100 results found for "proof-by-contradiction" in Class 10.
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा भाग विरोधाभास की विधि को दर्शाता है?
Which part of the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\) shows proof by contradiction?
#real-numbers
#root2
#contradiction-method
#proof
A पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
B सीधे \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय लिख देना / Directly writing that \(\sqrt{2}\) is irrational
C केवल \(\sqrt{2}\) का मान निकालना / Only finding the value of \(\sqrt{2}\)
D केवल (2) को अभाज्य लिखना / Only writing that (2) is prime
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Correct Answer
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। / Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। / Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है। / In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result.
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किस विकल्प में विरोधाभास द्वारा प्रमाण का सही अर्थ दिया गया है?
Which option correctly explains proof by contradiction?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
A जिस बात को सिद्ध करना है, उसे सीधे याद करके लिख देना / Write the statement directly by memory
B विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना / Assume the opposite and derive an impossible result
C दशमलव मान निकालकर निष्कर्ष देना / Find the decimal value and conclude
D केवल चित्र बनाकर उत्तर देना / Draw only a diagram and answer
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Correct Answer
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना / Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। / In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। / Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method.
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किस विकल्प में अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास की विधि का सही अर्थ है?
Which option correctly explains proof by contradiction in irrationality proofs?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
#hard
A जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B सही उत्तर को बिना कारण लिख देना / Write the correct answer without reason
C हर संख्या को दशमलव में बदलना / Convert every number into decimal form
D केवल अनुमान से निष्कर्ष निकालना / Conclude only by guessing
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Correct Answer
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में अंतिम विरोधाभास से ठीक पहले कौन सा कथन होना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which statement should come just before the final contradiction?
#sqrt5 proof
#pre contradiction
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (q=0)
C \(\sqrt{5}=5\)
D (p=q)
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है। / After this, contradiction is written using common factor (5).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में अंतिम विरोधाभास को सबसे सही रूप में बताता है?
Which option states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\) most correctly?
#sqrt2 proof
#final contradiction
#hard
#class 10
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so there is contradiction
C \(b\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(b\neq 0\), so there is contradiction
D (a) और (b) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (a) and (b) are integers, so there is contradiction
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / The proof shows both are even, so both have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही सही अंतिम विरोधाभास है। / This is the correct final contradiction.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का अंतिम विरोधाभास सही भाषा में लिखा है?
Which option states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\) in correct language?
#sqrt2 proof
#final contradiction
#hard
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले / (p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so it is a contradiction
C \(q\neq 0\), इसलिए विरोधाभास है / \(q\neq 0\), so it is a contradiction
D (p) और (q) पूर्णांक हैं, इसलिए विरोधाभास है / (p) and (q) are integers, so it is a contradiction
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले / (p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। / At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
यही साफ और सही विरोधाभास है। / This is the clear and correct contradiction.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलना अंतिम विरोधाभास देता है?
In which proof does finding both (p) and (q) even give the final contradiction?
#sqrt2 proof
#even contradiction
#class 10
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\) की परिमेयता में / In the rationality of \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Both even contradict the coprime condition.
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एक प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से (p=2r) और फिर (q=2s) मिला। यह कौन सा विरोधाभास देता है?
In a proof, from \(p^2=2q^2\), we get (p=2r) and then (q=2s). What contradiction does this give?
#sqrt2 contradiction
#proof reasoning
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं / (p) and (q) are not coprime
B (p) और (q) पूर्णांक नहीं हैं / (p) and (q) are not integers
C \(\sqrt{2}\) ऋणात्मक है / \(\sqrt{2}\) is negative
D (q=0) है / (q=0)
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं / (p) and (q) are not coprime
Step 1
Concept
(p=2r) और (q=2s) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2r) and (q=2s) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। / So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
जबकि शुरुआत में उन्हें सहअभाज्य माना गया था, यही विरोधाभास है। / But they were assumed coprime at the start, which is the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (a=5k) और (b=5l) जैसे परिणाम क्यों विरोधाभास हैं?
Why are results like (a=5k) and (b=5l) a contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#contradiction
#class 10
A क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे / Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (k) हमेशा शून्य है / Because (k) is always zero
D क्योंकि (l) अपरिमेय है / Because (l) is irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे / Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
Step 1
Concept
(a=5k) और (b=5l) का मतलब दोनों (5) से विभाज्य हैं। / (a=5k) and (b=5l) mean both are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / But (a) and (b) were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह परिणाम विरोधाभास देता है। / Hence this result gives a contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा विरोधाभास आता है?
Which contradiction appears in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#contradiction
#sqrt5 proof
#class 10
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
C (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
D (p) और (q) बराबर नहीं मिलते / (p) and (q) are not found equal
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
(p) और (q) को सहअभाज्य मानकर चले थे। / We started by taking (p) and (q) as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दो सहअभाज्य संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास है। / Two coprime numbers cannot have (5) as a common factor, so this is a contradiction.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में विरोधाभास क्या है?
What is the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#contradiction
#sqrt3 proof
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (2)
C (p) और (q) बराबर मिलते हैं / (p) and (q) are found equal
D (p) और (q) दोनों शून्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found zero
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
शुरुआत में (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। / At the start, (p) and (q) are taken as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, यानी साझा गुणनखंड (3) है। / The proof shows both are divisible by (3), so they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में अंतिम विरोधाभास क्या होता है?
What is the final contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#contradiction
#sqrt2 proof
#class 10
A (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
B (p) और (q) दोनों विषम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found odd
C (p) ऋणात्मक मिलता है / (p) is found negative
D (q=1) मिलता है / (q=1) is found
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) are found even
Step 1
Concept
शुरुआत में (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। / At the start, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / The proof shows both (p) and (q) are even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास दिखाता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है। / This contradiction shows that \(\sqrt{2}\) is not rational.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का सही अंतिम विरोधाभास लिखा है?
Which option states the correct final contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / (a) and (b) are both integers
C (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। / Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण के अंत में सही विरोधाभास बताता है?
Which statement gives the correct contradiction at the end of the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#coprime
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों विषम हैं / (p) and (q) are both odd
C (p) और (q) दोनों धनात्मक हैं / (p) and (q) are both positive
D (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / (p) and (q) are both integers
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। / Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational.
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किस कथन से \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वास्तविक विरोधाभास बनता है?
Which statement creates the actual contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों धनात्मक हैं / (a) and (b) are both positive
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (3) है / The square of \(\sqrt{3}\) is (3)
D (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। / The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते। / Coprimality and a common factor cannot occur together.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का विरोधाभास सही लिखा है?
Which option correctly states the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
#hard
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
B (p) और (q) बराबर हैं, इसलिए वे सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are equal, so they are coprime
C (p) विषम है और (q) सम है / (p) is odd and (q) is even
D (p) धनात्मक है और (q) ऋणात्मक है / (p) is positive and (q) is negative
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है। / The contradiction is the clash between coprimality and a common factor.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। इसे विरोधाभास क्यों कहा जाता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) are found even. Why is this called a contradiction?
