100 results found for "preimage" in all classes.
यदि \(f:{1,2,3}\to{1,4,9,16}\) और (f(x)=x-2 ) है, तो (16) की पूर्वछवि के बारे में क्या सही है?
If \(f:{1,2,3}\to{1,4,9,16}\) and (f(x)=x-2 ), what is true about the preimage of (16)?
#relations-functions
#no-preimage
#range-codomain
A इसकी कोई पूर्वछवि नहीं है / It has no preimage
B इसकी पूर्वछवि (4) है / Its preimage is (4)
C इसकी पूर्वछवि (3) है / Its preimage is (3)
D इसकी पूर्वछवि (2) है / Its preimage is (2)
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Correct Answer
A. इसकी कोई पूर्वछवि नहीं है / It has no preimage
Explanation
Simple Explanation
प्रांत में (4) नहीं है इसलिए (16) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में पूर्वछवि केवल प्रांत से ही ली जाती है। / (4) is not in the domain, so (16) is not obtained. In exams, a preimage must come from the domain only.
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यदि \(f:{1,2,3,4}\to{1,4,9,16}\) और (f(x)=x-2 ) है, तो (9) की पूर्वछवि क्या है?
If \(f:{1,2,3,4}\to{1,4,9,16}\) and (f(x)=x-2 ), what is the preimage of (9)?
#relations-functions
#preimage
#square-rule
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Explanation
Simple Explanation
\(3^2=9\) इसलिए (9) की पूर्वछवि (3) है। परीक्षा में छवि से संबंधित प्रांत तत्व खोजें। / \(3^2=9\), so the preimage of (9) is (3). In exams, find the domain element associated with the image.
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फलन \(f:A\to B\) में पूर्व प्रतिबिंब किससे संबंधित होता है?
In a function \(f:A\to B\), a preimage is related to what?
#functions
#preimage
#terminology
A प्रांत (A) के तत्व से / An element of domain (A)
B केवल सहप्रांत (B) से / Only codomain (B)
C केवल परिसर से / Only range
D कार्टेशियन गुणनफल के आकार से / Size of Cartesian product
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Correct Answer
A. प्रांत (A) के तत्व से / An element of domain (A)
Explanation
Simple Explanation
पूर्व प्रतिबिंब वह इनपुट है जो किसी आउटपुट तक जाता है। यह प्रांत (A) का तत्व होता है। / A preimage is the input that maps to an output. It is an element of the domain (A).
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फलन (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), सर्वाच्छादकता सिद्ध करने के लिए \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
For (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), what preimage of \(y\in\mathbb{R}\) proves onto property?
#onto function
#tangent
#inverse trigonometry
#preimage
A \(x=\sin^{-1}y\)
B \(x=\cos^{-1}y\)
C \(x=y^2\)
D \(x=\tan^{-1}y\)
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Correct Answer
D. \(x=\tan^{-1}y\)
Step 1
Concept
सर्वाच्छादकता के लिए \(\tan x=y\) हल करना है। / To prove onto, solve \(\tan x=y\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी दिए गए अंतराल में आता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in the given interval.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन पूर्वप्रतिबिंब खोजने में सीधा रास्ता देते हैं। / Inverse trigonometric functions give a direct way to find preimages.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=2^x), तो (f) सर्वाच्छादक सिद्ध करने के लिए (y>0) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=2^x), what preimage of (y>0) proves that (f) is onto?
#onto function
#exponential
#logarithm
#preimage
A \(x=\log_2 y\)
B \(x=y^2\)
C (x=2y)
D \(x=\frac{1}{y}\)
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Correct Answer
A. \(x=\log_2 y\)
Step 1
Concept
सर्वाच्छादकता दिखाने के लिए \(2^x=y\) हल करें। / To prove onto, solve \(2^x=y\).
Step 2
Why this answer is correct
(y>0) होने पर \(x=\log_2 y\) वास्तविक है और \(2^x=y\) देता है। / Since (y>0), \(x=\log_2 y\) is real and gives \(2^x=y\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन के लिए लघुगणक पूर्वप्रतिबिंब देता है। / For exponential functions, logarithms provide the required preimage.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1) है, तो \(y\in[1,\infty\)) का पूर्वप्रतिबिंब क्या लिया जा सकता है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), what preimage can be taken for \(y\in[1,\infty\))?
#onto function
#preimage
#quadratic
#class 12
A \(x=\sqrt{y-1}\)
B \(x=\sqrt{1-y}\)
C \(x=y^2+1\)
D \(x=\frac{1}{y-1}\)
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Correct Answer
A. \(x=\sqrt{y-1}\)
Step 1
Concept
\(y=x^2+1\) से \(x^2=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^2+1\), we get \(x^2=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge1\) होने से \(y-1\ge0\), इसलिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है। / Since \(y\ge1\), \(y-1\ge0\), so \(x=\sqrt{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी सिद्ध करते समय (y) से (x) निकालकर जाँचें कि (x) प्रांत में है। / To prove onto, solve for (x) in terms of (y) and check that (x) belongs to the domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए \(y\ge0\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या हो सकता है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x), what can be a preimage of \(y\ge0\) to show that (f) is onto?
#quadratic function
#onto
#preimage
#restricted domain
A \(x=-1+\sqrt{y+1}\)
B \(x=1+\sqrt{y+1}\)
C \(x=\sqrt{y}-2\)
D \(x=y^2+2\)
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Correct Answer
A. \(x=-1+\sqrt{y+1}\)
Step 1
Concept
\(x^2+2x=y\) को ((x+1)2 =y+1) लिखें। / Write \(x^2+2x=y\) as ((x+1)2 =y+1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=-1+\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge0\) रहता है और फलन मान (y) बनता है। / Taking \(x=-1+\sqrt{y+1}\) keeps \(x\ge0\) and gives function value (y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात रूप में पूर्ण वर्ग बनाकर पूर्वप्रतिबिंब निकालें। / Complete the square to find a preimage in quadratic forms.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}) है, तो (f) आच्छादी है क्योंकि किस पूर्वप्रतिबिंब से (y) मिलेगा?
If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}), then (f) is onto because which preimage gives (y)?
#square root
#onto
#preimage
#domain
A \(x=y^2+1\)
B \(x=y+1\)
C \(x=\sqrt{y}+1\)
D \(x=y^2-1\)
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Correct Answer
A. \(x=y^2+1\)
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई \(y\ge0\) लें। / Take any codomain value \(y\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=y^2+1\) रखने पर \(x\ge1\) और \(\sqrt{x-1}=y\) मिलता है। / If \(x=y^2+1\), then \(x\ge1\) and \(\sqrt{x-1}=y\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए लक्ष्य मान का वर्ग करें। / For a square-root function, square the target value to find a preimage.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x-11) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए किसी \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x-11), what will be the preimage of any \(y\in\mathbb{R}\) to show that (f) is onto?
#onto function
#linear function
#preimage
#relations and functions
A \(x=\frac{y+11}{5}\)
B \(x=\frac{y-11}{5}\)
C \(x=5y+11\)
D \(x=11-5y\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{y+11}{5}\)
Step 1
Concept
आच्छादीपन जांचने के लिए (f(x)=y) रखें। / To test onto nature, put (f(x)=y).
Step 2
Why this answer is correct
(5x-11=y) से \(x=\frac{y+11}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From (5x-11=y), we get \(x=\frac{y+11}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सरल तरीका है। / For a linear function, solving (x) in terms of (y) is the easiest method.
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यदि \(f:{1,2,3,4,5,6,7,8,9}\to{0,1}\) को (f(n)=1) जब (n) (3) से विभाज्य हो और (f(n)=0) अन्यथा दिया गया है, तो (f^{-1}({1})) क्या है?
If \(f:{1,2,3,4,5,6,7,8,9}\to{0,1}\) is given by (f(n)=1) when (n) is divisible by (3) and (f(n)=0) otherwise, what is (f^{-1}({1}))?
