यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) इस प्रकार है कि (f(n)=n+5), तो क्या (f) सर्वाच्छादक है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(n)=n+5), is (f) onto?
#onto function
#integers
#preimage
#linear function
A हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5 ) लिया जा सकता है / Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5 ) can be taken
B नहीं क्योंकि (5) छूट जाता है / No because (5) is missed
C नहीं क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ छूट जाती हैं / No because negative numbers are missed
D हाँ केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Yes only on positive integers
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5 ) लिया जा सकता है / Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5 ) can be taken
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी अवयव \(m\in\mathbb{Z}\) मानें। / Take any codomain element \(m\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=m-5 ) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) हो जाता है। / (n=m-5 ) is also an integer and (f(n)=m).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थानांतरण वाले फलन सामान्यतः सर्वाच्छादकता के लिए उल्टा मान देकर जाँचे जाते हैं। / For translation functions on integers, test onto by writing the preimage directly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) और (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) and (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}), choose the correct statement.
#onto function
#rational function
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (3) सहप्रांत में है / It is not onto because (3) is in the codomain
D यह केवल स्थिर फलन है / It is only a constant function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानकर (x) निकालें। / Put \(y=\frac{3x+1}{x+2}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(yx+2y=3x+1), इसलिए \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), जो हर \(y\ne3\) के लिए परिभाषित है। / (yx+2y=3x+1), so \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), which is defined for every \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में जिस मान पर हर कटता है, उसे सहप्रांत से हटाकर आच्छादी जाँची जाती है। / In rational functions, the value that makes solving impossible is often excluded from the codomain.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x) है, तो सही कथन कौन सा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x), which statement is correct?
#onto function
#logarithm
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह केवल (\(0,\infty\)) में मान देता है / It gives values only in (\(0,\infty\))
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\ln x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है जब (x>0)। / The range of \(\ln x\) is all \(\mathbb{R}\) for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=e^y>0\), इसलिए (x) प्रांत में है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=e^y>0\), so (x) is in the domain.
Step 3
Exam Tip
लघुगणक और घातीय फलन एक-दूसरे के पूर्वप्रतिबिंब खोजने में सहायक हैं। / Logarithmic and exponential functions help find preimages of each other.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-3 +1) है, तो यह आच्छादी क्यों है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-3 +1), why is it onto?
#onto function
#cubic
#preimage
#class 12
A हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) प्रांत में है / For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) is in the domain
B हर \(y\ge1\) के लिए (x=y+1) चाहिए / For every \(y\ge1\), (x=y+1) is needed
C क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
D क्योंकि यह केवल (1) देता है / Because it gives only (1)
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Correct Answer
A. हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) प्रांत में है / For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) is in the domain
Step 1
Concept
\(y=x^3+1\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिलता है। / From \(y=x^3+1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge1\) होने पर \(y-1\ge0\), इसलिए \(x\ge0\) और प्रांत में है। / If \(y\ge1\), then \(y-1\ge0\), so \(x\ge0\) and belongs to the domain.
Step 3
Exam Tip
पूर्वप्रतिबिंब प्रांत में मिलना आच्छादी सिद्ध करने की मुख्य शर्त है। / Finding a valid preimage in the domain is the key condition for onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1) है, तो किसी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x) क्या होगा जिससे (f(x)=y)?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1), what is (x) for any \(y\in\mathbb{R}\) such that (f(x)=y)?
#onto function
#cube root
#preimage
#class 12
A \(x=\sqrt[3]{y-1}\)
B \(x=\sqrt{y-1}\)
C \(x=y^3-1\)
D \(x=\frac{1}{y-1}\)
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Correct Answer
A. \(x=\sqrt[3]{y-1}\)
Step 1
Concept
\(y=x^3+1\) से \(x^3=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^3+1\), we get \(x^3=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक होता है। / For every real (y), \(\sqrt[3]{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है, इसलिए यह आच्छादी सिद्ध करने में सहायक है। / Cube root is defined for every real number, so it helps prove onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) है जहाँ \(a\ne0\), तो फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) where \(a\ne0\), what type of function is it?
