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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Medium Level 39

समीकरण \(x^2-16x+k=0\) के दो वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए \(k\) पर कौन-सी शर्त सही है?

Which condition on \(k\) is required for the equation \(x^2-16x+k=0\) to have two real and distinct roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(k<64\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=-16\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(256-4k>0\), अर्थात् \(k<64\)। \(k=64\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-16\), and \(c=k\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \(256-4k>0\), which gives \(k<64\). When \(k=64\), the roots are equal, so that option is not correct. Exam tip: Check the sign of the discriminant first when determining the nature of roots.

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समीकरण \(x^2-16x+k=0\) के दो वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए \(k\) पर कौन-सी शर्त सही है? / Which condition on \(k\) is required for the equation \(x^2-16x+k=0\) to have two real and distinct roots?

Correct Answer: A. \(k<64\). Explanation: यहाँ \(a=1\), \(b=-16\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(256-4k>0\), अर्थात् \(k<64\)। \(k=64\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-16\), and \(c=k\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \(256-4k>0\), which gives \(k<64\). When \(k=64\), the roots are equal, so that option is not correct. Exam tip: Check the sign of the discriminant first when determining the nature of roots.