यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह वास्तविक मान देता ही नहीं / It gives no real values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x+2\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x+2\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k-2) रखने पर \(\lfloor x+2\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k-2), then \(\lfloor x+2\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक सहप्रांत पर नीचे पूर्णांक फलन आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x-5}) है, तो सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x-5}), which option is correct?
#cube root
#onto
#real numbers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल अऋणात्मक मान देता है / It gives only non-negative values
D यह (x<5) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3+5\) लेने पर (f(x)=y)। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3+5\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है। / A cube-root function takes all real values on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x-4)2 }), what is the correct statement about (f)?
#square root
#modulus
#onto
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|) होता है। / (\sqrt{(x-4)2 }=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
(|x-4|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of (|x-4|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें। / Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus form.
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यदि \(f:{1,2,3,4,5,6}\to{0,1}\), (f(n)=0) जब (n) सम हो और (f(n)=1) जब (n) विषम हो, तो सही कथन क्या है?
If \(f:{1,2,3,4,5,6}\to{0,1}\), where (f(n)=0) when (n) is even and (f(n)=1) when (n) is odd, what is correct?
#finite sets
#onto
#parity function
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सम संख्याएं (2,4,6) (0) देती हैं। / Even numbers (2,4,6) give (0).
Step 2
Why this answer is correct
विषम संख्याएं (1,3,5) (1) देती हैं। / Odd numbers (1,3,5) give (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान (0) और (1) प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values (0) and (1) are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}), choose the correct option about (f).
#square root
#onto
#preimage
#domain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह (x=0) पर परिभाषित है / It is defined at (x=0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\), इसलिए फलन परिभाषित है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), so the function is defined.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2+1\) लेने पर (f(x)=y)। / For every \(y\ge0\), take \(x=y^2+1\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए वर्ग करें। / For square-root functions, square the target value to find a preimage.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=x-4 +2) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=x-4 +2), what is the correct statement?
#even power
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^4+2\) का परास \([2,\infty\)) है। / The range of \(x^4+2\) is \([2,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[4]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन सही अऋणात्मक खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / An even-power function can be onto a correctly shifted non-negative codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +2x) है, तो (f) के आच्छादी होने का सही कारण क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +2x), what is the correct reason that (f) is onto?
#cubic polynomial
#onto
#increasing function
#range
A यह लगातार बढ़ता है और सभी वास्तविक दिशाओं में जाता है / It is increasing and extends in both real directions
B यह हमेशा धनात्मक है / It is always positive
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह लगातार बढ़ता है और सभी वास्तविक दिशाओं में जाता है / It is increasing and extends in both real directions
Step 1
Concept
(f'(x)=3x-2 +2>0), इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2 +2>0), so the function is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)। / As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty).
Step 3
Exam Tip
ऐसा सतत बढ़ता फलन \(\mathbb{R}\) को पूरा ढकता है। / Such a continuous increasing function covers all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=|x+3|+2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=|x+3|+2), what is the correct statement about (f)?
#modulus function
#onto
#range
#absolute value
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x+3|\ge0\), इसलिए (f(x)\ge2)। / \(|x+3|\ge0\), so (f(x)\ge2).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge2\) के लिए (x=-3+(y-2)) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge2\), take (x=-3+(y-2)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का न्यूनतम मान सहप्रांत की शुरुआत बताता है। / The minimum value of a modulus function tells the start of its range.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-2,2)), (f(x)=\frac{2x}{1+|x|}) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to(-2,2)), (f(x)=\frac{2x}{1+|x|}), choose the correct option.
#bounded function
#onto
#modulus
#open interval
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (2) मान देता है / It gives value (2)
D यह (-2) मान देता है / It gives value (-2)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) का परास ((-1,1)) है। / The range of \(\frac{x}{1+|x|}\) is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा करने पर परास ((-2,2)) हो जाता है। / Multiplying by (2) changes the range to ((-2,2)).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत भी ((-2,2)) है, इसलिए फलन आच्छादी है। / Since the codomain is also ((-2,2)), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)), (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), what is the correct statement about (f)?
#rational function
#onto
#range
#open endpoint
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=0) पर मान (0) मिलता है। / At (x=0), the value (0) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\le y<1\) के लिए समीकरण \(\frac{x^2}{1+x^2}=y\) का हल \(x^2=\frac{y}{1-y}\) मिलता है। / For \(0\le y<1\), solving \(\frac{x^2}{1+x^2}=y\) gives \(x^2=\frac{y}{1-y}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([0,1)) का हर मान प्राप्त होता है। / Hence every value in ([0,1)) is obtained.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c\}\) और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)\}\) है, तो \(f:A\to B\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)\}\), what is correct about \(f:A\to B\)?