#preimage
#divisibility
#function
A ({1,2,4,5,7,8})
B ({3,6,9})
C ({1})
D ({0,3,6,9})
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Correct Answer
B. ({3,6,9})
Explanation
Simple Explanation
मान (1) उन्हीं इनपुटों पर आता है जो (3) से विभाज्य हैं। इसलिए पूर्वछवि ({3,6,9}) है। / The value (1) occurs only at inputs divisible by (3). Therefore the preimage is ({3,6,9}).
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यदि \(f:{1,2,3,4,5,6,7,8}\to{0,1}\) को (f(n)=1) जब (n) (4) से विभाज्य हो और (f(n)=0) अन्यथा दिया गया है, तो (f^{-1}({1})) क्या है?
If \(f:{1,2,3,4,5,6,7,8}\to{0,1}\) is given by (f(n)=1) when (n) is divisible by (4) and (f(n)=0) otherwise, what is (f^{-1}({1}))?
#preimage
#divisibility
#function
A ({1,2,3,5,6,7})
B ({4,8})
C ({1})
D ({0,4,8})
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Correct Answer
B. ({4,8})
Explanation
Simple Explanation
मान (1) उन्हीं इनपुटों पर आता है जो (4) से विभाज्य हैं। इसलिए पूर्वछवि ({4,8}) है। / The value (1) occurs only at inputs divisible by (4). Therefore the preimage is ({4,8}).
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यदि \(f:{1,2,3,4,5,6}\to{0,1}\) को (f(n)=0) जब (n) (3) से विभाज्य हो और (f(n)=1) अन्यथा दिया गया है तो (f^{-1}({0})) क्या है?
If \(f:{1,2,3,4,5,6}\to{0,1}\) is given by (f(n)=0) when (n) is divisible by (3) and (f(n)=1) otherwise, what is (f^{-1}({0}))?
#preimage
#divisibility
#function
A ({1,2,4,5})
B ({3,6})
C ({0})
D ({0,3,6})
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Correct Answer
B. ({3,6})
Explanation
Simple Explanation
शून्य वे इनपुट देते हैं जो (3) से विभाज्य हैं। इसलिए पूर्वछवि ({3,6}) है। / The value zero is produced by inputs divisible by (3). Hence the preimage is ({3,6}).
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यदि \(f:{1,2,3,4,5}\to{0,1}\) को (f(x)=0) जब (x) सम हो और (f(x)=1) जब (x) विषम हो, तो (f^{-1}({0})) क्या है?
If \(f:{1,2,3,4,5}\to{0,1}\) is given by (f(x)=0) when (x) is even and (f(x)=1) when (x) is odd, what is (f^{-1}({0}))?
#preimage
#parity
#function
#hard
A ({1,3,5})
B ({2,4})
C ({0})
D ({0,1})
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Correct Answer
B. ({2,4})
Explanation
Simple Explanation
(0) वे इनपुट देते हैं जो सम हैं, यानी (2) और (4)। पूर्वछवि में डोमेन के अवयव आते हैं, सहप्रांत के नहीं। / The value (0) is produced by even inputs, namely (2) and (4). A preimage contains elements of the domain, not of the codomain.
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यदि \(f:A\to B\) में \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{0,1\}\) और (f(x)=0) जब (x) even हो तथा (f(x)=1) जब (x) odd हो, तो (f^{-1}({0})) क्या है?
If \(f:A\to B\) has \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{0,1\}\), (f(x)=0) when (x) is even and (f(x)=1) when (x) is odd, what is (f^{-1}({0}))?
#preimage
#function-value
#class11
A \({2,4})
B \({1,3})
C \({0})
D \({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. \({2,4})
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=0) even inputs (2) और (4) पर मिलता है। preimage हमेशा domain के elements का set होता है। / (f(x)=0) occurs for even inputs (2) and (4). A preimage is always a set of domain elements.
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यदि \(f:{1,2,3}\to{2,4,6,8}\) और (f(x)=2x) है, तो (f^{-1}(4)) के रूप में किस प्रांत तत्व को समझा जाएगा?
If \(f:{1,2,3}\to{2,4,6,8}\) and (f(x)=2x), which domain element is understood as (f^{-1}(4))?
#relations-functions
#preimage
#function-rule
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Explanation
Simple Explanation
(f(2)=4) है इसलिए (4) की पूर्वछवि (2) है। परीक्षा में पूर्वछवि खोजने के लिए आउटपुट से इनपुट पहचानें। / (f(2)=4), so the preimage of (4) is (2). In exams, identify the input from the output to find a preimage.
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यदि (f(a)=b) है, तो (a) को (b) का क्या कहा जाता है?
If (f(a)=b), what is (a) called for (b)?
#relations-functions
#preimage
#image
A पूर्वछवि / Preimage
B छवि / Image
C परिसर / Range
D सहप्रांत / Codomain
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Correct Answer
A. पूर्वछवि / Preimage
Explanation
Simple Explanation
(f(a)=b) में (a) पूर्वछवि और (b) छवि है। परीक्षा में इन दोनों शब्दों को उल्टा न करें। / In (f(a)=b), (a) is the preimage and (b) is the image. In exams, do not reverse these two terms.
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यदि \(f:A\to B\) है और (f(a)=b), तो (b) को (a) का क्या कहा जाता है?
If \(f:A\to B\) and (f(a)=b), what is (b) called for (a)?
#relations-functions
#image
#preimage
A छवि / Image
B पूर्वछवि / Preimage
C प्रांत / Domain
D संबंध / Relation
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Correct Answer
A. छवि / Image
Explanation
Simple Explanation
(b), (a) की छवि है क्योंकि (a) पर (f) लगाने से (b) मिलता है। परीक्षा में (f(a)) को आउटपुट समझें। / (b) is the image of (a) because applying (f) to (a) gives (b). In exams, understand (f(a)) as the output.
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यदि \(f:A\to B\) है और (f(a)=b), तो (a) को (b) का क्या कहा जाता है?
If \(f:A\to B\) and (f(a)=b), what is (a) called for (b)?
#relations-functions
#image-preimage
#notation
A पूर्वछवि / Preimage
B छवि / Image
C सहप्रांत / Codomain
D परिसर / Range
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Correct Answer
A. पूर्वछवि / Preimage
Explanation
Simple Explanation
(f(a)=b) में (a) पूर्वछवि और (b) छवि कहलाता है। परीक्षा में इन दोनों शब्दों को उल्टा न करें। / In (f(a)=b), (a) is called the preimage and (b) is called the image. In exams, do not reverse these two terms.
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यदि (f(a)=b) है, तो (a) को (b) का क्या कहा जा सकता है?
If (f(a)=b), what can (a) be called for (b)?
#relations-functions
#preimage
#image
A छवि / Image
B पूर्वछवि / Preimage
C सहप्रांत / Codomain
D परिसर / Range
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Correct Answer
B. पूर्वछवि / Preimage
Explanation
Simple Explanation
(a), (b) की पूर्वछवि है क्योंकि (f) से (a) का मान (b) मिलता है। परीक्षा में छवि और पूर्वछवि को उल्टा न करें। / (a) is a preimage of (b) because applying (f) to (a) gives (b). In exams, do not reverse image and preimage.
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यदि \(f:A\to B\) में (f(a)=b) लिखा हो, तो (b) को (a) का क्या कहा जाता है?
If (f(a)=b) in \(f:A\to B\), what is (b) called for (a)?
#relations-functions
#image-preimage
#notation
A छवि / Image
B प्रांत / Domain
C पूर्वछवि / Preimage
D संबंध / Relation
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Correct Answer
A. छवि / Image
Explanation
Simple Explanation
(f(a)=b) का अर्थ है कि (b), (a) की छवि है। परीक्षा में (a) को पूर्वछवि और (b) को छवि समझें। / (f(a)=b) means (b) is the image of (a). In exams, understand (a) as the preimage and (b) as the image.
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यदि किसी आउटपुट y∈B के लिए f(x)=y है, तो x को क्या कहा जा सकता है?
If f(x)=y for an output y∈B, what can x be called?
