A. क्योंकि (2) की दो अलग छवियां हैं/Because (2) has two different images
Step 1
Concept
(2) is associated with both (q) and (r), so it is not a function. In exams, check different images of a repeated first component.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (2) की दो अलग छवियां हैं / Because (2) has two different images. (2) is associated with both (q) and (r), so it is not a function. In exams, check different images of a repeated first component.
Step 3
Exam Tip
(2) को (q) और (r) दोनों से जोड़ा गया है, इसलिए यह फलन नहीं है। परीक्षा में दोहराए पहले घटक की अलग छवियां देखें।
A function assigns exactly one image to every element of domain (A), so it will have (3) pairs. In exams, pairs in a function equal the number of domain elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3). A function assigns exactly one image to every element of domain (A), so it will have (3) pairs. In exams, pairs in a function equal the number of domain elements.
Step 3
Exam Tip
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होती है, इसलिए युग्मों की संख्या (3) होगी। परीक्षा में फलन के युग्म प्रांत के तत्वों के बराबर होते हैं।
All domain elements have image (a), so it is a constant function. In exams, the same image does not make a function invalid.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थिर फलन / Constant function. All domain elements have image (a), so it is a constant function. In exams, the same image does not make a function invalid.
Step 3
Exam Tip
सभी प्रांत तत्वों की छवि (a) है, इसलिए यह स्थिर फलन है। परीक्षा में समान छवि आने से फलन गलत नहीं होता।
A. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है/It is a function because every (x) has exactly one image
Step 1
Concept
For every real (x), (|x|) gives one definite real value. Two different inputs having the same image does not invalidate a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है / It is a function because every (x) has exactly one image. For every real (x), (|x|) gives one definite real value. Two different inputs having the same image does not invalidate a function.
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (x) के लिए (|x|) एक निश्चित वास्तविक मान देता है। दो अलग इनपुट की समान छवि होना फलन को गलत नहीं करता।
A. क्योंकि (x=2) पर हर (0) हो जाता है/Because the denominator becomes (0) at (x=2)
Step 1
Concept
(x=2) is in the domain but (f(2)) is not defined. In exams, find values that make the denominator zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=2) पर हर (0) हो जाता है / Because the denominator becomes (0) at (x=2). (x=2) is in the domain but (f(2)) is not defined. In exams, find values that make the denominator zero.
Step 3
Exam Tip
(x=2) प्रांत में है पर (f(2)) परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर भिन्न में हर शून्य करने वाले मान खोजें।
A. क्योंकि (x=2) को प्रांत से हटाया गया है/Because (x=2) is removed from the domain
Step 1
Concept
After removing the value that made the denominator (0), every remaining (x) has one image. In exams, changing the domain can make a rule valid.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=2) को प्रांत से हटाया गया है / Because (x=2) is removed from the domain. After removing the value that made the denominator (0), every remaining (x) has one image. In exams, changing the domain can make a rule valid.
Step 3
Exam Tip
जिस मान पर हर (0) होता था, उसे प्रांत से हटाने पर हर शेष (x) की एक छवि है। परीक्षा में प्रांत बदलने से नियम वैध हो सकता है।
(3) has two different images (6) and (4). In exams, if one domain element has two images, the relation is not a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (3). (3) has two different images (6) and (4). In exams, if one domain element has two images, the relation is not a function.
Step 3
Exam Tip
(3) की दो अलग छवियां (6) और (4) हैं। परीक्षा में एक प्रांत तत्व की दो छवियां मिलें तो संबंध फलन नहीं है।
(A) has both odd and even elements, so both images (1) and (0) are obtained. In exams, put only obtained values in the range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ({0,1}). (A) has both odd and even elements, so both images (1) and (0) are obtained. In exams, put only obtained values in the range.
Step 3
Exam Tip
(A) में विषम और सम दोनों प्रकार के तत्व हैं, इसलिए छवियां (1) और (0) दोनों मिलती हैं। परीक्षा में परिसर में केवल प्राप्त मान रखें।
\(A\times B\) has \(2\times 3=6\) pairs, so the number of relations is \(2^6=64\). In exams, relations are counted as subsets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^6=64\). \(A\times B\) has \(2\times 3=6\) pairs, so the number of relations is \(2^6=64\). In exams, relations are counted as subsets.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में \(2\times 3=6\) युग्म हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में संबंध की गिनती उपसमुच्चयों से होती है।
For (2) domain elements, there are (3) codomain choices each, so total functions are \(3^2=9\). In exams, keep the counts of functions and relations separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(3^2=9\). For (2) domain elements, there are (3) codomain choices each, so total functions are \(3^2=9\). In exams, keep the counts of functions and relations separate.