#onto function
#linear function
#preimage
#class 12
A आच्छादी / Onto
B आच्छादी नहीं / Not onto
C स्थिर / Constant
D केवल सीमित परास वाला / Having only bounded range
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Correct Answer
A. आच्छादी / Onto
Step 1
Concept
(y=ax+b) मानकर (x) निकालें। / Put (y=ax+b) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-b}{a}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है क्योंकि \(a\ne0\)। / \(x=\frac{y-b}{a}\) is real for every real (y) because \(a\ne0\).
Step 3
Exam Tip
गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
What is the correct conclusion about \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x})?
#onto function
#reciprocal
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (-1) नहीं मिलता / It is not onto because (-1) is not obtained
D यह (0) को भी देता है / It also gives (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का हर \(y\ne0\) मान लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=y) के लिए \(x=\frac{1}{y}\), जो प्रांत में है क्योंकि \(y\ne0\)। / For (f(x)=y), choose \(x=\frac{1}{y}\), which belongs to the domain because \(y\ne0\).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (0) को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, excluding (0) from domain and codomain is important.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1) है, तो \(y\in[1,\infty\)) का पूर्वप्रतिबिंब क्या लिया जा सकता है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-2 +1), what preimage can be taken for \(y\in[1,\infty\))?
#onto function
#preimage
#quadratic
#class 12
A \(x=\sqrt{y-1}\)
B \(x=\sqrt{1-y}\)
C \(x=y^2+1\)
D \(x=\frac{1}{y-1}\)
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Correct Answer
A. \(x=\sqrt{y-1}\)
Step 1
Concept
\(y=x^2+1\) से \(x^2=y-1\) मिलता है। / From \(y=x^2+1\), we get \(x^2=y-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y\ge1\) होने से \(y-1\ge0\), इसलिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है। / Since \(y\ge1\), \(y-1\ge0\), so \(x=\sqrt{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी सिद्ध करते समय (y) से (x) निकालकर जाँचें कि (x) प्रांत में है। / To prove onto, solve for (x) in terms of (y) and check that (x) belongs to the domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), (f(x)=\frac{x+1}{x-1}) के लिए सही कथन चुनिए।
For \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), choose the correct statement.
#onto function
#rational function
#preimage
#class 12
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (1) सहप्रांत में नहीं है / It is not onto because (1) is not in codomain
C यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on positive numbers
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{x+1}{x-1}\) मानकर (x) निकालें। / Put \(y=\frac{x+1}{x-1}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(yx-y=x+1), इसलिए \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो हर \(y\ne1\) के लिए परिभाषित है। / (yx-y=x+1), so \(x=\frac{y+1}{y-1}\), defined for every \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
जब हर सहप्रांत मान के लिए मान्य (x) मिले, फलन आच्छादी होता है। / If every codomain value gives a valid (x), the function is onto.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए \(y\ge0\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या हो सकता है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x), what can be a preimage of \(y\ge0\) to show that (f) is onto?
#quadratic function
#onto
#preimage
#restricted domain
A \(x=-1+\sqrt{y+1}\)
B \(x=1+\sqrt{y+1}\)
C \(x=\sqrt{y}-2\)
D \(x=y^2+2\)
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Correct Answer
A. \(x=-1+\sqrt{y+1}\)
Step 1
Concept
\(x^2+2x=y\) को ((x+1)2 =y+1) लिखें। / Write \(x^2+2x=y\) as ((x+1)2 =y+1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=-1+\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge0\) रहता है और फलन मान (y) बनता है। / Taking \(x=-1+\sqrt{y+1}\) keeps \(x\ge0\) and gives function value (y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात रूप में पूर्ण वर्ग बनाकर पूर्वप्रतिबिंब निकालें। / Complete the square to find a preimage in quadratic forms.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब (x<2) और (f(x)=1) जब \(x\ge2\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when (x<2) and (f(x)=1) when \(x\ge2\), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=1) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=2) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=2) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil 2x\rceil) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil 2x\rceil), choose the correct option.
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल सम पूर्णांक देता है / It gives only even integers
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil 2x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil 2x\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=\frac{k}{2}\) रखने पर \(\lceil 2x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take \(x=\frac{k}{2}\), then \(\lceil 2x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन में अंदर का रैखिक भाग सभी आवश्यक पूर्णांक बना सकता है। / The linear expression inside the ceiling can produce all required integers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x-3\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x-3\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x-3\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+3) रखने पर \(\lfloor x-3\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+3), then \(\lfloor x-3\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
नीचे पूर्णांक फलन पूर्णांक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x+8}) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x+8}), what is the correct statement?