#finite sets
#onto
#ordered pairs
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D इसका परास खाली है / Its range is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (B) के अवयव (a,b,c) हैं। / The codomain (B) has elements (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रतिबिंबों में (a), (b) और (c) तीनों आते हैं। / The images include (a), (b), and (c).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में हर सहप्रांत अवयव मिल जाए तो फलन आच्छादी है। / For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto.
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यदि (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), which statement about (f) is correct?
#tangent function
#onto
#real range
#trigonometry
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ([0,1]) में मान देता है / It gives values only in ([0,1])
D यह स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। / On this interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई (x) इस अंतराल में है जिससे \(\tan x=y\)। / For every \(y\in\mathbb{R}\), there is an (x) in this interval such that \(\tan x=y\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक परास \(\mathbb{R}\) याद रखें। / Remember the standard range of \(\tan x\) as \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:[0,2\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प क्या है?
If \(f:[0,2\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x), what is the correct option about (f)?
#sine function
#onto
#trigonometric range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\([0,2\pi]\) पर \(\sin x\) (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On \([0,2\pi]\), \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए हर सहप्रांत मान प्राप्त होता है। / The codomain is ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण आवर्त पर त्रिकोणमितीय परास पहचानना आसान होता है। / On a full period, identifying trigonometric range is easy.
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यदि (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)), which statement is correct?
#logarithmic function
#onto
#domain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=1) पर परिभाषित है / It is defined at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x>1) होने पर (x-1>0)। / Since (x>1), (x-1>0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=1+e^y\) लेने पर (\ln(x-1)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=1+e^y\), then (\ln(x-1)=y).
Step 3
Exam Tip
अंदर की राशि धनात्मक बनी रहे, तो लघुगणक सभी वास्तविक मान दे सकता है। / A logarithm can give all real values when its inside quantity stays positive.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x-2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x-2), what is the correct statement about (f)?
#logarithmic function
#onto
#vertical shift
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह (x=0) पर परिभाषित है / It is defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) घटाने पर भी सभी वास्तविक मान मिल सकते हैं। / Subtracting (2) still allows all real values.
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन का ऊर्ध्व खिसकाव आच्छादीपन नहीं बदलता। / A vertical shift of a logarithmic function does not change its onto nature over \(\mathbb{R}\).
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(3,\infty\)), (f(x)=e^x+3) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to\(3,\infty\)), (f(x)=e^x+3), choose the correct option.
#exponential function
#onto
#shifted range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(3) जोड़ने पर परास (\(3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (3) changes the range to (\(3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन के खुले सिरे को सही ढंग से याद रखें। / Remember the open endpoint of an exponential range correctly.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to{6,7,8,\ldots}\), (f(n)=n+5) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{N}\to{6,7,8,\ldots}\), (f(n)=n+5), what is the correct statement?
#natural numbers
#onto
#shifted range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह केवल (5) मान देता है / It gives only value (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (6) से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का है। / The codomain is the natural numbers starting from (6).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge6\) के लिए (n=y-5) प्राकृतिक संख्या है और (f(n)=y)। / For every \(y\ge6\), (n=y-5) is natural and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को परास के अनुसार चुनने से फलन आच्छादी बन जाता है। / Choosing the codomain according to the range makes the function onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8), which statement is correct about (f)?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y+8) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y+8) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर निश्चित संख्या घटाने वाला फलन सभी पूर्णांक ढकता है। / A fixed shift on integers covers all integers.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), (f(x)=3-(x+1)2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), (f(x)=3-(x+1)2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#onto
#maximum value
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (3) मान देता है / It gives only value (3)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+1)2 \ge0), इसलिए (3-(x+1)2 \le3)। / ((x+1)2 \ge0), so (3-(x+1)2 \le3).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le3\) के लिए \(x=-1+\sqrt{3-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\le3\), take \(x=-1+\sqrt{3-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे खुला द्विघात अपने सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A downward quadratic can be onto its correct codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=(x-1)2 +4) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=(x-1)2 +4), choose the correct option.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x-1)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge4)। / ((x-1)2 \ge0), so (f(x)\ge4).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge4\) के लिए \(x=1+\sqrt{y-4}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge4\), take \(x=1+\sqrt{y-4}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत बराबर हों तो आच्छादीपन आसानी से दिखता है। / When the minimum value matches the codomain start, onto nature is easy to verify.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब (x<0) और (f(x)=1) जब \(x\ge0\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when (x<0) and (f(x)=1) when \(x\ge0\), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (1) देता है / It gives only (1)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=-1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=-1) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=0) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x\rceil) है, तो सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x\rceil), which option is correct?