#sqrt2 contradiction
#even numbers
#class 10
A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे / Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
B क्योंकि दोनों पूर्णांक हैं / Because both are integers
C क्योंकि दोनों धनात्मक हैं / Because both are positive
D क्योंकि दोनों भिन्न में हैं / Because both are in a fraction
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे / Because both have common factor (2), while they were assumed coprime
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में अंतिम विरोधाभास को सही ढंग से कौन सा विकल्प बताता है?
Which option correctly states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (2)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
D (p) और (q) दोनों (9) के बराबर हैं / Both (p) and (q) are equal to (9)
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Correct Answer
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / In the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But they were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम विरोधाभास है। / This is the final contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में विरोधाभास किस बात से आता है?
What creates the contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (2)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
C (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
D (p) और (q) दोनों (7) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (7)
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Correct Answer
B. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (p) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है। / Then (q) is also found divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा गुणनखंड होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Having common factor (5) contradicts the coprime condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में विरोधाभास को सही भाषा में बताता है?
Which option states the contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\) correctly?
#sqrt2 contradiction
#exam language
#class 10
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so there is a contradiction
C (a) और (b) बराबर हैं, इसलिए विरोधाभास है / (a) and (b) are equal, so there is a contradiction
D \(\sqrt{2}\) का वर्ग (2) है, इसलिए विरोधाभास है / The square of \(\sqrt{2}\) is (2), so there is a contradiction
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप मानते हैं। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (a) और (b) दोनों सम मिलते हैं। / The proof shows both (a) and (b) are even.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होकर दोनों सम होना असंभव है। / Being coprime and both even is impossible.
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यदि \(\sqrt{5}\) परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है, तो विरोधाभास विधि के अनुसार क्या निष्कर्ष होगा?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational leads to a contradiction, what is the conclusion according to the contradiction method?
#sqrt5 conclusion
#contradiction method
#class 10
A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। / If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में विरोधाभास का मूल कारण क्या है?
What is the root cause of contradiction in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common contradiction
#irrationality proof
#hard
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator being non-zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / After assuming rationality, the number is written in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में अंश और हर दोनों में समान गुणनखंड मिल जाता है। / The proof finds the same factor in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास बनता है। / This cannot happen in lowest form, so contradiction occurs.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में प्रयुक्त मुख्य विरोधाभास को सही बताता है?
Which option correctly states the main contradiction used in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common contradiction
#irrationality proof
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल का धनात्मक होना / The square root being positive
C हर का शून्य न होना / Denominator not being zero
D अंश और हर का पूर्णांक होना / Numerator and denominator being integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / After assuming rationality, the number is written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। / The proof finds a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है। / This is impossible for a lowest-form fraction.
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यदि परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिल जाए, तो मूल कथन के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
If the rational assumption leads to a contradiction, what is the conclusion about the original statement?
#contradiction logic
#proof
#class 10
A मूल कथन सही है / The original statement is true
B मूल कथन गलत है / The original statement is false
C कोई निष्कर्ष नहीं मिलता / No conclusion is obtained
D संख्या शून्य है / The number is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मूल कथन सही है / The original statement is true
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता लेकर चलते हैं। / In contradiction, we work with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
यदि वह मान्यता असंभव निकले, तो मूल कथन सही होता है। / If that assumption becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है। / So when rationality fails, irrationality is proved.
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कौन सा कथन विरोधाभास विधि को सही ढंग से समझाता है?
Which statement correctly explains the method of contradiction?
#method of contradiction
#proof
#class 10
A जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं / We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B बिना मान्यता के केवल उत्तर लिखते हैं / We write only the answer without any assumption
C केवल अनुमान लगाते हैं / We only make a guess
D हर बार दशमलव निकालते हैं / We always find the decimal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं / We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उससे असंभव बात मिलती है, तो मूल कथन सही सिद्ध होता है। / If it leads to an impossible result, the original statement is proved true.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाणों में यह विधि बहुत उपयोगी है। / This method is very useful in irrationality proofs.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को पूरा करने में मदद करता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which conclusion helps complete the proof?
#real-numbers
#root2
#even-square
#contradiction
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) बताता है कि \(q^2\) सम है। / \(q^2=2k^2\) shows that \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम होने पर मूल पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए (q) सम है। / If a square is even, the integer itself is even, so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
अब (p) और (q) दोनों सम होने से विरोधाभास पूरा होता है। / Now both (p) and (q) are even, completing the contradiction.
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यदि \(\sqrt{2}\) की जगह \(\sqrt{4}\) हो, तो वही विरोधाभास प्रमाण क्यों लागू नहीं होगा?
If \(\sqrt{4}\) is used instead of \(\sqrt{2}\), why will the same contradiction proof not apply?
#real-numbers
#perfect-square
#root2-comparison
#concept
A क्योंकि \(\sqrt{4}=2\) परिमेय पूर्णांक है / Because \(\sqrt{4}=2\) is a rational integer
B क्योंकि (4) अभाज्य है / Because (4) is prime
C क्योंकि \(\sqrt{4}\) परिभाषित नहीं है / Because \(\sqrt{4}\) is not defined
D क्योंकि (4) ऋणात्मक है / Because (4) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(\sqrt{4}=2\) परिमेय पूर्णांक है / Because \(\sqrt{4}=2\) is a rational integer
Step 1
Concept
(4) पूर्ण वर्ग है। / (4) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय और पूर्णांक है। / \(\sqrt{4}=2\), which is rational and an integer.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता का विरोधाभास प्रमाण पूर्ण वर्गों पर नहीं लगाया जाता। / The irrationality contradiction proof is not applied to perfect squares.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास कब बनेगा?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\). If (a) and (b) are coprime, when will a contradiction occur in the proof?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
B जब (a) और (b) दोनों पूर्णांक हों / When both (a) and (b) are integers
C जब \(b\neq 0\) हो / When \(b\neq 0\)
D जब \(\sqrt{3}\) धनात्मक हो / When \(\sqrt{3}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। / If both are divisible by (3), the common factor is (3).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय मानकर विरोधाभास प्राप्त हुआ, तो सही निष्कर्ष क्या होगा?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational gives a contradiction, what is the correct conclusion?
#sqrt2 conclusion
#contradiction method
#class 10
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=2\)
D \(\sqrt{2}=0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता असंभव सिद्ध हो जाए, तो वह गलत है। / If the rational assumption is proved impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Hence \(\sqrt{2}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर विरोधाभास आया, तो कौन सी बात सही सिद्ध होती है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational leads to a contradiction, what is proved true?
#sqrt5 conclusion
#contradiction method
#class 10
A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction method, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता गलत निकले, तो अपरिमेयता सिद्ध होती है। / If the rational assumption is false, irrationality is proved.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर अंत में विरोधाभास मिलता है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational finally gives a contradiction, which conclusion is correct?
#sqrt5 conclusion
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। / If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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विरोधाभास विधि में यदि मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो मूल कथन के बारे में क्या कहा जाता है?
In the method of contradiction, if the assumption is proved false, what is said about the original statement?
