Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहां (D=22-4(1)(-2)=12), इसलिए \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\) है। परीक्षा में \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) सरल करें। / Here (D=22-4(1)(-2)=12), so \(x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}\). In exams, simplify \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
(D=(-10)2-4(1)(21)=16), इसलिए \(x=\frac{10\pm4}{2}\) से (3) और (7) मिलते हैं। परीक्षा में सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-10)2-4(1)(21)=16), so \(x=\frac{10\pm4}{2}\) gives (3) and (7). In exams, keep the sign of (b) correct in the formula.
सूत्र से \(x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\) मिलता है। परीक्षा में \(\sqrt{60}=2\sqrt{15}\) सरल करें। / The formula gives \(x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\). In exams, simplify \(\sqrt{60}=2\sqrt{15}\).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0 \) से (a=3,b=-6,c=-2 ) मिलते हैं। इसलिए (D=b-2-4ac=(-6)2-4(3)(-2)=36+24=60 )। ध्यान रखें कि (c ) ऋणात्मक होने पर (-4ac ) का मान धनात्मक हो जाता है; इसी कारण 36 में 24 जोड़ा जाता है। / Comparing the equation with \(ax^2+bx+c=0 \), we get (a=3,b=-6,c=-2 ). Thus, (D=b-2-4ac=(-6)2-4(3)(-2)=36+24=60 ). Since (c ) is negative, the term (-4ac ) becomes positive, so 24 must be added to 36 rather than subtracted. Exam tip: identify (a,b,c ) with their signs before applying the formula.
यहां (D=(-8)2-4(1)(12)=16), इसलिए \(x=\frac{8\pm4}{2}\) मिलता है। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / Here (D=(-8)2-4(1)(12)=16), so \(x=\frac{8\pm4}{2}\). In exams, keep the sign of (-b) correct.
यहां (D=1-4(1)(-1)=5), इसलिए \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\) है। परीक्षा में (c=-1) का संकेत सही रखें। / Here (D=1-4(1)(-1)=5), so \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\). In exams, keep the sign of (c=-1) correct.
\(x^2+x-1=0\) के सरल पूर्णांक गुणनखंड नहीं मिलते, इसलिए सूत्र विधि आसान है। परीक्षा में ऐसे मामलों में द्विघात सूत्र सुरक्षित रहता है। / \(x^2+x-1=0\) has no simple integer factors, so the formula method is easier. In exams, the quadratic formula is safe in such cases.
(D=(-6)2-4(1)(8)=4), इसलिए \(x=\frac{6\pm2}{2}\) से (2) और (4) मिलते हैं। परीक्षा में (-b) का चिन्ह सही रखें। / (D=(-6)2-4(1)(8)=4), so \(x=\frac{6\pm2}{2}\) gives (2) and (4). In exams, keep the sign of (-b) correct.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=4\), \(b=-8\) और \(c=-1\), इसलिए \(D=(-8)^2-4(4)(-1)=64+16=80\)। विकल्प 48 में \(-4ac\) के स्थान पर गलत रूप से \(+4ac\) का प्रभाव लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: जब \(c\) ऋणात्मक हो, तो \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=4\), \(b=-8\), and \(c=-1\), so \(D=(-8)^2-4(4)(-1)=64+16=80\). The value 48 results from incorrectly treating the contribution of \(-4ac\) as negative. Exam tip: when \(c\) is negative, \(-4ac\) contributes a positive value.
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{40}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में अंतिम रूप को सरल करें। / The formula gives \(x=\frac{4\pm\sqrt{40}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\). In exams, simplify the final form.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=2\), \(b=-4\) और \(c=-3\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(-3)=16+24=40\)। ऋणात्मक \(c\) के कारण \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सही पहचानें; केवल \(b^2=16\) लेना गलत है। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=2\), \(b=-4\), and \(c=-3\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(-3)=16+24=40\). Since \(c\) is negative, the term \(-4ac\) becomes positive. Exam tip: identify the signs of \(a\), \(b\), and \(c\) before substituting; taking only \(b^2=16\) is incorrect.