#functions
#preimage
#terminology
A y का पूर्व प्रतिबिंब / Preimage of y
B y का सहप्रांत / Codomain of y
C y का परिसर / Range of y
D y का रिक्त समुच्चय / Empty set of y
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Correct Answer
A. y का पूर्व प्रतिबिंब / Preimage of y
Explanation
Simple Explanation
जो इनपुट किसी आउटपुट तक जाता है, वह उसका पूर्व प्रतिबिंब कहलाता है। पूर्व प्रतिबिंब प्रांत से आता है। / The input that maps to an output is called its preimage. A preimage comes from the domain.
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यदि f={(1,8),(2,8),(3,9)} है, तो किसका प्रतिबिंब 9 है?
If f={(1,8),(2,8),(3,9)}, whose image is 9?
#functions
#image
#preimage
A 3
B 1
C 2
D 8
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Explanation
Simple Explanation
युग्म (3,9) में 3 का प्रतिबिंब 9 है। ऐसे प्रश्नों में द्वितीय अवयव देखकर प्रथम अवयव पहचानें। / In the pair (3,9), the image of 3 is 9. In such questions identify the first component by looking at the second component.
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यदि f(x)=x+7 और f(a)=12 है, तो a क्या होगा?
If f(x)=x+7 and f(a)=12, what is a?
#functions
#preimage
#equation
A 5
B 7
C 12
D 19
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Explanation
Simple Explanation
a+7=12 से a=5 मिलता है। ऐसे प्रश्नों में f(a) को दिए गए मान के बराबर रखें। / From a+7=12, we get a=5. In such questions set f(a) equal to the given value.
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यदि R={(1,2),(2,2),(3,3),(4,4)} है, तो किस इनपुट का प्रतिबिंब 3 है?
If R={(1,2),(2,2),(3,3),(4,4)}, which input has image 3?
#functions
#preimage
#ordered-pairs
A 3
B 1
C 2
D 4
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Explanation
Simple Explanation
युग्म (3,3) में द्वितीय अवयव 3 है। इसलिए 3 का प्रतिबिंब 3 है। / In the pair (3,3), the second component is 3. Therefore the input with image 3 is 3.
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यदि \(f=\{(1,b),(2,c),(3,b)\}\) है तो किस तत्व का प्रतिबिंब (c) है?
If \(f=\{(1,b),(2,c),(3,b)\}\), which element has image (c)?
#functions
#preimage
#ordered-pairs
A (2)
B (1)
C (3)
D (b)
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Explanation
Simple Explanation
युग्म ((2,c)) में (2) का प्रतिबिंब (c) है। द्वितीय अवयव से प्रथम अवयव पहचानें। / In the pair ((2,c)), the image of (2) is (c). Identify the first component from the second component.
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यदि (f(x)=x-2 ) और (f(a)=16) है, सरल धनात्मक मान के लिए (a) क्या होगा?
If (f(x)=x-2 ) and (f(a)=16), what is (a) for the simple positive value?
#functions
#evaluation
#preimage-basic
A (4)
B (8)
C (2)
D (16)
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Explanation
Simple Explanation
धनात्मक मान के लिए \(a^2=16\) से (a=4) मिलता है। प्रश्न में धनात्मक शर्त को ध्यान से पढ़ें। / For the positive value, \(a^2=16\) gives (a=4). Read the positive condition carefully.
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यदि संबंध (R) में \((3,7)\in R\) है, तो इस युग्म में पहला अवयव क्या कहलाता है?
If \((3,7)\in R\), what is the first component of this ordered pair called?
#preimage
#image
#relations
A प्रतिबिंब / Image
B पूर्व प्रतिबिंब / Preimage
C परिसर / Range
D सहप्रांत / Codomain
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Correct Answer
B. पूर्व प्रतिबिंब / Preimage
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्म ((3,7)) में (3) पूर्व प्रतिबिंब और (7) प्रतिबिंब माना जाता है। संबंध पढ़ते समय पहले अवयव से प्रांत बनता है। / In the ordered pair ((3,7)), (3) is the preimage and (7) is the image. While reading relations, the first component forms the domain.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है और (B) का कोई तत्व (b) है, तो आच्छादिता की सबसे सही व्याख्या कौन सी है?
If \(f:A\to B\) is onto and (b) is an element of (B), which is the best explanation of onto behavior?
#onto definition
#preimage
#codomain
#class 12
A कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b) / There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)
B हर \(a\in A\) के लिए (f(a)=b) होगा / For every \(a\in A\), (f(a)=b)
C (b) प्रांत में होना चाहिए / (b) must be in the domain
D (A) और (B) हमेशा बराबर होने चाहिए / (A) and (B) must always be equal
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Correct Answer
A. कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b) / There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादी फलन का अर्थ है कि सहप्रांत का कोई भी तत्व खाली न छूटे। / Onto means no element of the codomain is left out.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक \(b\in B\) के लिए कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब \(a\in A\) होना चाहिए। / Therefore, for each \(b\in B\), at least one preimage \(a\in A\) must exist.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी में एक से अधिक पूर्वप्रतिबिंब हो सकते हैं, एकैकी की शर्त अलग है। / An onto function may have multiple preimages; one-one is a separate condition.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)) जहाँ (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), क्या आच्छादी है?
Is \(f:\mathbb{R}\to[0,1\)), where (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), onto?
#rational onto
#interval codomain
#preimage
A हाँ / Yes
B नहीं क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / No because \(\frac{1}{2}\) is not attained
C नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / No because (0) is not attained
D नहीं क्योंकि सभी मान (1) से बड़े हैं / No because all values are greater than (1)
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
इसका परिसर ([0,1)) है। / Its range is ([0,1)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(0\le y<1\) के लिए \(x^2=\frac{y}{1-y}\) संभव है, इसलिए कोई वास्तविक (x) मिल जाता है। / For any \(0\le y<1\), \(x^2=\frac{y}{1-y}\) is possible, so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले समीकरण में दायाँ पक्ष गैरऋणात्मक हो तो वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब मिल सकता है। / In equations involving \(x^2\), a non-negative right side gives real preimages.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) जहाँ (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो क्या (f) आच्छादी है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), where (f(x)=\lfloor x\rfloor), is (f) onto?
#floor function
#onto integers
#preimage
A हाँ / Yes
B नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / No because (0) is not attained
C नहीं क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक नहीं मिलते / No because negative integers are not attained
D नहीं क्योंकि केवल धनात्मक पूर्णांक मिलते हैं / No because only positive integers are attained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choose (x=n), then \(\lfloor x\rfloor=n\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर पूर्णांक सहप्रांतीय तत्व का पूर्वप्रतिबिंब है। / So every integer in the codomain has a preimage.
Step 3
Exam Tip
तल फलन \(\mathbb{Z}\) सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) जहाँ (f(x)=|x|+x), तो (f) आच्छादी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), where (f(x)=|x|+x), is (f) onto or not?
#modulus onto
#preimage
#piecewise function
A हाँ आच्छादी है / Yes it is onto
B नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / No because (1) is not attained
C नहीं क्योंकि केवल (0) मिलता है / No because only (0) is attained
D नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान चाहिए / No because negative values are needed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ आच्छादी है / Yes it is onto
Step 1
Concept
फलन का परिसर \([0,\infty\)) है। / The range of the function is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge0\) के लिए \(x=\frac{y}{2}\) लेने पर (f(x)=y) मिल जाता है। / For \(y\ge0\), choose \(x=\frac{y}{2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
जिस शाखा से पूरा सहप्रांत ढकता हो, उसे पूर्वप्रतिबिंब बनाने में इस्तेमाल करें। / Use the branch that covers the whole codomain to build the preimage.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)) जहाँ (f(x)=x-2 +2), क्या आच्छादी है?
Is \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), where (f(x)=x-2 +2), onto?
#quadratic onto
#minimum value
#preimage
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल जब (x>0) / Only when (x>0)
D केवल जब (x<0) / Only when (x<0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+2\ge2\)। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2+2\ge2\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge2\), taking \(x=\sqrt{y-2}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले फलन में न्यूनतम मान से परिसर पहचानें। / For square functions, identify the minimum value to get the range.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to{n\in\mathbb{N}:n\ge4}\) जहाँ (f(n)=n+3), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{N}\to{n\in\mathbb{N}:n\ge4}\), where (f(n)=n+3), choose the correct statement about (f).