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह वास्तविक मान नहीं देता / It does not give real values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k), then \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक सहप्रांत पर छत फलन आच्छादी होता है। / The ceiling function is onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) कोई भी पूर्णांक मान दे सकता है। / \(\lfloor x\rfloor\) can give any integer value.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) रखने पर \(\lfloor x\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k), then \(\lfloor x\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) रखने पर यह फलन आच्छादी हो जाता है। / With codomain \(\mathbb{Z}\), this function is onto.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=\sqrt{x}+1) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=\sqrt{x}+1), what is the correct statement?
#square root
#onto
#preimage
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}+1\) का परास \([1,\infty\)) है। / The range of \(\sqrt{x}+1\) is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए (x=(y-1)2 ) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), take (x=(y-1)2 ), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन सही सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / A square-root function is onto its correct codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}+2) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}+2), choose the correct option about (f).
#cube root
#onto
#vertical shift
#real numbers
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x<0) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt[3]{x}\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। / \(\sqrt[3]{x}\) can take all real values.
Step 2
Why this answer is correct
(2) जोड़ने से परास फिर भी \(\mathbb{R}\) ही रहता है। / Adding (2) still leaves the range as \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन का ऊपर खिसकाव आच्छादीपन नहीं हटाता। / A vertical shift of the cube-root function does not remove onto nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 }), what is the correct statement about (f)?
#square root
#modulus
#onto
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
(|x|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of (|x|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x^2}\) को मापांक के रूप में पहचानना आसान तरीका है। / Recognizing \(\sqrt{x^2}\) as a modulus is an easy method.
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यदि \(f:{1,2,3,4,5}\to{0,1}\), (f(n)) (n) के सम होने पर (0) और विषम होने पर (1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:{1,2,3,4,5}\to{0,1}\), where (f(n)) is (0) when (n) is even and (1) when (n) is odd, what is correct about (f)?
#finite sets
#onto
#parity function
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सम अवयवों (2,4) से (0) मिलता है। / Even elements (2,4) give (0).
Step 2
Why this answer is correct
विषम अवयवों (1,3,5) से (1) मिलता है। / Odd elements (1,3,5) give (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान (0) और (1) मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values (0) and (1) are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=|x-2|+1) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=|x-2|+1), choose the correct option.
#modulus function
#onto
#shifted range
#absolute value
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह केवल (1) मान देता है / It gives only value (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x-2|\ge0\), इसलिए \(|x-2|+1\ge1\)। / \(|x-2|\ge0\), so \(|x-2|+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए (x=2+(y-1)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), take (x=2+(y-1)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का न्यूनतम मान देखकर परास तय करें। / Use the minimum value of a modulus function to identify its range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-4 +x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-4 +x-2 ), what is the correct statement about (f)?
#polynomial
#onto
#nonnegative range
#continuity
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^4+x^2\) का न्यूनतम मान (0) है और बड़े (x) पर यह बहुत बड़ा होता है। / The minimum value of \(x^4+x^2\) is (0), and for large (x), it becomes very large.
Step 2
Why this answer is correct
सतत होने के कारण यह (0) से ऊपर के सभी मान लेता है। / Since it is continuous, it takes all values above (0).
Step 3
Exam Tip
अऋणात्मक सहप्रांत के साथ ऐसा बहुपद आच्छादी हो सकता है। / With a non-negative codomain, such a polynomial can be onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -5x) है, तो (f) के आच्छादी होने का सरल कारण क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -5x), what is a simple reason that (f) is onto?
#cubic polynomial
#onto
#continuity
#real range
A बहुपद सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है / The polynomial is continuous and goes unbounded in both directions
B यह हमेशा धनात्मक है / It is always positive
C यह केवल (0) मान देता है / It gives only value (0)
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. बहुपद सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है / The polynomial is continuous and goes unbounded in both directions
Step 1
Concept
\(x^3-5x\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3-5x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
ऐसा घन बहुपद सभी वास्तविक मान लेता है। / Such a cubic polynomial takes all real values.
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