^2=2q^2\) या \(2k^2=q^2\) जिससे q भी सम होगा — पर यह gcd=1 के विरोध में है। अतः विरोधाभास से \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। विकल्प B (\(-\sqrt{2}\)) भी अपरिमेय है पर यह ऋणात्मक है, जबकि प्रश्न धनात्मक संख्या मांगता है। विकल्प C (2) एक परिमेय पूर्णांक है। विकल्प D का वर्ग \(\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)^2=\tfrac{1}{2}\) आता है, न कि 2। परीक्षा-सूत्र: किसी संख्या के वर्ग की जाँच करने के लिए सीधे वर्ग कर लें और संकेत (positive/negative) पर ध्यान दें; \(\sqrt{2}\) का पारंपरिक विरोधाभासी प्रमाण याद रखें। / \(\sqrt{2}\) is positive and irrational. Brief proof: assume \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms with integers p,q. Then \(p^2=2q^2\) implies p is even, so p=2k; substituting gives \(2k^2=q^2\), so q is also even — contradicting that p and q are coprime. Hence \(\sqrt{2}\) is irrational. Option B (\(-\sqrt{2}\)) is irrational too but not positive. Option C (2) is rational. Option D squares to \(\tfrac{1}{2}\), not 2. Exam tip: check the sign requirement and compute the square; memorize the standard parity contradiction proof for \(\sqrt{2}\).