#onto natural function
#preimage method
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (4) नहीं देता / It misses only (4)
D यह केवल (1) देता है / It gives only (1)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(f(n)=n+3) का पहला मान (4) है। / The first value of (f(n)=n+3) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge4\) के लिए (n=y-3) प्राकृतिक संख्या है। / For every \(y\ge4\), (n=y-3) is a natural number.
Step 3
Exam Tip
आच्छादिता में (y) लेकर उसका पूर्वप्रतिबिंब निकालना मजबूत तरीका है। / In onto proofs, take an arbitrary (y) and find its preimage.
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\(यदि (f:\mathbb{Z}\to{y\in\mathbb{Z}:y\) विषम है\(}) जहाँ (f(n)=2n+1), तो (f) कैसा है\)?
\(If (f:\mathbb{Z}\to{y\in\mathbb{Z}:y\) is odd\(}), where (f(n)=2n+1), what type is (f)\)?
#surjective integer function
#odd integers
#preimage
A आच्छादी / Onto
B आच्छादी नहीं / Not onto
C स्थिर / Constant
D केवल सम मान देने वाला / Giving only even values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादी / Onto
Step 1
Concept
(f(n)=2n+1) सभी विषम पूर्णांक देता है। / (f(n)=2n+1) gives all odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी विषम (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है। / For any odd (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer.
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य समुच्चय को ठीक परिसर के बराबर करने से आच्छादिता सिद्ध होती है। / Onto is proved when every target element has a preimage.
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मान लीजिए (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) जहाँ (f(x)=e^x)। (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Let (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) where (f(x)=e^x). Which statement is correct about (f)?
#exponential function
#onto function
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) मिलता है / It is not onto because (0) is attained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान मिलते हैं / It is not onto because negative values occur
D यह केवल \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी है / It is onto only on \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का मान हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every (y>0), taking \(x=\ln y\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में सहप्रांत यदि (\(0,\infty\)) हो तो आच्छादिता तुरंत जाँची जा सकती है। / For exponential functions, codomain (\(0,\infty\)) makes onto verification direct.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1\)), (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-2 +1}), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1\)), (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-2 +1}), which statement about (f) is correct?
#onto function
#rational function
#range
#preimage
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) प्राप्त नहीं होता / It is not onto because (1) is not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) प्राप्त नहीं होता / It is not onto because (-1) is not obtained
D यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है / It is not well-defined for this codomain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
किसी \(y\in[-1,1\)) को लक्ष्य मान मानकर \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\) लिखें। / Take any target value \(y\in[-1,1\)) and write \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ge -1\) और (y<1) के कारण ऋणात्मक नहीं है, इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। / Solving gives \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\), which is non-negative because \(y\ge -1\) and (y<1), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता सिद्ध करने के लिए लक्ष्य मान से प्रांत का वैध प्रतिचित्र निकालना सबसे मजबूत तरीका है। / To prove onto, finding a valid preimage for every target value is the strongest method.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}), which statement about (f) is correct?
#onto function
#reciprocal function
#preimage
#real numbers
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) नहीं मिलता / It is not onto because (-1) is not obtained
D यह सु-परिभाषित नहीं है / It is not well-defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी मान \(y\ne0\) मानिए। / Let any codomain value be \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। / Taking \(x=\frac{1}{y}\) gives \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलनों में (x) को (y) के रूप में लिखकर आच्छादकता जाँचें। / For reciprocal functions, write (x) in terms of (y) to test onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), तो सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), which statement is correct?
#onto function
#quadratic
#range
#preimage
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (2) नहीं मिलता / It is not onto because (2) is not obtained
D यह \(\mathbb{R}\) पर सु-परिभाषित नहीं है / It is not well-defined on \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+1\ge1\)। / \(x^2\ge0\), so \(x^2+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt{y-1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
\(x^2+a\) का परास सीधे \([a,\infty\)) होता है। / The range of \(x^2+a\) is directly \([a,\infty\)).
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यदि \(f:[0,1]\to[0,1]\), (f(x)=x-2 ), तो (f) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:[0,1]\to[0,1]\), (f(x)=x-2 ), what is the correct conclusion for (f)?
#onto function
#interval
#quadratic
#preimage
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / It is not onto because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D यह सु-परिभाषित नहीं है / It is not well-defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(x\in[0,1]\) पर \(x^2\in[0,1]\)। / For \(x\in[0,1]\), \(x^2\in[0,1]\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) भी ([0,1]) में है और \(x^2=y\)। / For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\) also lies in ([0,1]) and \(x^2=y\).
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल में प्रतिचित्र उसी प्रांत में होना चाहिए। / In closed interval problems, the preimage must belong to the same domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), which statement is correct about (f)?
#onto function
#cube root
#real numbers
#preimage
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह केवल \([0,\infty\)) पर मान देता है / It gives values only in \([0,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt[3]{x}\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। / \(\sqrt[3]{x}\) is defined for all real (x).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=y^3\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every real (y), take \(x=y^3\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन ऋणात्मक और धनात्मक दोनों मान दे सकता है। / The cube-root function can give both negative and positive values.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x}), तो (f) आच्छादक है या नहीं?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x}), is (f) onto?
#onto function
#square root
#range
#preimage
A हाँ, क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2\) लिया जा सकता है / Yes, because for every \(y\ge0\), \(x=y^2\) can be taken
B नहीं, क्योंकि (0) नहीं मिलता / No, because (0) is not obtained
C नहीं, क्योंकि (1) नहीं मिलता / No, because (1) is not obtained
D नहीं, क्योंकि ऋणात्मक (x) नहीं लिए जाते / No, because negative (x) values are not taken
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2\) लिया जा सकता है / Yes, because for every \(y\ge0\), \(x=y^2\) can be taken
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) का मान \(x\ge0\) पर हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / \(\sqrt{x}\) is always non-negative for \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in[0,\infty\)) के लिए \(x=y^2\) लेने पर \(\sqrt{x}=y\)। / For every \(y\in[0,\infty\)), take \(x=y^2\), then \(\sqrt{x}=y\).
Step 3
Exam Tip
मूल फलनों में लक्ष्य मान से (x) निकालना आसान रहता है। / For root functions, find (x) in terms of the target value.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(0,1)), (f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to(0,1)), (f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}), choose the correct statement for (f).
#onto function
#logistic function
#range
#preimage
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / It is not onto because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह सु-परिभाषित नहीं है / It is not well-defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
इस फलन का मान हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है। / The value of this function always lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(0,1)\) के लिए \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\in(0,1)\), taking \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
किसी लक्ष्य मान से (x) निकालना आच्छादकता का मजबूत प्रमाण है। / Solving for (x) from a target value is a strong proof of onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+5), तो (f) आच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+5), is (f) onto?
#onto function
#integers
#linear function
#preimage
A हाँ, क्योंकि हर \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5 ) लिया जा सकता है / Yes, because for every \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5 ) can be taken
B नहीं, क्योंकि (5) प्राप्त नहीं होता / No, because (5) is not obtained
C नहीं, क्योंकि केवल धनात्मक पूर्णांक मिलते हैं / No, because only positive integers are obtained
D हाँ, केवल (n=0) के लिए / Yes, only for (n=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि हर \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5 ) लिया जा सकता है / Yes, because for every \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5 ) can be taken
Step 1
Concept
लक्ष्य मान \(m\in\mathbb{Z}\) मानिए। / Let the target value be \(m\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=m-5 ) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) देता है। / (n=m-5 ) is also an integer and (f(n)=m).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर रैखिक स्थानांतरण अक्सर आच्छादक होता है। / A linear shift on integers is often onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), which statement is correct?
