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\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। इसलिए सही सरल रूप \(5\sqrt{2}\) है। सबसे निकट भ्रमित करने वाला विकल्प \(2\sqrt{5}\) गलत है क्योंकि \(2\sqrt{5}=\sqrt{4\times5}=\sqrt{20}\), जो \(\sqrt{50}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-सुझाव: जड़ के अंदर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग पहचानें (यहाँ 25) और उसे बाहर निकालकर गुणा करें। / \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Thus the correct simplified form is \(5\sqrt{2}\). The closest distractor \(2\sqrt{5}\) is incorrect because \(2\sqrt{5}=\sqrt{4\times5}=\sqrt{20}\), not \(\sqrt{50}\). Exam tip: always factor out the largest perfect square from under the radical (here 25) to simplify quickly.
परिमेय (7) से अपरिमेय \(\sqrt{2}\) घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। संकेत बदलने से गुण नहीं बदलता। / Subtracting irrational \(\sqrt{2}\) from rational (7) gives an irrational number. Changing the sign does not change this property.
A. प्रत्येक अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है/Every irrational number is real
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं। लेकिन सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय नहीं होतीं। / Irrational numbers are a part of real numbers. But all real numbers are not irrational.
किसी भी आवर्ती दशमलव को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए वह परिमेय होता है। उदाहरण: यदि \(x=0.\overline{3}\) तो \(10x-x=3\) से \(x=3/9=1/3\) मिलता है। आम भ्रम यह है कि "अनंत" देखकर संख्या अपरिमेय मान ली जाएँ—परंतु अपरिमेय संख्याओं की दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्ती (non-repeating) होता है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि दशमलव विस्तार केवल वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित संदर्भ देता है; विकल्प D (केवल पूर्णांक) भी गलत है क्योंकि पूर्णांक का दशमलव विस्तार समाप्त होता (जैसे 5 = 5.000...) या विशेष रूप से पूर्णांक होता। परीक्षा-सूत्र: अगर दशमलव में एक निश्चित पैटर्न आवर्ती है तो तुरंत परिमेय समझें — आप उसे बीजगणितीय तरीके से भिन्न में बदलकर जाँच सकते हैं। / Any repeating (periodic) decimal represents a ratio of two integers, so it is rational. For example, if \(x=0.\overline{3}\) then \(10x-x=3\) which gives \(x=3/9=1/3\). A common mistake is to call every non-terminating decimal irrational; however irrationals are non-terminating and non-repeating. Option C (non-real) is incorrect because decimal expansions describe real numbers; option D (integer only) is wrong because integers have terminating decimal forms (e.g. 5 = 5.000...). Exam tip: spot the repeating block—if present, convert by the usual algebraic shift-and-subtract method to get a fraction.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt{9}\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}\) इसलिए सही उत्तर \(3\sqrt{3}\) है। विकल्प \(\sqrt{9}\) केवल 3 है (\(\sqrt{9}=3\)) और \(9\sqrt{3}\), \(2\sqrt{3}\) में गुणांक सही नहीं हैं — वे या तो बहुत बड़े हैं या गलत। परीक्षात्मक टिप: किसी भी वर्गमूल को सरल करने के लिए अन्दर के भाग को सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड में बाँटें और उसे वर्गमूल से बाहर निकालें। / Since \(27=9\times3\), \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). Thus \(3\sqrt{3}\) is correct. \(\sqrt{9}\) equals 3, not \(3\sqrt{3}\); \(9\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\) have incorrect coefficients. Exam tip: Factor the radicand into the largest perfect square times the remainder, then take the square root of the perfect square outside the radical.