Step 3
Exam Tip
प्रांत के (2) तत्वों के लिए सहप्रांत की (3) पसंद हैं, इसलिए कुल \(3^2=9\) फलन हैं। परीक्षा में फलन और संबंध की संख्या अलग रखें।
In the reversed relation, each first component (2,4,6) has exactly one image. In exams, test the inverse relation separately by the function condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. फलन / Function. In the reversed relation, each first component (2,4,6) has exactly one image. In exams, test the inverse relation separately by the function condition.
Step 3
Exam Tip
उल्टे संबंध में हर पहले घटक (2,4,6) की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उल्टा संबंध भी अलग से फलन शर्त से जांचें।
Substituting (x=0,1,2,3) gives images (1,2,3,4). In exams, apply the rule to every domain element while finding range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({1,2,3,4}). Substituting (x=0,1,2,3) gives images (1,2,3,4). In exams, apply the rule to every domain element while finding range.
Step 3
Exam Tip
(x=0,1,2,3) रखने पर छवियां (1,2,3,4) मिलती हैं। परीक्षा में परिसर निकालते समय हर प्रांत तत्व पर नियम लगाएं।
A. क्योंकि (2) की कोई छवि नहीं है/Because (2) has no image
Step 1
Concept
Every element of (A) must have exactly one image in a function, but (2) is missing. In exams, compare first components with the whole domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (2) की कोई छवि नहीं है / Because (2) has no image. Every element of (A) must have exactly one image in a function, but (2) is missing. In exams, compare first components with the whole domain.
Step 3
Exam Tip
फलन में (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए, पर (2) छूट गया है। परीक्षा में पहले घटकों को पूरे प्रांत से मिलाएं।
In (f(a)=b), (a) is called the preimage and (b) is called the image. In exams, do not reverse these two terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्वछवि / Preimage. In (f(a)=b), (a) is called the preimage and (b) is called the image. In exams, do not reverse these two terms.
Step 3
Exam Tip
(f(a)=b) में (a) पूर्वछवि और (b) छवि कहलाता है। परीक्षा में इन दोनों शब्दों को उल्टा न करें।
The domain is the set of first components, so it is ({1,2,3,4}). In exams, look at the first components of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({1,2,3,4}). The domain is the set of first components, so it is ({1,2,3,4}). In exams, look at the first components of ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है, इसलिए ({1,2,3,4}) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों के पहले घटक देखें।
The range is the set of distinct second components, so it is ({3,5}). In exams, write a repeated value once in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({3,5}). The range is the set of distinct second components, so it is ({3,5}). In exams, write a repeated value once in a set.
Step 3
Exam Tip
परिसर अलग-अलग दूसरे घटकों का समुच्चय है, इसलिए ({3,5}) है। परीक्षा में दोहराए मान को समुच्चय में एक बार लिखें।
In a constant function, all domain elements map to one chosen element of (B). Therefore the number of constant functions is (4).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4). In a constant function, all domain elements map to one chosen element of (B). Therefore the number of constant functions is (4).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन में सभी प्रांत तत्वों की छवि (B) के किसी एक तत्व पर जाती है। इसलिए स्थिर फलनों की संख्या (4) है।
A. क्योंकि (x=1) की दो छवियां (1) और (-1) हैं/Because (x=1) has two images (1) and (-1)
Step 1
Concept
From \(y^2=1\), both (y=1) and (y=-1) are obtained. In exams, if one input has two images, it is not a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=1) की दो छवियां (1) और (-1) हैं / Because (x=1) has two images (1) and (-1). From \(y^2=1\), both (y=1) and (y=-1) are obtained. In exams, if one input has two images, it is not a function.
Step 3
Exam Tip
\(y^2=1\) से (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। परीक्षा में एक इनपुट की दो छवियां मिलें तो फलन नहीं होता।
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Step 1
Concept
For every \(x\in A\), \(x^2\in B\) and the image is exactly one. In exams, check whether the rule's images lie in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह (A) से (B) में फलन है / It is a function from (A) to (B). For every \(x\in A\), \(x^2\in B\) and the image is exactly one. In exams, check whether the rule's images lie in the codomain.
Step 3
Exam Tip
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(x^2\in B\) और छवि ठीक एक है। परीक्षा में नियम की छवियां सहप्रांत में हैं या नहीं, यह देखें।
\(2^1=2\), \(2^2=4\), and \(2^3=8\), so the range is ({2,4,8}). In exams, substitute every input in an exponential rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({2,4,8}). \(2^1=2\), \(2^2=4\), and \(2^3=8\), so the range is ({2,4,8}). In exams, substitute every input in an exponential rule.
Step 3
Exam Tip
\(2^1=2\), \(2^2=4\) और \(2^3=8\), इसलिए परिसर ({2,4,8}) है। परीक्षा में घातीय नियम में हर इनपुट रखें।
A. क्योंकि (f(1)=-1) है और \(-1\notin{0,1,2}\)/Because (f(1)=-1) and \(-1\notin{0,1,2}\)
Step 1
Concept
(f(1)=-1) is not in codomain (B), so it is not a function from (A) to (B). In exams, every output must lie in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (f(1)=-1) है और \(-1\notin{0,1,2}\) / Because (f(1)=-1) and \(-1\notin{0,1,2}\). (f(1)=-1) is not in codomain (B), so it is not a function from (A) to (B). In exams, every output must lie in the codomain.