यहां (D=(-4)2-4(1)(-5)=36), इसलिए \(x=\frac{4\pm6}{2}\) मिलता है। परीक्षा में सूत्र लगाते समय (c) का ऋण चिन्ह न भूलें। / Here (D=(-4)2-4(1)(-5)=36), so \(x=\frac{4\pm6}{2}\). In exams, do not forget the negative sign of (c) while using the formula.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विवेचक D = b² − 4ac होता है। विकल्प A में a = 1, b = 1 और c = 9 हैं, इसलिए D = 1² − 4 × 1 × 9 = 1 − 36 = −35। विकल्प C का विवेचक 2² − 4 × 3 × 3 = −32 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विवेचक निकालते समय b² में b का चिह्न पहले हट जाता है, लेकिन 4ac का पूरा मान घटाना होता है। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. In option A, a = 1, b = 1, and c = 9, so D = 1² − 4 × 1 × 9 = 1 − 36 = −35. For example, option C gives 2² − 4 × 3 × 3 = −32, so it is not correct. Exam tip: the sign of b disappears when calculating b², but the complete value of 4ac must be subtracted.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=36\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(36)=4m^2-144\)। अतः \(4m^2-144=0\), जिससे \(m^2=36\) और \(m=\pm6\) प्राप्त होता है। केवल \(m=6\) या केवल \(m=-6\) लिखना अधूरा है। परीक्षा-सुझाव: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=36\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(36)=4m^2-144\). Setting \(D=0\) gives \(4m^2-144=0\), hence \(m^2=36\) and \(m=\pm6\). Choosing only \(m=6\) or only \(m=-6\) omits one valid possibility. Exam tip: whenever the roots are equal, set the discriminant equal to zero.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=16\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\)। अतः \(4k^2-64=0\), जिससे \(k^2=16\) और \(k=\pm4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; केवल \(k=4\) या केवल \(k=-4\) लेना अधूरा उत्तर होगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरणों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=16\), so \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\). Thus, \(4k^2-64=0\), giving \(k^2=16\) and hence \(k=\pm4\). Therefore, option A is correct; choosing only \(k=4\) or only \(k=-4\) gives an incomplete answer. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, immediately use \(D=0\).
विविक्तकर (100-76=24) है, इसलिए शून्यक \(\frac{10\pm\sqrt{24}}{2}=5\pm\sqrt{6}\) हैं। परीक्षा में \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) सरल करें। / The discriminant is (100-76=24), so the zeroes are \(\frac{10\pm\sqrt{24}}{2}=5\pm\sqrt{6}\). Simplify \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) in exams.
A. \(-\sqrt{7}+1\) और \(-\sqrt{7}-1\)/\(-\sqrt{7}+1\) and \(-\sqrt{7}-1\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से \(x=\frac{-2\sqrt{7}\pm2}{2}=-\sqrt{7}\pm1\)। पहले विविक्तकर सरल करने से उत्तर साफ मिलता है। / Using the formula, \(x=\frac{-2\sqrt{7}\pm2}{2}=-\sqrt{7}\pm1\). Simplifying the discriminant first gives a clean answer.
A. \(-2+\sqrt{2}\) और \(-2-\sqrt{2}\)/\(-2+\sqrt{2}\) and \(-2-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से \(x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}\)। ऋण चिह्न और हर (2) दोनों पर ध्यान दें। / By the formula, \(x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}\). Pay attention to the negative sign and denominator (2).
सूत्र से \(x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12+4}}{2}=\sqrt{3}\pm2\)। \(\sqrt{16}=4\) को ध्यान से सरल करें। / Using the formula, \(x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12+4}}{2}=\sqrt{3}\pm2\). Simplify \(\sqrt{16}=4\) carefully.
सूत्र से \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\) है। हर से भाग देते समय पूरे अंश को बाँटें। / By the formula, \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). Divide the whole numerator by the denominator carefully.
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\) है। (D) को सरल करने में \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) याद रखें। / By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{2}=2\pm\sqrt{10}\). Remember \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) while simplifying (D).
सूत्र से \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\) है। हर को सरल करते समय पूरा पद विभाजित करें। / By the formula, \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\). Divide the whole expression carefully while simplifying.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1,\ b=2,\ c=-1\)। द्विघात सूत्र अनुसार \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) । यहाँ \(b^2-4ac=4-4(1)(-1)=4+4=8\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। अतः \(x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\)। इसीलिए सही शून्यक \(-1+\sqrt{2}\) और \(-1-\sqrt{2}\) हैं। नजदीकी विकल्प \(1\pm\sqrt{2}\) गलत है क्योंकि संकेत का चूक (ब की सही बहुलता से नकारात्मक भाग) है; \(\sqrt{3}\) वाला विकल्प भी गलत है क्योंकि विचलन (discriminant) \(8\) से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पहले डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) की गणना कर के उसे सरल करें (जैसे \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) इससे चिह्नों और भाग करने में त्रुटि कम होगी। / For the quadratic, \(a=1,\ b=2,\ c=-1\). Using the quadratic formula \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Here \(b^2-4ac=4-4(1)(-1)=8\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Thus \(x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\). Therefore the zeroes are \(-1+\sqrt{2}\) and \(-1-\sqrt{2}\). The closest distractor \(1\pm\sqrt{2}\) is wrong due to an incorrect sign (the numerator should be \(-2\pm2\sqrt{2}\), not \(+2\pm2\sqrt{2}\)); the option with \(\sqrt{3}\) is wrong because the discriminant is not 3. Exam tip: compute and simplify the discriminant first (e.g. \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) to avoid sign and simplification mistakes.
A. \(4+\sqrt{6}\) और \(4-\sqrt{6}\)/\(4+\sqrt{6}\) and \(4-\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र से शून्यक \(\frac{8\pm\sqrt{64-40}}{2}=4\pm\sqrt{6}\) हैं। पहले विविक्तकर सरल करें। / By the formula, the zeroes are \(\frac{8\pm\sqrt{64-40}}{2}=4\pm\sqrt{6}\). Simplify the discriminant first.