#onto function
#rational function
#codomain
#preimage
A (f) आच्छादक है / (f) is onto
B (f) आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) प्राप्त नहीं होता / (f) is not onto because (1) is not obtained
C (f) आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) प्राप्त नहीं होता / (f) is not onto because (0) is not obtained
D (f) केवल धनात्मक मान देता है / (f) gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) आच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
किसी \(y\ne1\) के लिए \(y=\frac{x+1}{x-1}\) लिखें। / For any \(y\ne1\), write \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है और \(x\ne1\) भी है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\), which is defined for \(y\ne1\) and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) मिल जाए तो आच्छादकता सिद्ध होती है। / If every target value gives a valid (x), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=|x-2 -1|), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=|x-2 -1|), is (f) onto or not?
#onto function
#modulus
#quadratic
#preimage
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि बड़े मान नहीं मिलते / It is not onto because large values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x^2-1|\) हमेशा गैरऋणात्मक है और (x=1) पर (0) मिलता है। / \(|x^2-1|\) is always non-negative, and (0) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(|x^2-1|=y\) मिलता है। / For any \(y\ge0\), taking \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(|x^2-1|=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्न में धनात्मक शाखा से पूर्वप्रतिबिंब बनाना आसान हो सकता है। / In modulus questions, the positive branch can make preimage construction easier.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), is (f) onto or not?
#onto function
#square root
#range
#preimage
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (2) नहीं मिलता / It is not onto because (2) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि परास ([0,1]) है / It is not onto because the range is ([0,1])
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^2+1\ge1\), इसलिए (f(x)\ge1) और (x=0) पर (1) मिलता है। / Since \(x^2+1\ge1\), (f(x)\ge1), and (1) is obtained at (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y^2-1}\) वास्तविक है और (f(x)=y) देता है। / For any \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y^2-1}\) is real and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले फलन में (y) के लिए समीकरण हल करके प्रांत की जाँच करें। / For square-root functions, solve for (x) and check the domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\(e^x-1\)2 ), सर्वाच्छादक है या नहीं?
Is \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\(e^x-1\)2 ), onto or not?
#onto function
#exponential square
#preimage
#range
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि बड़े मान नहीं मिलते / It is not onto because large values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
(\(e^x-1\)2 \ge0) और (x=0) पर (0) मिलता है। / (\(e^x-1\)2 \ge0), and at (x=0), the value is (0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(e^x-1=\sqrt{y}\) लेने पर (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)) वास्तविक मिलता है। / For any \(y\ge0\), set \(e^x-1=\sqrt{y}\), giving (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)), which is real.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में धनात्मक पूर्वप्रतिबिंब बनाने के लिए लघुगणक का प्रयोग करें। / For exponential expressions, logarithms help construct preimages.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x\rceil), सर्वाच्छादक क्यों है?
Why is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x\rceil), onto?
#onto function
#ceiling function
#integers
#preimage
A क्योंकि हर \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर (f(x)=k) है / Because for every \(k\in\mathbb{Z}\), choosing (x=k) gives (f(x)=k)
B क्योंकि यह सभी वास्तविक मान देता है / Because it gives all real values
C क्योंकि यह कोई पूर्णांक नहीं देता / Because it gives no integer
D क्योंकि (0) छवि नहीं बनता / Because (0) is not an image
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर (f(x)=k) है / Because for every \(k\in\mathbb{Z}\), choosing (x=k) gives (f(x)=k)
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी पूर्णांक (k) लें। / Take any integer (k) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\), इसलिए हर पूर्णांक छवि बनता है। / Putting (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\), so every integer is an image.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मूल्य फलन में सहप्रांत यदि \(\mathbb{Z}\) हो तो सीधे पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For integer-valued functions with codomain \(\mathbb{Z}\), directly find a preimage.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 -1), तो सर्वाच्छादकता के लिए सही कारण क्या है?
If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 -1), what is the correct reason for onto property?
#onto function
#restricted domain
#preimage
#square function
A हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\)) है / For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\))
B हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) है / For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\sqrt{y}\)
C \(x^2-1\) हमेशा ऋणात्मक है / \(x^2-1\) is always negative
D (0) छवि नहीं बनता / (0) is not an image
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\)) है / For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\))
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ge0\) लें। / Take any \(y\ge0\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge1\) और (f(x)=y) हो जाता है। / Choosing \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(x\ge1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिबंधित प्रांत में मिला हुआ (x) सच में उसी प्रांत में है या नहीं, यह जरूर देखें। / In restricted domains, always check that the found (x) really lies in the domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\), (f(x)=\frac{3x+1}{x-2}) के लिए सही कथन चुनिए।
For \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\), (f(x)=\frac{3x+1}{x-2}), choose the correct statement.
#onto function
#rational function
#excluded value
#preimage
A (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / (f) is not onto because (0) is not obtained
B (f) सर्वाच्छादक है / (f) is onto
C (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि (3) सहप्रांत में है / (f) is not onto because (3) is in the codomain
D (f) केवल धनात्मक मान देता है / (f) gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (f) सर्वाच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-3}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\), then solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-3}\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में \(y\ne3\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और जाँचने पर \(x\ne2\) रहता है। / Since \(y\ne3\) in the codomain, this (x) is defined and it also satisfies \(x\ne2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में छूटे हुए मान को हर के शून्य से जोड़कर देखें। / In rational functions, relate the missed value to the denominator restriction.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=x-3 +1), क्या सर्वाच्छादक है?
Is \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=x-3 +1), onto?
#onto function
#cubic shift
#preimage
#real numbers
A हाँ क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) है / Yes because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
B नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / No because (1) is not obtained
C नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / No because negative values are not obtained
D नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / No because (0) is not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) है / Yes because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। / Take any real number (y) in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक है और \(x^3+1=y\) देता है। / \(x=\sqrt[3]{y-1}\) is real and gives \(x^3+1=y\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन में ऊर्ध्व स्थानांतरण सर्वाच्छादकता नहीं हटाता। / A vertical shift of a cubic function does not destroy onto property over \(\mathbb{R}\).
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) और (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) and (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), is (f) onto or not?
#onto function
#range interval
#modulus
#preimage
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / It is not onto because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
इस फलन का परास ((-1,1)) है। / The range of this function is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(-1,1)\) के लिए \(y\ge0\) होने पर \(x=\frac{y}{1-y}\) और (y<0) होने पर \(x=\frac{y}{1+y}\) लिया जा सकता है। / For \(y\ge0\), take \(x=\frac{y}{1-y}\), and for (y<0), take \(x=\frac{y}{1+y}\).
Step 3
Exam Tip
खंडों में परिभाषित व्यवहार को अलग-अलग जाँचना लाभदायक है। / For modulus-based expressions, checking cases separately is helpful.
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यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\tan x), तो (f) सर्वाच्छादक क्यों है?
If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), why is (f) onto?
#onto function
#tangent
#principal interval
#preimage
A क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी प्रांत में होता है / Because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this domain
B क्योंकि \(\tan x\) केवल ([-1,1]) में रहता है / Because \(\tan x\) stays only in ([-1,1])
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि सहप्रांत सीमित है / Because the codomain is finite
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Correct Answer
A. क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी प्रांत में होता है / Because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this domain
Step 1
Concept
\(\tan x\) का मुख्य अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) पूरे \(\mathbb{R}\) पर फैलता है। / On the principal interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), \(\tan x\) covers all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में मिलता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in that interval.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मान सर्वाच्छादकता दिखाने में मदद करते हैं। / Inverse trigonometric values help prove onto property.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) तथा (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is (f)?
#onto function
#reciprocal
#preimage
#codomain
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
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Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत में कोई भी \(y\ne0\) लें। / Take any \(y\ne0\) in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। / Choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत से (0) हटाने पर यह फलन सर्वाच्छादक बन जाता है। / Removing (0) from the codomain makes this reciprocal function onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) और (f(x)=\frac{2x+1}{x-1}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) and (f(x)=\frac{2x+1}{x-1}), is (f) onto or not?
#onto function
#rational function
#preimage
#codomain
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (2) सहप्रांत में है / Not onto because (2) is in the codomain
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / Not onto because (0) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / Not onto because (1) is not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+1}{x-1}\) मानकर \(x=\frac{y+1}{y-2}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{2x+1}{x-1}\), which gives \(x=\frac{y+1}{y-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में \(y\ne2\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और \(x\ne1\) भी रहता है। / Since the codomain has \(y\ne2\), this (x) is defined and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For rational functions, solve for (x) in terms of (y) to test onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-7), तो (f) सर्वाच्छादक क्यों है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-7), why is (f) onto?
