फलन \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) जहाँ (f(x)=|x|), सही कथन कौन सा है?
For \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), where (f(x)=|x|), which statement is correct?
#onto function
#modulus
#one-one
#codomain
A (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं / (f) is onto but not one-one
B (f) एकैकी है पर सर्वाच्छादक नहीं / (f) is one-one but not onto
C (f) एकैकी और सर्वाच्छादक दोनों है / (f) is both one-one and onto
D (f) न एकैकी है न सर्वाच्छादक / (f) is neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं / (f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\ge0\) के लिए (x=y) लेने पर (|x|=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), taking (x=y) gives (|x|=y).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (|a|=|-a|), इसलिए अलग प्रांत अवयव एक ही छवि दे सकते हैं। / But (|a|=|-a|), so different domain elements can have the same image.
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादक और एकैकी गुण अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Onto and one-one properties must be checked separately.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{p,q,r,s\}\), तो (A) से (B) पर कोई सर्वाच्छादक फलन हो सकता है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{p,q,r,s\}\), can there be an onto function from (A) to (B)?
#onto function
#finite set
#counting
#codomain
A नहीं क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं / No because the domain has fewer elements than the codomain
B हाँ क्योंकि हर फलन सर्वाच्छादक होता है / Yes because every function is onto
C हाँ क्योंकि (B) में अधिक अवयव हैं / Yes because (B) has more elements
D नहीं क्योंकि (A) खाली नहीं है / No because (A) is not empty
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Correct Answer
A. नहीं क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं / No because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत का हर अवयव कम से कम एक बार छवि बनना चाहिए। / In an onto function, every codomain element must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) अवयव हैं पर (B) में (4) अवयव हैं। / (A) has only (3) elements, while (B) has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादकता के लिए प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए। / For finite sets, the domain size cannot be less than the codomain size for an onto function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) तथा (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is (f)?
#onto function
#reciprocal
#preimage
#codomain
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
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Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत में कोई भी \(y\ne0\) लें। / Take any \(y\ne0\) in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। / Choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत से (0) हटाने पर यह फलन सर्वाच्छादक बन जाता है। / Removing (0) from the codomain makes this reciprocal function onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) और (f(x)=\frac{2x+1}{x-1}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) and (f(x)=\frac{2x+1}{x-1}), is (f) onto or not?
#onto function
#rational function
#preimage
#codomain
A सर्वाच्छादक है / It is onto
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (2) सहप्रांत में है / Not onto because (2) is in the codomain
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / Not onto because (0) is not obtained
D सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / Not onto because (1) is not obtained
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Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+1}{x-1}\) मानकर \(x=\frac{y+1}{y-2}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{2x+1}{x-1}\), which gives \(x=\frac{y+1}{y-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में \(y\ne2\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और \(x\ne1\) भी रहता है। / Since the codomain has \(y\ne2\), this (x) is defined and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For rational functions, solve for (x) in terms of (y) to test onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)) जहाँ (f(x)=x-2 +1), सर्वाच्छादक है या नहीं?
Is the function \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), where (f(x)=x-2 +1), onto?
#onto function
#quadratic
#codomain
#range
A हाँ क्योंकि हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लिया जा सकता है / Yes because for every \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y-1}\) can be taken
B नहीं क्योंकि (1) नहीं मिलता / No because (1) is not obtained
C नहीं क्योंकि (2) नहीं मिलता / No because (2) is not obtained
D नहीं क्योंकि (y-1) ऋणात्मक है / No because (y-1) is negative
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लिया जा सकता है / Yes because for every \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y-1}\) can be taken
Step 1
Concept
\(x^2+1\) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of \(x^2+1\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है और (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y-1}\) is real and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम या अधिकतम मान देखकर सहप्रांत मिलाएँ। / Use the minimum or maximum value to match the codomain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=e^x), सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=e^x), is not onto because
#onto function
#exponential function
#range
#codomain
A शून्य और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं / Zero and negative real numbers are not images
B सभी वास्तविक संख्याएँ छवि बनती हैं / All real numbers are images
C केवल (1) छवि बनती है / Only (1) is an image
D कोई धनात्मक संख्या छवि नहीं बनती / No positive number is an image
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Correct Answer
A. शून्य और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं / Zero and negative real numbers are not images
Step 1
Concept
\(e^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं पर वे नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, but they are not obtained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को सहप्रांत से मिलाकर देखें। / For exponential functions, compare the range carefully with the codomain.
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फलन (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\) जहाँ (f(x)=3-x-2 ), सर्वाच्छादक है या नहीं?
Is the function (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), where (f(x)=3-x-2 ), onto?
#onto function
#quadratic range
#codomain
#class 12
A हाँ क्योंकि हर \(y\le3\) के लिए \(x=\sqrt{3-y}\) लिया जा सकता है / Yes because for every \(y\le3\), \(x=\sqrt{3-y}\) can be taken
B नहीं क्योंकि (3) नहीं मिलता / No because (3) is not obtained
C नहीं क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / No because negative values are not obtained
D हाँ केवल जब (x>0) हो / Yes only when (x>0)
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Correct Answer
A. हाँ क्योंकि हर \(y\le3\) के लिए \(x=\sqrt{3-y}\) लिया जा सकता है / Yes because for every \(y\le3\), \(x=\sqrt{3-y}\) can be taken
Step 1
Concept
\(3-x^2\) का अधिकतम मान (3) है। / The maximum value of \(3-x^2\) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(y\le3\), तो \(x=\sqrt{3-y}\) वास्तविक है और (f(x)=y) मिलता है। / If \(y\le3\), then \(x=\sqrt{3-y}\) is real and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परास और सहप्रांत समान हों तो फलन सर्वाच्छादक होता है। / A function is onto when its range equals its codomain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x-2 ), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-2 ), is (f) onto or not?