#contradiction method
#logic
#class 10
A मूल कथन सही है / The original statement is true
B मूल कथन भी गलत है / The original statement is also false
C कोई निष्कर्ष नहीं निकलता / No conclusion is obtained
D सभी विकल्प सही हैं / All options are correct
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मूल कथन सही है / The original statement is true
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी बात मानकर चलते हैं। / In contradiction, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उलटी बात असंभव निकलती है, तो मूल कथन सही माना जाता है। / If the opposite becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
यही कारण है कि परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है। / That is why breaking the rational assumption proves irrationality.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में गलत प्रमाण विधि है?
Which option is a wrong proof method in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#wrong method
#hard
#class 10
A \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना / Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है कहना / Saying \(p^2\) is divisible by (3)
C (p=3k) लिखना / Writing (p=3k)
D \(q^2=3k^2\) से (q) (3) से विभाज्य है कहना / Saying (q) is divisible by (3) from \(q^2=3k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना / Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) (3) से विभाज्य है, पर सीधे (p=3q) नहीं मिलता। / This means (p) is divisible by (3), but (p=3q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
सही तरीका (p=3k) लिखना है। / The correct way is to write (p=3k).
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एक प्रमाण में \(p^2=3q^2\), (p=3k), और \(q^2=3k^2\) आया। यह किस वर्गमूल से जुड़ा प्रमाण है?
In a proof, \(p^2=3q^2\), (p=3k), and \(q^2=3k^2\) appear. This proof is related to which square root?
#identify proof
#sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
समीकरण में मुख्य गुणनखंड (3) है। / The main factor in the equation is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{3}\) की सिद्धि से आता है। / \(p^2=3q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण का गुणनखंड देखें। / To identify the proof, look at the factor in the equation.
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एक प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिला। यह किस वर्गमूल की अपरिमेयता सिद्धि से जुड़ा है?
In a proof, \(p^2=3q^2\) is obtained. This is related to the irrationality proof of which square root?
#identify proof
#sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। / Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें। / Identify the square root from the factor in the equation.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में सही है लेकिन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में मुख्य रूप से नहीं आता?
Which statement is correct in the proof of \(\sqrt{3}\) but is not the main step in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt3 proof
#comparison
#class 10
A यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
C यदि (p=2k), तो \(p^2=4k^2\) / If (p=2k), then \(p^2=4k^2\)
D दोनों (p) और (q) सम हैं / Both (p) and (q) are even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है, तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) का गुणनखंड काम करता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), factor (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (3) से विभाज्य होने पर (p) (3) से विभाज्य कहा जाता है। / So if \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में संबंधित संख्या का गुणनखंड पहचानें। / Identify the relevant factor in each proof.
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किस कारण से \(\sqrt{2}\) का प्रमाण केवल यह लिखकर पूरा नहीं होता कि \(p^2\) सम है?
Why is the proof for \(\sqrt{2}\) not complete by only writing that \(p^2\) is even?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#contradiction
A क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
B क्योंकि \(p^2\) सम होना गलत है / Because \(p^2\) being even is wrong
C क्योंकि (q) को शून्य बनाना जरूरी है / Because (q) must be made zero
D क्योंकि \(\sqrt{2}\) को दशमलव में लिखना जरूरी है / Because \(\sqrt{2}\) must be written as a decimal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
\(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। / From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें। / Do not stop the proof midway; write until the final conflict.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि (a=2m) और (b=2n), तो यह किस बात के विरुद्ध है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2m) and (b=2n), what does this go against?
#sqrt2 proof
#gcd contradiction
#hard
#class 10
A (\gcd(a,b)=1)
B \(b\neq 0\)
C (a) और (b) पूर्णांक हैं / (a) and (b) are integers
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(a,b)=1)
Step 1
Concept
(a=2m) और (b=2n) से दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / (a=2m) and (b=2n) show common factor (2) in both.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (\gcd(a,b)) (1) नहीं हो सकता। / So (\gcd(a,b)) cannot be (1).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की शर्त के विरुद्ध है। / This goes against the lowest-form condition.
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यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, तो यह किस कथन को खंडित करता है?
If both (p) and (q) are found even in the proof of \(\sqrt{2}\), which statement does it refute?
#sqrt2 proof
#gcd contradiction
#hard
#class 10
A (\gcd(p,q)=1)
B \(q\neq 0\)
C (p) पूर्णांक है / (p) is an integer
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं। / If both are even, both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता। / Then their greatest common divisor cannot remain (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त खंडित होती है। / Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) is refuted.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, तो (p=5k) और (q=5r) मिलने पर कौन सा कथन सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form, which statement is correct when (p=5k) and (q=5r) are obtained?
#sqrt5 proof
#lowest form contradiction
#hard
A यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है / This result is impossible because the fraction can be reduced
B यह परिणाम सिद्ध करता है कि \(\sqrt{5}=5\) / This result proves \(\sqrt{5}=5\)
C यह परिणाम (q=0) बताता है / This result shows (q=0)
D यह परिणाम बताता है कि (5) पूर्ण वर्ग है / This result shows (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है / This result is impossible because the fraction can be reduced
Step 1
Concept
(p=5k) और (q=5r) का अर्थ है कि दोनों में (5) साझा है। / (p=5k) and (q=5r) mean both have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (5) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता के लिए असंभव परिणाम है। / Hence this is an impossible result for the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) और फिर (q=3r) मिला। इससे मूल मान्यता क्यों गलत होती है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) gives (p=3k) and then (q=3r). Why does this make the original assumption false?
#sqrt3 proof
#rational assumption
#contradiction
#hard
A क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया / Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
B क्योंकि (q=0) हो गया / Because (q=0)
C \(\sqrt{3}=3\) सिद्ध हो गया / Because \(\sqrt{3}=3\) is proved
D क्योंकि (p) और (q) पूर्णांक नहीं हैं / Because (p) and (q) are not integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया / Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / In the rational assumption, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) और (q=3r) बताता है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा है। / (p=3k) and (q=3r) show common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोधाभास है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / This contradicts lowest form, so the rational assumption is false.
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलते हैं, तो सबसे उचित विरोधाभास क्या है?
If (p=3r) and (q=3s) are obtained in the proof of \(\sqrt{3}\), what is the most appropriate contradiction?
#sqrt3 proof
#lowest form
#coprime
#hard
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
B \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य हो जाती है / \(\frac{p}{q}\) becomes zero
D (p) और (q) पूर्णांक नहीं रहते / (p) and (q) are no longer integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
(p=3r) और (q=3s) का अर्थ है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / (p=3r) and (q=3s) mean both (p) and (q) have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न के अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / The numerator and denominator of a lowest-form fraction should be coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है। / Thus this contradicts the lowest-form assumption.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए और प्रमाण में (p=5k) मिल जाए, तो अगला महत्वपूर्ण उद्देश्य क्या है?
If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and (p=5k) is obtained in the proof, what is the next important aim?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#hard
A (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (q) is also divisible by (5)
B (p=q) सिद्ध करना / To prove (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) सिद्ध करना / To prove (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। / (p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है। / A common factor (5) in both creates the contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) और (b) दोनों सम सिद्ध होने पर कौन सा निष्कर्ष सबसे उचित है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), when both (a) and (b) are proved even, which conclusion is most appropriate?