4.125 कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है। इसे भिन्न के रूप में लिखें: 4.125 = 4125/1000 = 33/8, जिसका हरिका (denominator) 8 = 23 है — केवल 2 के गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होते हैं। विकल्प B (0.666...) हमेशा दोहराव वाला (repeating) है और समाप्त नहीं होता (0.666... = 2/3)। विकल्प C (�\(\pi\)\u0000) अवर्गीक (irrational) है और न तो समाप्त होता है न ही आवर्ती रूप रखता है। विकल्प D अनियमित रूप से बढ़ते शून्य/एक पैटर्न के साथ अनंत-दशमलव है और समाप्त नहीं होता। परीक्षा सुझाव: किसी दशमलव के समाप्त होने के लिए उसके भिन्न के सरलतम रूप में हरिका में केवल 2 और/या 5 ही होने चाहिए। / 4.125 terminates after a finite number of decimal digits. As a fraction: 4.125 = 4125/1000 = 33/8, and 8 = 23 has only 2 as prime factors, so the decimal terminates. Option B (0.666...) is repeating (0.6 = 2/3) and thus non-terminating repeating. Option C (\(\pi\)) is irrational and non-terminating non-repeating. Option D is a non-terminating, non-repeating decimal pattern, so it does not terminate. Exam tip: a decimal terminates iff, in its simplest fractional form, the denominator has no prime factors other than 2 and/or 5.
\(\sqrt{6}\) अपरिमेय है इसलिए इसे \(\frac{p}{q}\) रूप में नहीं लिख सकते। बाकी संख्याएँ परिमेय हैं। / \(\sqrt{6}\) is irrational so it cannot be written as \(\frac{p}{q}\). The other numbers are rational.
(\(\sqrt{3}\)2=3) है जो परिमेय है। अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / (\(\sqrt{3}\)2=3) which is rational. The square of an irrational number can sometimes be rational.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\,\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) इसलिए विकल्प A सही है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (\(\sqrt{8}=\sqrt{2}\)) गलत है क्योंकि \(8\neq2\)। विकल्प B और D परोक्ष रूप से बहुत बड़े मान दे देते हैं क्योंकि वहाँ पर बाहरी गुणक 4 या 8 अनावश्यक हैं। परीक्षा-सुझाव: लघुत्तम कार्य — किसी भी वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग (perfect square) निकालकर बाहर लाएँ। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\,\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), so option A is correct. The nearest distractor C (\(\sqrt{8}=\sqrt{2}\)) is wrong because 8 is not equal to 2. Options B and D give unnecessarily larger coefficients (4 or 8) and are therefore incorrect. Exam tip: factor out perfect square factors from under the radical to simplify quickly.
\(\frac{9}{3}=3\) है। 3 एक गिनती (प्राकृतिक) संख्या है और इसे \(\frac{3}{1}\) के रूप में परिमेय रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह दोनों है। विकल्प C (\(-\frac{5}{2}\)) परिमेय जरूर है पर नकारात्मक है, इसलिए प्राकृतिक नहीं है। विकल्प B (\(\sqrt{10}\)) और D (\(\pi\)) अपरिमेय (irrational) हैं और परिमेय नहीं हैं। परीक्षा युक्ति: प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक हैं (1,2,3,...) और परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) \(p,q पूर्णांक, q\neq0\) के रूप में लिखा जा सके। / \(\frac{9}{3}=3\). The number 3 is a counting (natural) number and can be written as \(\frac{3}{1}\), so it is rational as well. Option C (\(-\frac{5}{2}\)) is rational but negative, so not a natural number. Options B (\(\sqrt{10}\)) and D (\(\pi\)) are irrational and not rational. Exam tip: natural numbers are positive integers (1,2,3,...) and a rational number can be expressed as \(\frac{p}{q}\) with integers p,q and \(q\neq0\).
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
(\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नियम नहीं है। / (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) is rational but \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational. So there is no fixed always rule.
\(\sqrt{2}\) को गैर शून्य परिमेय (2) से भाग देने पर संख्या अपरिमेय रहती है। ऐसी अभिव्यक्तियों में जड़ की प्रकृति देखें। / Dividing \(\sqrt{2}\) by non zero rational (2) keeps it irrational. Check the nature of the root in such expressions.
गैर शून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय होता है। यहाँ \(3\neq0\) है। / Multiplying an irrational by a non zero rational gives an irrational result. Here \(3\neq0\).