Step 3
Exam Tip
(f(1)=-1) सहप्रांत (B) में नहीं है, इसलिए यह (A) से (B) में फलन नहीं होगा। परीक्षा में आउटपुट सहप्रांत में होना चाहिए।
In option (A), different domain elements have different images. In exams, for a one-one function, images should not repeat.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(1,a),(2,b),(3,c)}). In option (A), different domain elements have different images. In exams, for a one-one function, images should not repeat.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (A) में अलग-अलग प्रांत तत्वों की छवियां अलग-अलग हैं। परीक्षा में एक-एक फलन के लिए छवियों की पुनरावृत्ति न हो।
A. (d) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(d) is in the codomain but not in the range
Step 1
Concept
(d) is an element of codomain (B), but no domain element maps to it. In exams, the codomain may contain extra elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (d) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं / (d) is in the codomain but not in the range. (d) is an element of codomain (B), but no domain element maps to it. In exams, the codomain may contain extra elements.
Step 3
Exam Tip
(d) सहप्रांत (B) का तत्व है पर कोई प्रांत तत्व उस पर नहीं जा रहा। परीक्षा में सहप्रांत में अतिरिक्त तत्व हो सकते हैं।
There are (2) choices from (B) for each of the (4) elements of (A), so there are \(2^4=16\) functions. In exams, the base is the size of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^4=16\). There are (2) choices from (B) for each of the (4) elements of (A), so there are \(2^4=16\) functions. In exams, the base is the size of the codomain.
Step 3
Exam Tip
(A) के (4) तत्वों के लिए (B) की (2) पसंद हैं, इसलिए \(2^4=16\) फलन हैं। परीक्षा में आधार सहप्रांत की संख्या होती है।
\(A\times B\) has \(4\times 2=8\) pairs, so total relations are \(2^8=256\). In exams, count subsets of the Cartesian product for relations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^8=256\). \(A\times B\) has \(4\times 2=8\) pairs, so total relations are \(2^8=256\). In exams, count subsets of the Cartesian product for relations.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में \(4\times 2=8\) युग्म हैं, इसलिए कुल संबंध \(2^8=256\) हैं। परीक्षा में संबंधों के लिए कार्टेशियन गुणनफल के उपसमुच्चय गिनें।
A. (f) फलन है और इसका परिसर ({0,1,4}) है/(f) is a function and its range is ({0,1,4})
Step 1
Concept
Every domain element has exactly one image and the images are ({0,1,4}). In exams, identify domain and range separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (f) फलन है और इसका परिसर ({0,1,4}) है / (f) is a function and its range is ({0,1,4}). Every domain element has exactly one image and the images are ({0,1,4}). In exams, identify domain and range separately.
Step 3
Exam Tip
हर प्रांत तत्व की ठीक एक छवि है और छवियां ({0,1,4}) हैं। परीक्षा में प्रांत और परिसर को अलग-अलग पहचानें।
A. (12) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(12) is in the codomain but not in the range
Step 1
Concept
(f(1),f(2),f(3)) give (3,6,9), not (12). In exams, do not put an unattained codomain element in the range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (12) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं / (12) is in the codomain but not in the range. (f(1),f(2),f(3)) give (3,6,9), not (12). In exams, do not put an unattained codomain element in the range.
Step 3
Exam Tip
(f(1),f(2),f(3)) से (3,6,9) मिलते हैं, (12) नहीं। परीक्षा में अप्राप्त सहप्रांत तत्व को परिसर में न रखें।
Each domain element can map to either (0) or (1), so there are (2) choices for each. In exams, multiply these choices for the total count.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2). Each domain element can map to either (0) or (1), so there are (2) choices for each. In exams, multiply these choices for the total count.
Step 3
Exam Tip
हर प्रांत तत्व (0) या (1) में से किसी एक पर जा सकता है, इसलिए प्रत्येक के लिए (2) पसंद हैं। परीक्षा में कुल गिनती के लिए इन पसंदों को गुणा करें।
Only (3) in domain (A) has no image, so adding ((3,5)) gives every element exactly one image. In exams, first identify the missing domain element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((3,5)). Only (3) in domain (A) has no image, so adding ((3,5)) gives every element exactly one image. In exams, first identify the missing domain element.
Step 3
Exam Tip
प्रांत (A) में केवल (3) की छवि नहीं है, इसलिए ((3,5)) जोड़ने से हर तत्व की ठीक एक छवि हो जाएगी। परीक्षा में पहले छूटे हुए प्रांत तत्व को पहचानें।