#sqrt2 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
B \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध हो गया / \(\sqrt{2}=2\) is proved
C (b=0) सिद्ध हो गया / (b=0) is proved
D (a) और (b) अपरिमेय हैं / (a) and (b) are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर (a) और (b) में (2) साझा गुणनखंड है। / If both are even, (a) and (b) have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर का साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। / In a lowest-form fraction, numerator and denominator should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह परिमेय मान्यता के विरुद्ध जाता है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / So this contradicts the rational assumption and proves \(\sqrt{2}\) irrational.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है, तो कौन सी आरंभिक बात गलत होती है?
If in the proof of \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), both (p) and (q) get common factor (2), which initial statement becomes false?
#sqrt2 proof
#lowest form
#contradiction
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है / \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है / \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों में (2) मिलना बताता है कि भिन्न और घट सकती है। / Finding (2) in both shows the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की आरंभिक बात गलत सिद्ध होती है। / Therefore the initial lowest-form statement becomes false.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने का महत्व क्या है?
What is the importance of getting \(q^2=2k^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
A इससे (q) भी सम सिद्ध होता है / It proves (q) is also even
B इससे (q=0) सिद्ध होता है / It proves (q=0)
C इससे (p=q) सिद्ध होता है / It proves (p=q)
D इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / It proves \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. इससे (q) भी सम सिद्ध होता है / It proves (q) is also even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक सम होता है। / If a square is even, the original integer is even.
Step 3
Exam Tip
(p) पहले सम था और (q) भी सम मिला, यही विरोधाभास बनाता है। / (p) was already even and (q) is also even, creating contradiction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो यह किससे विरोध करता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are found divisible by (3), what does this contradict?
#sqrt3 proof
#contradiction
#coprime
#class 10
A उनके सहअभाज्य होने से / Their being coprime
B उनके पूर्णांक होने से / Their being integers
C \(q\neq 0\) होने से / \(q\neq 0\)
D (3) के अभाज्य होने से / (3) being prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. उनके सहअभाज्य होने से / Their being coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। / If both are divisible by (3), common factor (3) exists.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Therefore it contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (p=5k) और (q=5r) मिल जाएं, तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which conclusion is correct?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#class 10
A (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
B \(\sqrt{5}=5\)
C (p) और (q) सहअभाज्य ही हैं / (p) and (q) are still coprime
D (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। / (p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। / (q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Common factor (5) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2k^2\) मिलने के बाद कौन सा तर्क सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2k^2\), which reasoning is correct?
#sqrt2 proof
#q even
#contradiction
#class 10
A \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
B \(q^2\) सम है, इसलिए (q) विषम है / \(q^2\) is even, so (q) is odd
C \(q^2=2k^2\) से \(q=2k^2\) / From \(q^2=2k^2\), \(q=2k^2\)
D (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम है / \(q^2\) is even, so (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) सम है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग सम हो तो मूल पूर्णांक भी सम होता है। / If a square is even, the original integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इससे (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं और विरोधाभास बनता है। / Then both (p) and (q) are even and contradiction occurs.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=5k^2\) मिल जाए, तो अगला सही निष्कर्ष कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if \(q^2=5k^2\) is obtained, what is the next correct conclusion?
#sqrt5 proof
#divisibility
#contradiction
#class 10
A (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=k) है / (q=k)
D (q) परिमेय नहीं है / (q) is not rational
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Correct Answer
A. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलना क्या दिखाता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what does finding both (a) and (b) divisible by (5) show?
#sqrt5 proof
#contradiction
#coprime
#class 10
A वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / They cannot be coprime
B वे दोनों परिमेय नहीं हैं / They both are not rational
C वे दोनों वर्गमूल हैं / They both are square roots
D वे दोनों (5) के बराबर हैं / They both equal (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / They cannot be coprime
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हैं तो दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), both have (5) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। / This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
इसी से आरंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Thus the initial rational assumption becomes false.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में यदि (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो कौन सी बात टूटती है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if both (a) and (b) are found divisible by (3), which condition is broken?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A सहअभाज्य होने की शर्त / The condition of being coprime
B धनात्मक होने की शर्त / The condition of being positive
C पूर्ण वर्ग होने की शर्त / The condition of being a perfect square
D बराबर होने की शर्त / The condition of being equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सहअभाज्य होने की शर्त / The condition of being coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
(a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। / If both (a) and (b) are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
यही प्रमाण का विरोधाभास है। / This is the contradiction in the proof.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानने के बाद \(p^2=2q^2\) मिलता है, तो विरोधाभास तक पहुँचने के लिए कौन-सा क्रम सबसे तार्किक है?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=2q^2\) is obtained, which sequence is most logical to reach the contradiction?
#real-numbers
#root2
#proof-order
#contradiction
A \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम / \(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even
B (q) सम, फिर (p) विषम, फिर (p=q) / (q) even, then (p) odd, then (p=q)
C (p=q), फिर (q=0), फिर विरोधाभास / (p=q), then (q=0), then contradiction
D (p) अभाज्य, फिर (q) अभाज्य, फिर \(\sqrt{2}=2\) / (p) prime, then (q) prime, then \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम / \(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) और फिर (q) सम मिलता है। / Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\), so (q) is even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से टकराता है। / Both being even contradicts coprimality of the lowest-form fraction.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर प्रमाण में विरोधाभास नहीं मिल रहा, तो कौन-सी शर्त शायद छूट गई है?
If no contradiction appears while proving \(\sqrt{3}\) irrational by assuming it rational, which condition is probably missing?
#real-numbers
#root3
#missing-condition
#proof-writing
A भिन्न को सरलतम रूप में लेना / Taking the fraction in lowest form
B (3) को सम मानना / Treating (3) as even
C हर को शून्य रखना / Making the denominator zero
D (p) और (q) को दशमलव मानना / Treating (p) and (q) as decimals
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना / Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। / The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। / If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें। / So write the fraction in lowest form at the start.
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यदि \(2+\sqrt{7}\) परिमेय मान लिया जाए, तो कौन-सा निष्कर्ष विरोध पैदा करता है?
If \(2+\sqrt{7}\) is assumed rational, which conclusion creates a contradiction?
#contradiction proof
#irrational numbers
#class 10
A \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा / \(\sqrt{7}\) would be rational
B \(\sqrt{7}\) शून्य होगा / \(\sqrt{7}\) would be zero
C (2) अपरिमेय होगा / (2) would be irrational
D (7) ऋणात्मक होगा / (7) would be negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा / \(\sqrt{7}\) would be rational
Step 1
Concept
मान लें \(2+\sqrt{7}\) परिमेय है। / Assume \(2+\sqrt{7}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
तब (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। / Then (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) would be rational, but \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोध सिद्ध करने में ज्ञात परिमेय संख्या को घटाकर मूल को अलग करें। / In contradiction proofs, isolate the surd using rational operations.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन प्रमाण को अधूरा छोड़ देगा?