#onto function
#linear function
#preimage
#class 12
A क्योंकि किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) मिल जाता है / Because for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+7}{2}\) exists
B क्योंकि (2x-7) सदैव धनात्मक है / Because (2x-7) is always positive
C क्योंकि (x=0) पर (y=0) है / Because at (x=0), (y=0)
D क्योंकि इसका प्रांत सीमित है / Because its domain is finite
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Correct Answer
A. क्योंकि किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) मिल जाता है / Because for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+7}{2}\) exists
Step 1
Concept
सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। / Take any real number (y) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
समीकरण (y=2x-7) हल करने पर \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक मिलता है। / Solving (y=2x-7) gives \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो वास्तविक से वास्तविक पर सर्वाच्छादकता मिलती है। / A non-constant linear function from real numbers to real numbers is onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) इस प्रकार है कि (f(n)=n+5), तो क्या (f) सर्वाच्छादक है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(n)=n+5), is (f) onto?
#onto function
#integers
#preimage
#linear function
A हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5 ) लिया जा सकता है / Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5 ) can be taken
B नहीं क्योंकि (5) छूट जाता है / No because (5) is missed
C नहीं क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ छूट जाती हैं / No because negative numbers are missed
D हाँ केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Yes only on positive integers
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5 ) लिया जा सकता है / Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5 ) can be taken
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी अवयव \(m\in\mathbb{Z}\) मानें। / Take any codomain element \(m\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=m-5 ) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) हो जाता है। / (n=m-5 ) is also an integer and (f(n)=m).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थानांतरण वाले फलन सामान्यतः सर्वाच्छादकता के लिए उल्टा मान देकर जाँचे जाते हैं। / For translation functions on integers, test onto by writing the preimage directly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) और (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) and (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}), choose the correct statement.
#onto function
#rational function
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (3) सहप्रांत में है / It is not onto because (3) is in the codomain
D यह केवल स्थिर फलन है / It is only a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानकर (x) निकालें। / Put \(y=\frac{3x+1}{x+2}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(yx+2y=3x+1), इसलिए \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), जो हर \(y\ne3\) के लिए परिभाषित है। / (yx+2y=3x+1), so \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), which is defined for every \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में जिस मान पर हर कटता है, उसे सहप्रांत से हटाकर आच्छादी जाँची जाती है। / In rational functions, the value that makes solving impossible is often excluded from the codomain.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x) है, तो सही कथन कौन सा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x), which statement is correct?
#onto function
#logarithm
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह केवल (\(0,\infty\)) में मान देता है / It gives values only in (\(0,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\ln x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है जब (x>0)। / The range of \(\ln x\) is all \(\mathbb{R}\) for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=e^y>0\), इसलिए (x) प्रांत में है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=e^y>0\), so (x) is in the domain.
Step 3
Exam Tip
लघुगणक और घातीय फलन एक-दूसरे के पूर्वप्रतिबिंब खोजने में सहायक हैं। / Logarithmic and exponential functions help find preimages of each other.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-3 +1) है, तो यह आच्छादी क्यों है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-3 +1), why is it onto?
#onto function
#cubic
#preimage
#class 12
A हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) प्रांत में है / For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) is in the domain
B हर \(y\ge1\) के लिए (x=y+1) चाहिए / For every \(y\ge1\), (x=y+1) is needed
C क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
D क्योंकि यह केवल (1) देता है / Because it gives only (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) प्रांत में है / For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) is in the domain
Step 1
Concept
\(y=x^3+1\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिलता है। / From \(y=x^3+1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge1\) होने पर \(y-1\ge0\), इसलिए \(x\ge0\) और प्रांत में है। / If \(y\ge1\), then \(y-1\ge0\), so \(x\ge0\) and belongs to the domain.
Step 3
Exam Tip
पूर्वप्रतिबिंब प्रांत में मिलना आच्छादी सिद्ध करने की मुख्य शर्त है। / Finding a valid preimage in the domain is the key condition for onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1) है, तो किसी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x) क्या होगा जिससे (f(x)=y)?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1), what is (x) for any \(y\in\mathbb{R}\) such that (f(x)=y)?
#onto function
#cube root
#preimage
#class 12
A \(x=\sqrt[3]{y-1}\)
B \(x=\sqrt{y-1}\)
C \(x=y^3-1\)
D \(x=\frac{1}{y-1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x=\sqrt[3]{y-1}\)
Step 1
Concept
\(y=x^3+1\) से \(x^3=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^3+1\), we get \(x^3=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक होता है। / For every real (y), \(\sqrt[3]{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है, इसलिए यह आच्छादी सिद्ध करने में सहायक है। / Cube root is defined for every real number, so it helps prove onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) है जहाँ \(a\ne0\), तो फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) where \(a\ne0\), what type of function is it?
#onto function
#linear function
#preimage
#class 12
A आच्छादी / Onto
B आच्छादी नहीं / Not onto
C स्थिर / Constant
D केवल सीमित परास वाला / Having only bounded range
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादी / Onto
Step 1
Concept
(y=ax+b) मानकर (x) निकालें। / Put (y=ax+b) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-b}{a}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है क्योंकि \(a\ne0\)। / \(x=\frac{y-b}{a}\) is real for every real (y) because \(a\ne0\).
Step 3
Exam Tip
गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
What is the correct conclusion about \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x})?
#onto function
#reciprocal
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (-1) नहीं मिलता / It is not onto because (-1) is not obtained
D यह (0) को भी देता है / It also gives (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का हर \(y\ne0\) मान लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=y) के लिए \(x=\frac{1}{y}\), जो प्रांत में है क्योंकि \(y\ne0\)। / For (f(x)=y), choose \(x=\frac{1}{y}\), which belongs to the domain because \(y\ne0\).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (0) को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, excluding (0) from domain and codomain is important.
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फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), (f(x)=\frac{x+1}{x-1}) के लिए सही कथन चुनिए।
For \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), choose the correct statement.
#onto function
#rational function
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (1) सहप्रांत में नहीं है / It is not onto because (1) is not in codomain
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{x+1}{x-1}\) मानकर (x) निकालें। / Put \(y=\frac{x+1}{x-1}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(yx-y=x+1), इसलिए \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो हर \(y\ne1\) के लिए परिभाषित है। / (yx-y=x+1), so \(x=\frac{y+1}{y-1}\), defined for every \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
जब हर सहप्रांत मान के लिए मान्य (x) मिले, फलन आच्छादी होता है। / If every codomain value gives a valid (x), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to [1,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to [1,\infty\)), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), what type is (f)?
#relations and functions
#onto function
#preimage construction
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास ([0,1]) है / Range is ([0,1])
D केवल (1) मिलता है / Only (1) is obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
किसी भी \(y\ge1\) के लिए \(y=\sqrt{x^2+1}\) मानें। / For any \(y\ge1\), set \(y=\sqrt{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2=y^2-1\) और \(x=\sqrt{y^2-1}\) वास्तविक मिलता है। / Then \(x^2=y^2-1\), so \(x=\sqrt{y^2-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) बना सके तो आच्छादकता सिद्ध हो जाती है। / If you can construct (x) from the target value, onto is proved.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to [1,\infty\)), (f(x)=e^{x-2 }) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
What is the correct conclusion for \(f:\mathbb{R}\to [1,\infty\)), (f(x)=e^{x-2 })?
#relations and functions
#onto function
#target preimage
A आच्छादक है / Onto
B आच्छादक नहीं है / Not onto
C परास ((0,1)) है / Range is ((0,1))
D परास \(\mathbb{R}\) है / Range is \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादक है / Onto
Step 1
Concept
(x=0) पर \(e^{x^2}=1\) मिलता है। / At (x=0), \(e^{x^2}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{\ln y}\) लिया जा सकता है। / For any \(y\ge1\), we can take \(x=\sqrt{\ln y}\).