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)। इसलिए सरल रूप \(2\sqrt{3}\) है। विकल्प B (\(3\sqrt{2}\)) गलत है क्योंकि वह \(\sqrt{18}\) के बराबर है, न कि \(\sqrt{12}\)। परीक्षा टिप: किसी भी समीकण के अंदर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजें (यहाँ 4) और उसे बाहिर निकालें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}\). So the simplified form is \(2\sqrt{3}\). Option B (\(3\sqrt{2}\)) is incorrect because it equals \(\sqrt{18}\), not \(\sqrt{12}\). Exam tip: always factor the radicand and pull out the largest perfect square (here 4) to simplify quickly.
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Explanation
Simple Explanation
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है। / Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
2.454545... में ‘45’ का समूह बार‑बार आवर्ती है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है और परिमेय होता है। गणितीय रूप में 0.454545... = 45/99 = 5/11 और इसलिए 2.454545... = 2 + 5/11 = \(\frac{27}{11}\)। विकल्प B में समूहों की लंबाई बदलती है इसलिए यह गैर‑आवर्ती है; विकल्प C (π के दशमलव) और विकल्प D (1,2,3,... को जोड़कर बना दशमलव) भी गैर‑आवर्ती होते हैं। परीक्षा सुझाव: आवर्ती या समाप्त होने वाला दशमलव हमेशा परिमेय होता है — आवर्ती भाग को भिन्न में बदलकर जाँचें। / 2.454545... has the block “45” repeating, so it is a repeating (periodic) decimal and therefore rational. In fact 0.454545... = 45/99 = 5/11, so 2.454545... = 2 + 5/11 = \(\frac{27}{11}\). Option B (1.010010001...) has increasing block lengths and is non‑repeating; option C (3.14159265...) represents the non‑repeating decimal expansion of π; option D (0.1234567891011...) is the concatenation of natural numbers — both C and D are non‑repeating (irrational). Exam tip: terminating or repeating decimals are rational — convert a repeating part to a fraction to verify.
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). इसलिए सही सरल रूप \(3\sqrt{2}\) है। विकल्प B (\(2\sqrt{3}\)) गलत है क्योंकि वह \(\sqrt{12}\) के बराबर है, न कि \(\sqrt{18}\)। परीक्षा युक्ति: किसी संख्या के वर्गमूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग (यहाँ 9) को बाहर निकालें। / \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Hence the simplified form is \(3\sqrt{2}\). Option B (\(2\sqrt{3}\)) is incorrect because it equals \(\sqrt{12}\), not \(\sqrt{18}\). Exam tip: when simplifying square roots, factor out the largest perfect square and take its root outside the radical.
दो समान अपरिमेय पदों को जोड़ते समय उनके गुणांक जोड़े जाते हैं: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=1\cdot\sqrt{2}+1\cdot\sqrt{2}=(1+1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)। विकल्प B (\(\sqrt{4}\)) का मान 2 है, जो \(2\sqrt{2}\) से अलग है; विकल्प C केवल एक पद है और विकल्प D चार गुना अधिक है। परीक्षा टिप: समान पदों को जोड़ते समय केवल उनके संख्यात्मक गुणांक जोड़ें और मूल को नहीं बदलें। / Add like surd terms by summing their coefficients: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=1\cdot\sqrt{2}+1\cdot\sqrt{2}=(1+1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). Option B (\(\sqrt{4}\)) equals 2, which is not equal to \(2\sqrt{2}\); option C is just one copy of \(\sqrt{2}\), and option D is four times larger. Exam tip: when adding surds with the same radicand, add the numerical coefficients and keep the common root unchanged.
परिमेय (2) में अपरिमेय \(\sqrt{3}\) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। परीक्षा में ऐसे योग को परिमेय न मानें। / Adding irrational \(\sqrt{3}\) to rational (2) gives an irrational number. Do not treat such sums as rational.