Which statement would leave the proof of \(\sqrt{2}\) incomplete?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#proof-writing
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना / From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
B (p=2k) रखकर \(q^2=2k^2\) पाना / Putting (p=2k) and getting \(q^2=2k^2\)
C (q) सम सिद्ध करना / Proving (q) even
D दोनों सम होने से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction because both are even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना / From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
(p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। / Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा। / Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध हो गया है और \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है। अब सबसे सही अगला कदम कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), (a) has been proved even and \(\frac{a}{b}\) is in lowest form. What is the most correct next step?
#sqrt2 proof
#proof order
#hard
#class 10
A (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
B यहीं विरोधाभास लिख देना / Write contradiction here itself
C (a=b) मान लेना / Assume (a=b)
D \(\sqrt{2}=2\) लिख देना / Write \(\sqrt{2}=2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। / Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। / Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले। / Contradiction occurs only when both have common factor (2).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
D \(\sqrt{3}=9\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{3}=9\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। / Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{3}\).
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण को अधूरा छोड़ देता है?
Which statement leaves the proof of \(\sqrt{5}\) incomplete?
#sqrt5 proof
#incomplete proof
#hard
#class 10
A केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (5)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction with coprime condition
D अंत में \(\sqrt{5}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{5}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) केवल मध्य चरण है। / \(p^2=5q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और अंतिम निष्कर्ष के बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / Without contradiction and final conclusion, the proof is incomplete.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिला। कौन सा निष्कर्ष प्रमाण के क्रम के अनुसार पहले आएगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest form, \(a^2=2b^2\) is obtained. Which conclusion comes first according to proof order?
#sqrt2 proof
#even square
#hard
#class 10
A \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
B (b) सम है / (b) is even
C (a=b)
D (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(a^2\) सम है / \(a^2\) is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) में दाईं ओर (2) का गुणनखंड है। / In \(a^2=2b^2\), the right side has factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(a^2\) को सम कहा जाएगा और फिर (a) सम सिद्ध होगा। / So first \(a^2\) is called even, and then (a) is proved even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में निष्कर्षों का क्रम न बदलें। / Do not change the order of conclusions in exams.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में प्रमाण की सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
D \(\sqrt{5}=25\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{5}=25\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसी (5) से (p) और (q) दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है। / This (5) becomes a common factor in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(p^2=2q^2\) मिलने के बाद कौन सा कथन सही है लेकिन अभी प्रमाण पूरा नहीं करता?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after getting \(p^2=2q^2\), which statement is correct but does not yet complete the proof?
#sqrt2 proof
#incomplete step
#hard
#class 10
A (p) सम है / (p) is even
B (p=q)
C (q=0)
D \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. (p) सम है / (p) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और फिर (p) सम सिद्ध होता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी सम दिखाना होगा। / But to complete the proof, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
तभी दोनों में साझा गुणनखंड (2) से विरोधाभास बनेगा। / Only then a contradiction arises through common factor (2).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में यदि कोई कहे कि \(p^2=2q^2\) से (p) और (q) दोनों तुरंत सम हैं, तो सही टिप्पणी क्या होगी?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if someone says that \(p^2=2q^2\) immediately makes both (p) and (q) even, what is the correct comment?
#sqrt2 proof
#proof sequence
#hard
#class 10
A यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है / This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
B यह पूरी तरह सही है / It is completely correct
C इससे (q=0) सिद्ध होता है / It proves (q=0)
D इससे (p=q) सिद्ध होता है / It proves (p=q)
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Correct Answer
A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है / This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से पहले केवल \(p^2\) सम और फिर (p) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), first only \(p^2\) and then (p) are proved even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है और तब (q) सम सिद्ध होता है। / After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained and then (q) is proved even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में क्रम छोड़ना गलती मानी जाती है। / Skipping order is considered an error in proof writing.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा चरण क्रम की दृष्टि से गलत है?
Which step is wrong in order in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#error spotting
#hard
A \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
B \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है कहना / Saying from \(p^2=5q^2\) that \(p^2\) is divisible by (5)
C (p) (5) से विभाज्य है इसलिए (p=5k) लिखना / Writing (p=5k) because (p) is divisible by (5)
D \(q^2=5k^2\) से (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying from \(q^2=5k^2\) that (q) is divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना / Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / From \(p^2=5q^2\), first \(p^2\) and then (p) are proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) रखने के बाद ही \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=5k) do we get \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सीधे (q) के बारे में निष्कर्ष लेना क्रम की गलती है। / So directly concluding about (q) is an order mistake.
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यदि \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में कोई \(p^2=2q^2\) से \(q^2\) सम लिखता है, तो यह क्यों जल्दबाजी है?
If someone writes \(q^2\) is even directly from \(p^2=2q^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\), why is this a rushed step?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
B क्योंकि \(q^2\) कभी सम नहीं हो सकता / Because \(q^2\) can never be even
C क्योंकि (q=0) होता है / Because (q=0)
D क्योंकि (2) अभाज्य नहीं है / Because (2) is not prime
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Correct Answer
A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है / First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से तुरंत \(p^2\) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we immediately get \(p^2\) even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=2k) रखकर ही \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=2k) do we get \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
क्रम छोड़ने से प्रमाण कमजोर हो जाता है। / Skipping the order makes the proof weak.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सही क्रम दिखाता है?
Which option shows the correct order in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
B पहले (q=0) मानना, फिर वर्ग करना / First assume (q=0), then square
C \(\sqrt{5}=5\) मानना, फिर निष्कर्ष लिखना / Assume \(\sqrt{5}=5\), then write conclusion
D दशमलव मान लिखकर रुक जाना / Write decimal value and stop
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Correct Answer
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है। / Then common factor (5) in both gives the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य क्यों नहीं कहा जाता?
In the proof of \(\sqrt{3}\), why is (q) not directly said to be divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#proof order
#class 10
A पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
B क्योंकि (q) कभी (3) से विभाज्य नहीं होता / Because (q) is never divisible by (3)
C क्योंकि (q=0) होता है / Because (q=0)
D क्योंकि (3) अभाज्य नहीं है / Because (3) is not prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) आता है। / After substituting (p=3k), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लिया जाता है। / Then (q) is concluded divisible by (3).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में अधूरा प्रमाण दिखाता है?
Which option shows an incomplete proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#incomplete proof
#class 10
A केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (5)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction using coprime condition
D अंत में \(\sqrt{5}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{5}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। / \(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / The proof is incomplete without contradiction and conclusion.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही क्रम कौन सा है?
What is the correct order of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof order
#class 10
A परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
B दशमलव मान लिखना, उत्तर याद करना, प्रमाण रोकना / Write decimal value, memorize answer, stop proof
C \(\sqrt{2}=2\) मानना, वर्ग करना, निष्कर्ष लिखना / Assume \(\sqrt{2}=2\), square, write conclusion
D (q=0) मानना, भिन्न बनाना, निष्कर्ष लिखना / Assume (q=0), make fraction, write conclusion
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना / Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / In contradiction, first assume \(\sqrt{2}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से समता के निष्कर्ष मिलते हैं। / Squaring gives evenness conclusions.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Finding both even contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) मिलने के बाद (q) (5) से विभाज्य कब सिद्ध होता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after \(p^2=5q^2\), when is (q) proved divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
B सीधे \(p^2=5q^2\) देखकर / Directly by looking at \(p^2=5q^2\)
C (q=0) मानने के बाद / After assuming (q=0)
D \(\sqrt{5}=5\) लिखने के बाद / After writing \(\sqrt{5}=5\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद / After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / Then (q) is concluded divisible by (5).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का सही संक्षिप्त प्रमाण विचार है?