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) बनाकर आच्छादकता को साफ सिद्ध करें। / Prove onto clearly by constructing (x) from the target value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब (x<2) और (f(x)=1) जब \(x\ge2\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when (x<2) and (f(x)=1) when \(x\ge2\), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=1) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=2) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=2) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil 2x\rceil) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil 2x\rceil), choose the correct option.
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल सम पूर्णांक देता है / It gives only even integers
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil 2x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil 2x\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=\frac{k}{2}\) रखने पर \(\lceil 2x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take \(x=\frac{k}{2}\), then \(\lceil 2x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन में अंदर का रैखिक भाग सभी आवश्यक पूर्णांक बना सकता है। / The linear expression inside the ceiling can produce all required integers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x-3\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x-3\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x-3\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+3) रखने पर \(\lfloor x-3\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+3), then \(\lfloor x-3\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
नीचे पूर्णांक फलन पूर्णांक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x+8}) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x+8}), what is the correct statement?
#cube root
#onto
#real numbers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल अऋणात्मक मान देता है / It gives only non-negative values
D यह (x<-8) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<-8)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3-8\) लेने पर \(\sqrt[3]{x+8}=y\) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3-8\), then \(\sqrt[3]{x+8}=y\).
Step 3
Exam Tip
घनमूल रूप \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है। / A cube-root form gives all real values on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\) और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a),(5,b)\}\) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a),(5,b)\}\), why is (f) not onto?
#finite mapping
#not onto
#missing preimage
#codomain
A क्योंकि (d) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (d) has no preimage
B क्योंकि (a) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (a) has no preimage
C क्योंकि (b) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (b) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (d) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (d) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंबों में (a,b,c) आते हैं। / The listed images include (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का (d) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। / The codomain element (d) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए, तो फलन आच्छादी नहीं है। / If even one codomain element is missed, the function is not onto.
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यदि (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), which statement is correct?
#tangent function
#onto
#standard interval
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ([-1,1]) में मान देता है / It gives values only in ([-1,1])
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस मानक अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। / On this standard interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में होता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का आच्छादी अंतराल याद रखें। / Remember the onto interval of \(\tan x\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए (x) का रूप क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), what form of (x) shows that (f) is onto?
#rational function
#onto
#fractional linear
#preimage
A \(x=\frac{y+3}{y-2}\)
B \(x=\frac{y-3}{y+2}\)
C \(x=\frac{2y+3}{y-1}\)
D \(x=y-2\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{y+3}{y-2}\)
Step 1
Concept
\(\frac{2x+3}{x-1}=y\) रखें। / Put \(\frac{2x+3}{x-1}=y\).
Step 2
Why this answer is correct
(2x+3=xy-y), इसलिए (x(y-2)=y+3) और \(x=\frac{y+3}{y-2}\)। / Then (2x+3=xy-y), so (x(y-2)=y+3) and \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
चूंकि सहप्रांत में (y=2) नहीं है, यह पूर्वप्रतिबिंब मान्य रहता है। / Since (y=2) is not in the codomain, this preimage is valid.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{2}{x-3}) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{2}{x-3}), which statement is correct?
#reciprocal function
#onto
#nonzero range
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह (x=3) पर परिभाषित है / It is defined at (x=3)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ne0\) लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{x-3}=y\) से \(x=3+\frac{2}{y}\) मिलता है, जो (3) नहीं है। / From \(\frac{2}{x-3}=y\), we get \(x=3+\frac{2}{y}\), which is not (3).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलन उचित सहप्रांत पर आच्छादी होते हैं। / Reciprocal-type functions are onto when the codomain is chosen correctly.
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यदि (f:\(2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-2)) है, तो (f) आच्छादी क्यों है?
If (f:\(2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-2)), why is (f) onto?
#logarithmic function
#onto
#domain
#preimage
A हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है / For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
B हर (y) के लिए (x=y+2) लेना जरूरी है / For every (y), one must take (x=y+2)
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=2) पर भी परिभाषित है / It is also defined at (x=2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है / For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (\ln(x-2)=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), so (\ln(x-2)=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x-2=e^y\), यानी \(x=2+e^y\), जो हमेशा (2) से बड़ा है। / Then \(x-2=e^y\), so \(x=2+e^y\), which is always greater than (2).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने प्राकृतिक धनात्मक अंदरूनी भाग पर सभी वास्तविक मान देता है। / A logarithmic function gives all real values when its inside expression is positive.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{3}) है, तो (f) आच्छादी है क्योंकि किस (x) से (y) मिलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{3}), then (f) is onto because which (x) gives (y)?
#linear function
#onto proof
#preimage
#real numbers
A \(x=3y\)
B \(x=\frac{y}{3}\)
C \(x=y+3\)
D \(x=3-y\)
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Correct Answer
A. \(x=3y\)
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर \(\frac{x}{3}=y\) मिलता है। / Put (f(x)=y), so \(\frac{x}{3}=y\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x=3y), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / This gives (x=3y), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
हर सहप्रांत मान का पूर्वप्रतिबिंब मिल जाए, तो फलन आच्छादी होता है। / If every codomain value has a preimage, the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब \(x\le0\) और (f(x)=1) जब (x>0), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when \(x\le0\) and (f(x)=1) when (x>0), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=0) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=0) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=1) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x-1\rceil) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x-1\rceil), choose the correct option.
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil x-1\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil x-1\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+1) रखने पर \(\lceil x-1\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+1), then \(\lceil x-1\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन पूर्णांक सहप्रांत को पूरा ढक सकता है। / A ceiling function can cover an integer codomain completely.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह वास्तविक मान देता ही नहीं / It gives no real values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x+2\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x+2\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k-2) रखने पर \(\lfloor x+2\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k-2), then \(\lfloor x+2\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक सहप्रांत पर नीचे पूर्णांक फलन आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x-5}) है, तो सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x-5}), which option is correct?
#cube root
#onto
#real numbers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल अऋणात्मक मान देता है / It gives only non-negative values
D यह (x<5) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3+5\) लेने पर (f(x)=y)। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3+5\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है। / A cube-root function takes all real values on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:{2,4,6}\to{0,1}\), (f(n)=0) जब (n) सम हो और (f(n)=1) जब (n) विषम हो, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:{2,4,6}\to{0,1}\), where (f(n)=0) when (n) is even and (f(n)=1) when (n) is odd, why is (f) not onto?
#finite sets
#not onto
#parity
#missing preimage
A क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
B क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
C क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
D क्योंकि सहप्रांत खाली है / Because the codomain is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
प्रांत के सभी अवयव (2,4,6) सम हैं। / All domain elements (2,4,6) are even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन का मान हमेशा (0) है और (1) कभी नहीं मिलता। / Therefore, the function value is always (0), and (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत का कोई एक मान भी छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If even one codomain value is missed, the function is not onto.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}), choose the correct option about (f).
#square root
#onto
#preimage
#domain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह (x=0) पर परिभाषित है / It is defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\), इसलिए फलन परिभाषित है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), so the function is defined.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2+1\) लेने पर (f(x)=y)। / For every \(y\ge0\), take \(x=y^2+1\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए वर्ग करें। / For square-root functions, square the target value to find a preimage.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,p),(4,q)\}\) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,p),(4,q)\}\), why is (f) not onto?
#finite mapping
#not onto
#missing image
#preimage
A क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (r) has no preimage
B क्योंकि (p) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (p) has no preimage
C क्योंकि (q) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (q) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (r) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंब केवल (p) और (q) हैं। / The listed images are only (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का (r) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। / The codomain element (r) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
एक भी छूटा सहप्रांत अवयव आच्छादीपन को समाप्त कर देता है। / Even one missed codomain element destroys onto nature.
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यदि (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)), which statement is correct?
#logarithmic function
#onto
#domain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=1) पर परिभाषित है / It is defined at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x>1) होने पर (x-1>0)। / Since (x>1), (x-1>0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=1+e^y\) लेने पर (\ln(x-1)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=1+e^y\), then (\ln(x-1)=y).