#cube root
#onto
#real numbers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल अऋणात्मक मान देता है / It gives only non-negative values
D यह (x<-8) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<-8)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3-8\) लेने पर \(\sqrt[3]{x+8}=y\) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3-8\), then \(\sqrt[3]{x+8}=y\).
Step 3
Exam Tip
घनमूल रूप \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है। / A cube-root form gives all real values on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}) है, तो (f) आच्छादी है क्योंकि किस पूर्वप्रतिबिंब से (y) मिलेगा?
If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}), then (f) is onto because which preimage gives (y)?
#square root
#onto
#preimage
#domain
A \(x=y^2+1\)
B \(x=y+1\)
C \(x=\sqrt{y}+1\)
D \(x=y^2-1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x=y^2+1\)
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई \(y\ge0\) लें। / Take any codomain value \(y\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=y^2+1\) रखने पर \(x\ge1\) और \(\sqrt{x-1}=y\) मिलता है। / If \(x=y^2+1\), then \(x\ge1\) and \(\sqrt{x-1}=y\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए लक्ष्य मान का वर्ग करें। / For a square-root function, square the target value to find a preimage.
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यदि (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), which statement is correct?
#tangent function
#onto
#standard interval
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ([-1,1]) में मान देता है / It gives values only in ([-1,1])
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस मानक अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। / On this standard interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में होता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का आच्छादी अंतराल याद रखें। / Remember the onto interval of \(\tan x\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए (x) का रूप क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), what form of (x) shows that (f) is onto?
#rational function
#onto
#fractional linear
#preimage
A \(x=\frac{y+3}{y-2}\)
B \(x=\frac{y-3}{y+2}\)
C \(x=\frac{2y+3}{y-1}\)
D \(x=y-2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x=\frac{y+3}{y-2}\)
Step 1
Concept
\(\frac{2x+3}{x-1}=y\) रखें। / Put \(\frac{2x+3}{x-1}=y\).
Step 2
Why this answer is correct
(2x+3=xy-y), इसलिए (x(y-2)=y+3) और \(x=\frac{y+3}{y-2}\)। / Then (2x+3=xy-y), so (x(y-2)=y+3) and \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
चूंकि सहप्रांत में (y=2) नहीं है, यह पूर्वप्रतिबिंब मान्य रहता है। / Since (y=2) is not in the codomain, this preimage is valid.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{2}{x-3}) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{2}{x-3}), which statement is correct?
#reciprocal function
#onto
#nonzero range
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह (x=3) पर परिभाषित है / It is defined at (x=3)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ne0\) लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{x-3}=y\) से \(x=3+\frac{2}{y}\) मिलता है, जो (3) नहीं है। / From \(\frac{2}{x-3}=y\), we get \(x=3+\frac{2}{y}\), which is not (3).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलन उचित सहप्रांत पर आच्छादी होते हैं। / Reciprocal-type functions are onto when the codomain is chosen correctly.
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यदि (f:\(2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-2)) है, तो (f) आच्छादी क्यों है?
If (f:\(2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-2)), why is (f) onto?
#logarithmic function
#onto
#domain
#preimage
A हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है / For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
B हर (y) के लिए (x=y+2) लेना जरूरी है / For every (y), one must take (x=y+2)
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=2) पर भी परिभाषित है / It is also defined at (x=2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है / For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (\ln(x-2)=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), so (\ln(x-2)=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x-2=e^y\), यानी \(x=2+e^y\), जो हमेशा (2) से बड़ा है। / Then \(x-2=e^y\), so \(x=2+e^y\), which is always greater than (2).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने प्राकृतिक धनात्मक अंदरूनी भाग पर सभी वास्तविक मान देता है। / A logarithmic function gives all real values when its inside expression is positive.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x-11) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए किसी \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x-11), what will be the preimage of any \(y\in\mathbb{R}\) to show that (f) is onto?
#onto function
#linear function
#preimage
#relations and functions
A \(x=\frac{y+11}{5}\)
B \(x=\frac{y-11}{5}\)
C \(x=5y+11\)
D \(x=11-5y\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{y+11}{5}\)
Step 1
Concept
आच्छादीपन जांचने के लिए (f(x)=y) रखें। / To test onto nature, put (f(x)=y).