Which option is the correct short proof idea for the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#short proof
#class 10
A परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
B क्योंकि (3) पूर्ण वर्ग है / Because (3) is a perfect square
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि हर वर्गमूल परिमेय होता है / Because every square root is rational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Assuming rational makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{3}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both numerator and denominator divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम भिन्न की शर्त से विरोधाभास है। / This contradicts the condition of a lowest-form fraction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य क्यों नहीं कह सकते?
In the proof of \(\sqrt{3}\), why can we not directly say (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#proof order
#class 10
A क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
B क्योंकि (q) कभी (3) से विभाज्य नहीं हो सकता / Because (q) can never be divisible by (3)
C क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
D क्योंकि (3) अभाज्य नहीं है / Because (3) is not prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि पहले (p) के (3) से विभाज्य होने को सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले \(p^2\) और फिर (p) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), first \(p^2\) and then (p) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद ही \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Only after substituting (p=3k) do we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
निष्कर्षों का क्रम सही रखना प्रमाण को मजबूत बनाता है। / Keeping the order correct makes the proof strong.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की सिद्धि के क्रम को सही बताता है?
Which statement gives the correct order of the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#proof order
#class 10
A मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं / Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
B मानें \(\sqrt{5}=5\), फिर (p=q) लिखें / Assume \(\sqrt{5}=5\), then write (p=q)
C पहले (q=0) मानें, फिर वर्ग करें / First assume (q=0), then square
D दशमलव मान लिखकर प्रमाण पूरा करें / Write decimal value and finish proof
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं / Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है। / Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि का सही संक्षिप्त ढांचा देता है?
Which option gives the correct short structure of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#proof structure
#class 10
A परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
B वर्ग करें, दशमलव निकालें, उत्तर याद करें / Square, find decimal, memorize answer
C पूर्ण वर्ग मानें, हर शून्य करें, निष्कर्ष लें / Assume perfect square, make denominator zero, conclude
D परिमेय मानें, (p=q) लिखें, प्रमाण पूरा करें / Assume rational, write (p=q), finish proof
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानें, वर्ग करें, दोनों सम पाएं, सहअभाज्य से विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradict coprime
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर दोनों (p) और (q) सम निकलते हैं। / Squaring leads to both (p) and (q) being even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both even contradict the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस प्रकार का परिणाम है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), both (a) and (b) are found divisible by (5). What type of result is this?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#result-type
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिभाषा / Ordinary definition
C दशमलव विस्तार / Decimal expansion
D पूर्ण वर्ग परिणाम / Perfect-square result
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / At the beginning, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है और परिमेय मान्यता गलत होती है। / Therefore this is a contradictory result, and the rational assumption is false.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो प्रमाण में अंत में कौन-सी असंभव स्थिति बनती?
If \(\sqrt{3}\) were rational, what impossible situation would appear at the end of the proof?
#real-numbers
#root3
#impossible-result
#contradiction
A सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
B हर शून्य हो जाता / The denominator would become zero
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (9) हो जाता / The square of \(\sqrt{3}\) would become (9)
D (3) सम संख्या बन जाती / (3) would become even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / In the rational assumption, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दोनों मिलते हैं। / The proof gives both \(3\mid p\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में यह असंभव है, इसलिए मान्यता गलत है। / This is impossible in lowest form, so the assumption is false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, फिर भी (p=3m) और (q=3n) मिलते हैं, तो कौन-सा निष्कर्ष सबसे सटीक है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form but (p=3m) and (q=3n) are obtained, which conclusion is most precise?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#lowest-form
A \(\frac{p}{q}\) सचमुच सरलतम है / \(\frac{p}{q}\) is truly in lowest form
B (p) और (q) दोनों (1) हैं / (p) and (q) are both (1)
C परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
D (q=0) सिद्ध हो गया / (q=0) is proved
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
Step 1
Concept
(p=3m) और (q=3n) से (3) दोनों का साझा गुणनखंड है। / (p=3m) and (q=3n) show that (3) is a common factor of both.
Step 2
Why this answer is correct
यह सरलतम रूप की शर्त के विपरीत है। / This contradicts the lowest-form condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत सिद्ध होता है। / Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is proved false.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, पर प्रमाण से (a=3m) और (b=3n) मिलता है, तो क्या निष्कर्ष होगा?
If (a) and (b) are coprime but the proof gives (a=3m) and (b=3n), what conclusion follows?
#real-numbers
#coprime
#root3
#contradiction
A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B (a) और (b) सचमुच सहअभाज्य हैं / (a) and (b) are truly coprime
C \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
D (m=n=0) है / (m=n=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। / (a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। / Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है। / This conflicts with the starting condition of coprimality.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid p\) और \(5\mid q\) मिलना किस बात का संकेत है?
If (p) and (q) are coprime, what does obtaining \(5\mid p\) and \(5\mid q\) in the proof for \(\sqrt{5}\) indicate?
#real-numbers
#root5
#coprime
#contradiction
A प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B भिन्न सरलतम रूप में है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
D (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। / \(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Therefore the rational assumption is proved false.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने के बाद (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। यह किस बात को गलत ठहराता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form, both (p) and (q) turn out even. What does this disprove?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#contradiction
A \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
B \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (2) का अभाज्य होना / (2) being prime
D \(q\neq0\) होना / \(q\neq0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है। / So the lowest-form condition fails.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाएँ, तो कौन-सा अंतिम निष्कर्ष उचित है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are proved even, which final conclusion is appropriate?
#real-numbers
#root2
#final-conclusion
#contradiction
A आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
C (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
D \(\frac{p}{q}\) शून्य है / \(\frac{p}{q}\) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। / But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है। / Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलने पर कौन-सा निष्कर्ष सही है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (a) and (b) turn out divisible by (5), what conclusion is correct?
#real-numbers
#root5
#lowest-form
#contradiction
#hard
A \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
B \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
C (a=b) है / (a=b)
D (b=0) है / (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनमें साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), they have a common factor.
Step 3
Exam Tip
इससे प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / This proves the original rational assumption false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (a=5k) रखा जाए, तो (b) के बारे में क्या सिद्ध होता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if (a=5k), what is proved about (b)?
#real-numbers
#root5
#substitution
#contradiction
#hard
A (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b) (25) से अवश्य विभाज्य है / (b) must be divisible by (25)
D (b) शून्य है / (b) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / In \(a^2=5b^2\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यही सहअभाज्यता के विरुद्ध अंतिम कदम है। / This is the final step against coprimality.
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\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद कौन-सा निष्कर्ष मिलता है?