Step 3
Exam Tip
अंदर की राशि धनात्मक बनी रहे, तो लघुगणक सभी वास्तविक मान दे सकता है। / A logarithm can give all real values when its inside quantity stays positive.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8), which statement is correct about (f)?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y+8) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y+8) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर निश्चित संख्या घटाने वाला फलन सभी पूर्णांक ढकता है। / A fixed shift on integers covers all integers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+6) है, तो (f(x)=y) के लिए (x) का सही मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+6), what is the correct value of (x) for (f(x)=y)?
#linear equation
#onto proof
#preimage
#class 12
A \(x=\frac{6-y}{3}\)
B \(x=\frac{y-6}{3}\)
C \(x=3y+6\)
D \(x=y-6\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x=\frac{6-y}{3}\)
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (-3x+6=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), giving (-3x+6=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (-3x=y-6), इसलिए \(x=\frac{6-y}{3}\)। / Then (-3x=y-6), so \(x=\frac{6-y}{3}\).
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक (x) मिल रहा है, इसलिए फलन आच्छादी है। / Since a real (x) exists for every real (y), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+12) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+12), which statement about (f) is correct?
#onto function
#linear function
#preimage
#real numbers
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर वास्तविक मान मिलना चाहिए। / For onto nature, every real value in the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y-12) रखने पर (f(x)=y) मिल जाता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y-12), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
(x) में केवल जोड़ या घटाव वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear shift function on \(\mathbb{R}\) is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=1) हर (x) के लिए है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=1) for every (x), why is (f) not onto?
#constant function
#not onto
#two element codomain
#missing preimage
A क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
B क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
C क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
D क्योंकि सहप्रांत खाली है / Because the codomain is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
फलन हर (x) पर केवल (1) देता है। / The function gives only (1) for every (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (0) भी है, लेकिन वह किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। / The codomain also contains (0), but it is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन दो-अवयवी सहप्रांत पर आच्छादी नहीं हो सकता। / A constant function cannot be onto a two-element codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब (x<0) और (f(x)=1) जब \(x\ge0\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when (x<0) and (f(x)=1) when \(x\ge0\), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (1) देता है / It gives only (1)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=-1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=-1) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=0) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x\rceil) है, तो सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x\rceil), which option is correct?
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह वास्तविक मान नहीं देता / It does not give real values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k), then \(\lceil x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक सहप्रांत पर छत फलन आच्छादी होता है। / The ceiling function is onto an integer codomain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=\sqrt{x}+1) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=\sqrt{x}+1), what is the correct statement?
#square root
#onto
#preimage
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}+1\) का परास \([1,\infty\)) है। / The range of \(\sqrt{x}+1\) is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए (x=(y-1)2 ) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), take (x=(y-1)2 ), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन सही सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / A square-root function is onto its correct codomain.
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यदि \(f:{1,3,5}\to{0,1}\), (f(n)) (n) के सम होने पर (0) और विषम होने पर (1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:{1,3,5}\to{0,1}\), where (f(n)) is (0) when (n) is even and (1) when (n) is odd, why is (f) not onto?
#finite sets
#not onto
#parity
#missing preimage
A क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
B क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
C क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
D क्योंकि सहप्रांत खाली है / Because the codomain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
प्रांत के सभी अवयव (1,3,5) विषम हैं। / All domain elements (1,3,5) are odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन का मान हमेशा (1) है और (0) कभी नहीं मिलता। / Therefore, the function value is always (1), and (0) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत का कोई मान छूटे तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If any codomain value is missed, the function is not onto.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है, तो सहप्रांत (B) के किसी भी अवयव (b) के लिए क्या जरूर होगा?
If \(f:A\to B\) is onto, what must be true for any element (b) of the codomain (B)?
#onto definition
#preimage
#codomain
#function
A कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b) / There exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
B हर \(a\in A\) के लिए (f(a)=b) होगा / For every \(a\in A\), (f(a)=b)
C (b) प्रांत में ही होना चाहिए / (b) must belong to the domain
D (B) खाली होना चाहिए / (B) must be empty
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Correct Answer
A. कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b) / There exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादी की परिभाषा सहप्रांत के हर अवयव से जुड़ी है। / The definition of onto is about every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(b\in B\) के लिए कम से कम एक \(a\in A\) होना चाहिए जिससे (f(a)=b)। / For every \(b\in B\), at least one \(a\in A\) must exist such that (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में पूर्वप्रतिबिंब की उपस्थिति मुख्य बात है। / The existence of a preimage is the key idea in onto nature.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\) और \(f=\{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b)\}\) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b)\}\), why is (f) not onto?
#finite mapping
#not onto
#missing preimage
#codomain
A क्योंकि (c) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (c) has no preimage
B क्योंकि (a) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (a) has no preimage
C क्योंकि (b) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (b) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (c) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (c) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंबों में केवल (a) और (b) आते हैं। / The listed images contain only (a) and (b).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का अवयव (c) किसी भी प्रांत अवयव से नहीं मिला। / The codomain element (c) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If even one codomain element is missed, the function is not onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+4) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n+4), which statement is correct?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y-4) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y-4) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर जोड़ वाला फलन सभी पूर्णांक मान प्राप्त कर सकता है। / A shift function on integers can obtain every integer value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=4x+1) है, तो (f(x)=y) के लिए (x) का सही मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=4x+1), what is the correct value of (x) for (f(x)=y)?
#onto proof
#linear equation
#preimage
#range
A \(x=\frac{y-1}{4}\)
B \(x=\frac{y+1}{4}\)
C \(x=4y-1\)
D \(x=y+4\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{y-1}{4}\)
Step 1
Concept
(4x+1=y) रखें। / Put (4x+1=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (4x=y-1), इसलिए \(x=\frac{y-1}{4}\) मिलता है। / This gives (4x=y-1), so \(x=\frac{y-1}{4}\).
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए ऐसा वास्तविक (x) मिल जाए, तो फलन आच्छादी है। / If such a real (x) exists for every real (y), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-9) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-9), which statement about (f) is correct?
#onto function
#linear function
#real numbers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए। / For onto nature, every value of the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y+9) रखें, तब (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y+9), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी नहीं है, तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is not onto, which statement is correct?
#onto definition
#not onto
#preimage
#codomain
A (B) में कम से कम एक अवयव ऐसा है जिसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / At least one element of (B) has no preimage
B (A) का हर अवयव खाली है / Every element of (A) is empty
C (f(A)=B) जरूर है / (f(A)=B) is surely true
D सहप्रांत हमेशा खाली है / The codomain is always empty
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Correct Answer
A. (B) में कम से कम एक अवयव ऐसा है जिसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / At least one element of (B) has no preimage
Step 1
Concept
आच्छादी का अर्थ है कि सहप्रांत का हर अवयव परास में आए। / Onto means every element of the codomain is in the range.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने का अर्थ है कि सहप्रांत का कम से कम एक अवयव छूट गया। / Not onto means at least one codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के विलोम को समझना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Understanding the negation of the definition is very useful in exams.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -2) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -2), what is the correct conclusion about (f)?
#cubic function
#onto
#vertical shift
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह केवल (-2) मान देता है / It gives only (-2)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x^3-2=y\) रखें। / For any \(y\in\mathbb{R}\), put \(x^3-2=y\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए मान्य है। / This gives \(x=\sqrt[3]{y+2}\), valid for every real (y).
Step 3
Exam Tip
घन फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव होने पर भी आच्छादीपन बना रहता है। / A vertical shift of a cubic function remains onto \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x) है, तो (f) आच्छादी है क्योंकि किस (x) से (y) मिलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x), then (f) is onto because which (x) gives (y)?
#linear function
#onto
#preimage
#real numbers
A \(x=\frac{y}{5}\)
B \(x=5y\)
C \(x=y+5\)
D \(x=y-5\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{y}{5}\)
Step 1
Concept
(5x=y) हल करें। / Solve (5x=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x=\frac{y}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / This gives \(x=\frac{y}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
(ax) रूप में \(a\ne0\) हो तो फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A function of the form (ax) with \(a\ne0\) is onto on \(\mathbb{R}\).
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