\(\pi\) का दशमलव विस्तार अनंत और अनावर्ती (non‑repeating) है, इसलिए इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता — यही अपरिमेयता की परिभाषा है। विशेष रूप से \(\pi\) transcendental भी है (किसी भी गैर‑शून्य बहुपद का मूल नहीं)। विकल्प D (समाप्त दशमलव) गलत है क्योंकि समाप्त दशमलव का दशमलव विस्तार सीमित अंक वाला होता है (उदा. 0.5, 2.75), पर \(\pi\) का नहीं। विकल्प B और C भी गलत हैं क्योंकि पूर्णांक/पूर्ण संख्याएँ सीमित, आवर्ती/अनावर्ती न होकर निश्चित मानों को दर्शाती हैं और \(\pi\) उन श्रेणियों में नहीं आता। परीक्षा‑टिप: किसी संख्या को अपरिमेय साबित करने के लिए उसकी दशमलव विस्तार का 'अनंत और अनावर्ती' होना याद रखें। / The decimal expansion of \(\pi\) is non‑terminating and non‑repeating, so it cannot be expressed as a ratio of two integers — this is the definition of an irrational number. Moreover, \(\pi\) is known to be transcendental (not a root of any nonzero polynomial with integer coefficients). Option D (terminating decimal) is incorrect because terminating decimals have a finite number of decimal places (e.g. 0.5, 2.75), whereas \(\pi\) does not. Options B and C are wrong because integers and whole numbers are finite, discrete values and do not describe \(\pi\). Exam tip: check the decimal expansion properties — non‑terminating and non‑repeating implies irrational.
A. अनंत और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को किसी दो पूर्णांकों के भाग के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए उसका दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है और न ही किसी निश्चित पैटर्न में आवर्ती होता है। उदाहरण के लिए √2 = 1.41421356… और π = 3.14159265… — दोनों अनंत और अनावर्ती हैं। विकल्प C (अनंत और आवर्ती) वे दशमलव दिखाते हैं जो राशनल संख्याओं के लिए होते हैं, जैसे 1/3 = 0.333…; इसलिए C गलत है। परीक्षा युक्ति: किसी संख्या को अपरिमेय साबित करने के लिए उसके दशमलव में समाप्ति या आवृति न होने का निरीक्षण करें — यदि समाप्त या आवर्ती हो तो संख्या परिमेय होती है। / An irrational number cannot be expressed as a ratio of two integers, so its decimal expansion neither terminates nor becomes periodic. Examples: √2 = 1.41421356… and π = 3.14159265… are non-terminating and non-repeating. Option C (non-terminating and repeating) describes typical rational decimals such as 1/3 = 0.333…, so C is incorrect. Exam tip: Check the decimal expansion — if it terminates or eventually repeats the number is rational; if it is non-terminating and non-repeating, it is irrational.
\(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग न होने वाली जड़ पहचानें। / \(\sqrt{2}\) cannot be written as \(\frac{p}{q}\). In exams identify roots of non perfect squares.
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। / The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। / For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता। / Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root.
A. क्या वह पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में बदल रही है/Whether it becomes the square root of a perfect square
Step 1
Concept
वर्गमूल वाले प्रश्नों में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In square-root questions first check whether the number inside is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण वर्ग हो तो वर्गमूल परिमेय हो सकता है और पूर्ण वर्ग न हो तो अक्सर अपरिमेय होता है। / A perfect square may give a rational square root while a non-perfect square often gives an irrational value.
Step 3
Exam Tip
पहचान वाले प्रश्नों में सरल करना सबसे सुरक्षित शुरुआत है। / Simplifying is the safest first step in identification questions.
\(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)। तुलना में \(4\sqrt{2}\) लगभग (5.66) और दूसरा लगभग (6.29) लगता है लेकिन शुद्ध तुलना में \(2\sqrt{2}\) और \(2\sqrt{3}\) के कारण दूसरा बड़ा है। / \(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\). Since \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\), the second expression is greater.
Step 3
Exam Tip
अनुमान और सरल रूप दोनों जांचें। / Simplify first and compare carefully.
