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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

यदि \(a\) एक वास्तविक संख्या है, तो समीकरण \(2x^2-4ax+(2a^2-3)=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If \(a\) is a real number, what is the nature of the roots of the equation \(2x^2-4ax+(2a^2-3)=0\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. हमेशा वास्तविक और भिन्नAlways real and distinct

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में \(A=2\), \(B=-4a\) और \(C=2a^2-3\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\) है। चूँकि \(D=24>0\) प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। इसलिए विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले प्रश्नों में विविक्तकर को सरल करके देखें कि उसका चिह्न पैरामीटर पर निर्भर करता है या नहीं। / For the quadratic equation, \(A=2\), \(B=-4a\), and \(C=2a^2-3\). Its discriminant is \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\). Since \(D=24>0\) for every real value of \(a\), the roots are always real and distinct. Hence option A is correct; equal roots would require \(D=0\). Exam tip: in parameter-based questions, simplify the discriminant fully and check whether its sign depends on the parameter.

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यदि \(a\) एक वास्तविक संख्या है, तो समीकरण \(2x^2-4ax+(2a^2-3)=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी? / If \(a\) is a real number, what is the nature of the roots of the equation \(2x^2-4ax+(2a^2-3)=0\)?

Correct Answer: A. हमेशा वास्तविक और भिन्न / Always real and distinct. Explanation: द्विघात समीकरण में \(A=2\), \(B=-4a\) और \(C=2a^2-3\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\) है। चूँकि \(D=24>0\) प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। इसलिए विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले प्रश्नों में विविक्तकर को सरल करके देखें कि उसका चिह्न पैरामीटर पर निर्भर करता है या नहीं। / For the quadratic equation, \(A=2\), \(B=-4a\), and \(C=2a^2-3\). Its discriminant is \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\). Since \(D=24>0\) for every real value of \(a\), the roots are always real and distinct. Hence option A is correct; equal roots would require \(D=0\). Exam tip: in parameter-based questions, simplify the discriminant fully and check whether its sign depends on the parameter.