Step 2
Why this answer is correct
(5x-11=y) से \(x=\frac{y+11}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From (5x-11=y), we get \(x=\frac{y+11}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सरल तरीका है। / For a linear function, solving (x) in terms of (y) is the easiest method.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{3}) है, तो (f) आच्छादी है क्योंकि किस (x) से (y) मिलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{3}), then (f) is onto because which (x) gives (y)?
#linear function
#onto proof
#preimage
#real numbers
A \(x=3y\)
B \(x=\frac{y}{3}\)
C \(x=y+3\)
D \(x=3-y\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x=3y\)
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर \(\frac{x}{3}=y\) मिलता है। / Put (f(x)=y), so \(\frac{x}{3}=y\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x=3y), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / This gives (x=3y), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
हर सहप्रांत मान का पूर्वप्रतिबिंब मिल जाए, तो फलन आच्छादी होता है। / If every codomain value has a preimage, the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब \(x\le0\) और (f(x)=1) जब (x>0), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when \(x\le0\) and (f(x)=1) when (x>0), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=0) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=0) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=1) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x-1\rceil) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil x-1\rceil), choose the correct option.
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil x-1\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil x-1\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+1) रखने पर \(\lceil x-1\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+1), then \(\lceil x-1\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन पूर्णांक सहप्रांत को पूरा ढक सकता है। / A ceiling function can cover an integer codomain completely.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x+2\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह वास्तविक मान देता ही नहीं / It gives no real values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x+2\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x+2\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k-2) रखने पर \(\lfloor x+2\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k-2), then \(\lfloor x+2\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक सहप्रांत पर नीचे पूर्णांक फलन आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x-5}) है, तो सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x-5}), which option is correct?
#cube root
#onto
#real numbers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल अऋणात्मक मान देता है / It gives only non-negative values
D यह (x<5) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3+5\) लेने पर (f(x)=y)। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3+5\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है। / A cube-root function takes all real values on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}), choose the correct option about (f).
#square root
#onto
#preimage
#domain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह (x=0) पर परिभाषित है / It is defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x\ge1\) होने पर \(x-1\ge0\), इसलिए फलन परिभाषित है। / Since \(x\ge1\), \(x-1\ge0\), so the function is defined.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2+1\) लेने पर (f(x)=y)। / For every \(y\ge0\), take \(x=y^2+1\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए वर्ग करें। / For square-root functions, square the target value to find a preimage.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,p),(4,q)\}\) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,p),(4,q)\}\), why is (f) not onto?
#finite mapping
#not onto
#missing image
#preimage
A क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (r) has no preimage
B क्योंकि (p) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (p) has no preimage
C क्योंकि (q) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (q) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (r) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (r) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंब केवल (p) और (q) हैं। / The listed images are only (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का (r) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। / The codomain element (r) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
एक भी छूटा सहप्रांत अवयव आच्छादीपन को समाप्त कर देता है। / Even one missed codomain element destroys onto nature.
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यदि (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)), which statement is correct?
#logarithmic function
#onto
#domain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=1) पर परिभाषित है / It is defined at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x>1) होने पर (x-1>0)। / Since (x>1), (x-1>0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=1+e^y\) लेने पर (\ln(x-1)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=1+e^y\), then (\ln(x-1)=y).
Step 3
Exam Tip
अंदर की राशि धनात्मक बनी रहे, तो लघुगणक सभी वास्तविक मान दे सकता है। / A logarithm can give all real values when its inside quantity stays positive.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8), which statement is correct about (f)?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y+8) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y+8) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर निश्चित संख्या घटाने वाला फलन सभी पूर्णांक ढकता है। / A fixed shift on integers covers all integers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+6) है, तो (f(x)=y) के लिए (x) का सही मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+6), what is the correct value of (x) for (f(x)=y)?
#linear equation
#onto proof
#preimage
#class 12
A \(x=\frac{6-y}{3}\)
B \(x=\frac{y-6}{3}\)
C \(x=3y+6\)
D \(x=y-6\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{6-y}{3}\)
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (-3x+6=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), giving (-3x+6=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (-3x=y-6), इसलिए \(x=\frac{6-y}{3}\)। / Then (-3x=y-6), so \(x=\frac{6-y}{3}\).
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक (x) मिल रहा है, इसलिए फलन आच्छादी है। / Since a real (x) exists for every real (y), the function is onto.
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