In the proof that \(\sqrt{2}\) is irrational, what conclusion is obtained after putting (p=2k)?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#even-numbers
#hard
A \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
B \(q^2=k^2\), इसलिए (q=k) है / \(q^2=k^2\), so (q=k)
C \(p^2=q^2\), इसलिए (p=q) है / \(p^2=q^2\), so (p=q)
D (q=2p), इसलिए (q) सम है / (q=2p), so (q) is even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) और (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\) and (p=2k), we get \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम और (q) सम है। / Simplifying gives \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
यही दूसरा समपन विरोधाभास पूरा करता है। / This second evenness completes the contradiction.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों सम मिलना किस कथन को असत्य बनाता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) being even makes which statement false?
#sqrt2 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
B (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
C \(q\neq 0\)
D \(\sqrt{2}\) धनात्मक है / \(\sqrt{2}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
दोनों सम होने पर दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा। / If both are even, both have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have any common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने की बात असत्य हो जाती है। / So the statement that they are coprime becomes false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस बात के विरुद्ध है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are found divisible by (5). This is against what?
#sqrt5 contradiction
#coprime
#class 10
A उनके सहअभाज्य होने के / Their being coprime
B उनके पूर्णांक होने के / Their being integers
C उनके धनात्मक होने के / Their being positive
D उनके भिन्न में होने के / Their being in a fraction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. उनके सहअभाज्य होने के / Their being coprime
Step 1
Concept
(p) और (q) को शुरुआत में सहअभाज्य माना गया था। / At the beginning, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / So this goes against their being coprime.
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यदि \(3\mid a\) और \(3\mid b\), तो \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में मानने से कौन-सा विरोध पैदा होता है?
If \(3\mid a\) and \(3\mid b\), what contradiction arises with assuming \(\frac{a}{b}\) in lowest form?
#real-numbers
#root3
#lowest-form
#common-factor
A दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं है / Both have no common factor
C दोनों शून्य हैं / Both are zero
D दोनों पूर्ण वर्ग हैं / Both are perfect squares
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। / \(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है। / This is not possible in lowest form.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो कौन सा परिणाम तुरंत विरोधाभास देगा?
If (a) and (b) are coprime, which result will immediately give a contradiction?
#coprime
#common factor
#hard
#class 10
A (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / Both (a) and (b) are integers
B (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
C \(b\neq 0\)
D (a) धनात्मक है / (a) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), then (3) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास देता है। / So it contradicts their being coprime.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं और \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए, तो प्रमाण में कौन-सा विरोध मिलेगा?
If (p) and (q) are coprime positive integers and \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed, what contradiction appears in the proof?
#irrational proof
#square root of 3
#coprime
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (3)
B (p) और (q) दोनों विषम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out odd
C (p) और (q) दोनों शून्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out zero
D (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और फिर (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे। / This makes both (p) and (q) divisible by (3), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रमाण में समान गुणनखंड मिलना ही विरोध बनाता है। / In such proofs, finding a common factor creates the contradiction.
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यदि \(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाए, जहाँ (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में अंततः क्या विरोध मिलता है?
If \(\sqrt{2}\) is written as \(\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, what contradiction appears in the proof?
#sqrt 2 proof
#coprime
#irrationality
#class 10
A (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out even
B (p) और (q) दोनों विषम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out odd
C (p) और (q) दोनों शून्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out zero
D (p) और (q) दोनों अभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out even
Step 1
Concept
सहअभाज्य मानने का अर्थ है कि (p) और (q) में (1) के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं है। / Coprime means (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, यानी उनमें (2) समान गुणनखंड है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) turn out even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही विरोध सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है। / This contradiction proves that \(\sqrt{2}\) is not rational.
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ज्ञानोदय विचारों की क्रांतिकारी शक्ति किस विरोधाभास में दिखती है?
In which contradiction is the revolutionary power of Enlightenment ideas visible?
#world history
#revolutions
#enlightenment
#rights contradiction
A वे अधिकारों की सार्वभौमिक भाषा देते थे पर समाजों में असमानताएं बनी थीं / They gave universal language of rights but inequalities remained in societies
B वे केवल राजाओं की पूजा करते थे / They only worshipped kings
C वे कोई राजनीतिक अर्थ नहीं रखते थे / They had no political meaning
D वे दासता को प्राकृतिक सिद्ध करते थे हमेशा / They always proved slavery natural
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे अधिकारों की सार्वभौमिक भाषा देते थे पर समाजों में असमानताएं बनी थीं / They gave universal language of rights but inequalities remained in societies
Explanation
Simple Explanation
ज्ञानोदय ने अधिकारों की भाषा दी जिसे अलग समूहों ने अपने संघर्षों में अपनाया। परीक्षा में सार्वभौमिक आदर्श और वास्तविक सीमा लिखें। / The Enlightenment gave a language of rights that different groups adopted in struggles. For exams write universal ideals and real limits.
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नेपोलियन के सुधारों और फ्रांसीसी क्रांति के आदर्शों के बीच मुख्य विरोधाभास क्या था?
What was the main contradiction between Napoleon's reforms and the ideals of the French Revolution?
#napoleon
#liberty
#equality
#empire
#contradiction
A स्वतंत्रता और समानता के साथ राजनीतिक नियंत्रण और विस्तारवाद भी आया / Liberty and equality came with political control and expansionism
B क्रांति ने कभी समानता की बात नहीं की / The Revolution never spoke of equality
C नेपोलियन ने कोई प्रशासनिक सुधार नहीं किया / Napoleon made no administrative reforms
D क्रांति ने राष्ट्र की धारणा को अस्वीकार किया / The Revolution rejected the idea of the nation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्वतंत्रता और समानता के साथ राजनीतिक नियंत्रण और विस्तारवाद भी आया / Liberty and equality came with political control and expansionism
Step 1
Concept
क्रांति ने स्वतंत्रता और समानता का संदेश दिया। / The Revolution gave the message of liberty and equality.
Step 2
Why this answer is correct
नेपोलियन ने सुधारों के साथ विजय कर और नियंत्रण भी बढ़ाए। / Napoleon combined reforms with conquest taxes and control.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में इस विरोधाभास को संतुलित ढंग से लिखें। / In exams, explain this contradiction in a balanced way.
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नेपोलियन संहिता को फ्रांसीसी क्रांति की विरासत और विरोधाभास दोनों क्यों कहा जा सकता है?
Why can the Napoleonic Code be called both a legacy and a contradiction of the French Revolution?
#napoleonic code
#legacy
#contradiction
#legal equality
A क्योंकि उसने समान कानून फैलाए लेकिन फ्रांसीसी प्रभुत्व भी बढ़ाया / Because it spread uniform laws but also increased French domination
B क्योंकि उसने कोई प्रशासनिक सुधार नहीं किया / Because it made no administrative reform
C क्योंकि उसने केवल सामंती अधिकारों को वापस लाया / Because it only restored feudal rights
D क्योंकि उसका यूरोप से कोई संबंध नहीं था / Because it had no relation with Europe
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि उसने समान कानून फैलाए लेकिन फ्रांसीसी प्रभुत्व भी बढ़ाया / Because it spread uniform laws but also increased French domination
Step 1
Concept
संहिता ने कानून की समानता और प्रशासनिक सुधारों को फैलाया। / The Code spread legal equality and administrative reforms.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन यह कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी नियंत्रण के साथ आई। / But it came with French control in many regions.
Step 3
Exam Tip
उत्तर में सुधार और प्रभुत्व दोनों पक्ष दिखाने चाहिए। / A good answer should show both reform and domination.
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फ्रांसीसी क्रांति के विचारों ने जीते गए क्षेत्रों में विरोधाभास क्यों पैदा किया?
Why did French revolutionary ideas create a contradiction in conquered territories?
#conquered territories
#contradiction
#liberty
A स्वतंत्रता के नाम पर कभी बाहरी नियंत्रण भी लगाया गया / External control was sometimes imposed in the name of liberty
B क्योंकि सभी क्षेत्रों को पूर्ण स्वतंत्रता मिली / Because all regions got complete freedom
C क्योंकि राजाओं ने जनता को सत्ता दे दी / Because kings gave power to people
D क्योंकि सामंती व्यवस्था खत्म नहीं हुई / Because feudal order did not end anywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्वतंत्रता के नाम पर कभी बाहरी नियंत्रण भी लगाया गया / External control was sometimes imposed in the name of liberty
Step 1
Concept
फ्रांसीसी विचार स्वतंत्रता की बात करते थे। / French ideas spoke of liberty.
Step 2
Why this answer is correct
पर कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी शासन बाहरी नियंत्रण जैसा लगा। / But in many territories French rule appeared as external control.
Step 3
Exam Tip
इसलिए राष्ट्रवाद में मुक्ति और प्रभुत्व का विरोधाभास समझना जरूरी है। / So it is important to understand the contradiction between liberation and domination.
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फ्रैंकफर्ट संसद में महिलाओं को दर्शक दीर्घा में बैठाना किस गहरे विरोधाभास को दिखाता है?
What deeper contradiction is shown by seating women in the visitors' gallery of the Frankfurt Parliament?
#women
#frankfurt-parliament
#contradiction
A स्वतंत्रता की बात करने वाली राजनीति भी महिलाओं को बराबर स्थान नहीं दे रही थी / Politics speaking of liberty still did not give women equal place
B महिलाएँ संसद की अध्यक्ष थीं / Women were presidents of the parliament
C संसद ने महिलाओं को अधिकतम अधिकार दिए / The parliament gave women maximum rights
D महिलाएँ राष्ट्रवादी गतिविधियों से दूर रहीं / Women stayed away from nationalist activities
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्वतंत्रता की बात करने वाली राजनीति भी महिलाओं को बराबर स्थान नहीं दे रही थी / Politics speaking of liberty still did not give women equal place
Step 1
Concept
संसद उदार और राष्ट्रीय विचारों का प्रतीक थी। / The parliament symbolized liberal and national ideas.
Step 2
Why this answer is correct
फिर भी महिलाओं को प्रतिनिधि बनने का समान अधिकार नहीं दिया गया। / Yet women were not given equal right to be representatives.
Step 3
Exam Tip
इसे उदार राष्ट्रवाद की सामाजिक सीमा के रूप में याद रखें। / Remember it as a social limitation of liberal nationalism.
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जुलाई राजतंत्र की स्थापना में कौन सा अंतर्विरोध दिखाई देता है?
Which contradiction is visible in the establishment of the July Monarchy?
#july-monarchy
#louis-philippe
#contradiction
A क्रांति हुई पर शासन फिर भी राजतंत्र के रूप में रहा / A revolution happened but rule still remained monarchical
B राजा हटे और तुरंत पूर्ण गणतंत्र बना / Kings were removed and a complete republic immediately formed
C जनता ने किसी राजनीतिक बदलाव की मांग नहीं की / People did not demand any political change
D यूरोप में राष्ट्रवाद पूरी तरह समाप्त हो गया / Nationalism completely ended in Europe
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Correct Answer
A. क्रांति हुई पर शासन फिर भी राजतंत्र के रूप में रहा / A revolution happened but rule still remained monarchical
Step 1
Concept
जुलाई क्रांति ने चार्ल्स दसवें को हटाया। / The July Revolution removed Charles X.
Step 2
Why this answer is correct
पर उसके बाद लुई फिलिप के अधीन राजतंत्र ही रहा। / Yet rule continued as monarchy under Louis Philippe.
Step 3
Exam Tip
यह दिखाता है कि उदार बदलाव हमेशा पूर्ण लोकतंत्र नहीं लाते। / This shows that liberal change did not always create full democracy.
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संपत्ति आधारित मताधिकार उदारवाद की किस अंदरूनी विरोधाभास को दिखाता है?
Property-based suffrage shows which internal contradiction of liberalism?
#property suffrage
#liberalism
#contradiction
A समानता की भाषा और सीमित राजनीतिक अधिकारों का विरोधाभास / The contradiction between language of equality and limited political rights
B निरंकुश शासन और जन्म आधारित अधिकारों का मेल / The union of autocracy and birth-based rights
C मुक्त व्यापार और शुल्क बाधाओं की समानता / The equality between free trade and customs barriers
D कृषि और उद्योग का पूर्ण अभाव / Complete absence of agriculture and industry
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Correct Answer
A. समानता की भाषा और सीमित राजनीतिक अधिकारों का विरोधाभास / The contradiction between language of equality and limited political rights
Step 1
Concept
उदारवाद समान अधिकारों की बात करता था। / Liberalism spoke of equal rights.
Step 2
Why this answer is correct
संपत्ति आधारित मताधिकार ने गरीबों और महिलाओं को बाहर रखा। / Property-based suffrage excluded the poor and women.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विचार और व्यवहार में विरोधाभास था। / Thus there was a contradiction between idea and practice.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा कथन अनावश्यक है?
Which statement is unnecessary in the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#unnecessary-step
#proof-writing
A \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=3q^2\) बनाना / Forming \(p^2=3q^2\)
D \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दिखाना / Showing \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। / A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। / The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें। / Avoid unnecessary decimals in exams.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(5\mid b^2\), तो \(5\mid b\) लिखते समय कौन-सी बात जरूर जोड़नी चाहिए?
In the proof for \(\sqrt{5}\), while writing \(5\mid b\) from \(5\mid b^2\), what must be added?
#real-numbers
#root5
#prime-condition
#proof-detail
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (b=5) है / (b=5)
C (b=0) है / (b=0)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) निकालने में अभाज्य गुणनखंड का नियम लगता है। / The step from \(5\mid b^2\) to \(5\mid b\) uses the prime-factor rule.
Step 2
Why this answer is correct
यह नियम इसलिए लागू है क्योंकि (5) अभाज्य है। / This rule applies because (5) is prime.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में यह कारण लिखने से प्रमाण पूर्ण दिखता है। / Mentioning this reason makes the proof complete in exams.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष सबसे अंत में लिखना चाहिए?
Which conclusion should be written at the very end of the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#final-conclusion
#proof-writing
A \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
B (2) अपरिमेय है / (2) is irrational
C (p=q) है / (p=q)
D अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
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Correct Answer
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। / The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। / The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational.
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