#onto function
#codomain
#range
#square function
A सर्वाच्छादक है क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) है / It is onto because for every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) exists
B सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ नहीं मिलतीं / Not onto because negative numbers are not obtained
C सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (0) नहीं मिलता / Not onto because (0) is not obtained
D केवल एकैकी है पर सर्वाच्छादक नहीं / Only one-one but not onto
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Correct Answer
A. सर्वाच्छादक है क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) है / It is onto because for every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) exists
Step 1
Concept
यहाँ सहप्रांत केवल \([0,\infty\)) है। / Here the codomain is only \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
इस सहप्रांत के हर (y) के लिए \(\sqrt{y}\) भी प्रांत में है और (f\(\sqrt{y}\)=y) है। / For every (y) in this codomain, \(\sqrt{y}\) lies in the domain and (f\(\sqrt{y}\)=y).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग सहप्रांत के साथ अलग उत्तर दे सकता है। / The same formula may give a different answer when the codomain changes.
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फलन \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।
Choose the correct conclusion for \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ).
#onto function
#not onto
#codomain
#class 12
A यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह सभी ऋणात्मक मान देता है / It gives all negative values
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
Step 1
Concept
\(x\ge0\) होने पर भी \(x^2\ge0\) ही रहता है। / Even when \(x\ge0\), \(x^2\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बड़ा कर देने पर फलन आच्छादी नहीं रह सकता। / Enlarging the codomain can make a function not onto.
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\(फलन (f:\mathbb{Z}\to{y\in\mathbb{Z}:y\) विषम है\(}), (f(n)=2n+1) कैसा है\)?
\(What type is (f:\mathbb{Z}\to{y\in\mathbb{Z}:y\) is odd\(}), (f(n)=2n+1)\)?
#onto function
#integers
#codomain
#class 12
A आच्छादी / Onto
B आच्छादी नहीं / Not onto
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. आच्छादी / Onto
Step 1
Concept
सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का समुच्चय है। / The codomain is the set of odd integers only.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम (y) को (y=2n+1) लिख सकते हैं जहाँ \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\)। / Every odd (y) can be written as (y=2n+1), where \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही सूत्र आच्छादी बन सकता है। / Changing the codomain can make the same formula onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)) और (f(x)=x-2 +2) है, तो यह फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)) and (f(x)=x-2 +2), then what type of function is it?
#onto function
#range
#codomain
#class 12
A आच्छादी / Onto
B एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
C न तो एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
D केवल एकैकी / Only one-one
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Correct Answer
A. आच्छादी / Onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+2\ge 2\)। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2+2\ge 2\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge 2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge 2\), taking \(x=\sqrt{y-2}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले परास निकालें और उसे सहप्रांत से मिलाएँ। / In exams, first find the range and compare it with the codomain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to [2,\infty\)), (f(x)=x-2 +2) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(f:\mathbb{R}\to [2,\infty\)), (f(x)=x-2 +2).
#relations and functions
#onto function
#codomain
A (f) आच्छादक है / (f) is onto
B (f) आच्छादक नहीं है / (f) is not onto
C (f) का परास \(\mathbb{R}\) है / Range of (f) is \(\mathbb{R}\)
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) आच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\) से (f(x)=x-2 +2\ge 2)। / Since \(x^2\ge 0\), (f(x)=x-2 +2\ge 2).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से बड़ी या बराबर हर संख्या (y) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लिया जा सकता है। / For every \(y\ge 2\), we can take \(x=\sqrt{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
सही सहक्षेत्र चुनने पर वही द्विघात फलन आच्छादक बन सकता है। / A quadratic function can become onto when the codomain matches its actual range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), (f(x)=\tan^{-1}x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), (f(x)=\tan^{-1}x), why is (f) not onto?
#inverse trigonometry
#not onto
#endpoints
#codomain
A क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते / Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते / Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का परास खुला अंतराल (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is the open interval (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में दोनों अंतिम मान शामिल हैं, लेकिन फलन उन्हें कभी प्राप्त नहीं करता। / The codomain includes both endpoint values, but the function never attains them.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद सिरों का अंतर आच्छादीपन में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed endpoints is very important in onto questions.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), (f(x)=\tan^{-1}x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), (f(x)=\tan^{-1}x), what is the correct statement about (f)?
#inverse trigonometry
#onto function
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का परास (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) होता है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y) को इस अंतराल में लें, तो \(x=\tan y\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For any (y) in this interval, take \(x=\tan y\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक परास याद रखें। / Remember the standard ranges of inverse trigonometric functions.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(1,\infty\)), (f(x)=e^{|x|}) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If (f:\mathbb{R}\to\(1,\infty\)), (f(x)=e^{|x|}), why is (f) not onto?
#well defined
#exponential function
#codomain
#onto concept
A क्योंकि यह सहप्रांत से बाहर (1) मान भी देता है / Because it also gives value (1), which is outside the codomain
B क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि यह सहप्रांत से बाहर (1) मान भी देता है / Because it also gives value (1), which is outside the codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर \(e^{|x|}=1\) मिलता है। / At (x=0), \(e^{|x|}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन सहप्रांत (\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए यह दिए गए सहप्रांत में ठीक से फलन ही नहीं बनता। / But (1) is not included in the codomain (\(1,\infty\)), so the mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन से पहले यह जांचें कि सभी फलन मान सहप्रांत में हैं या नहीं। / Before checking onto nature, verify that all function values lie in the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-6 +2) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-6 +2), why is (f) not onto?
#even power
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
B क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^6+2\) का न्यूनतम मान (2) है। / The minimum value of \(x^6+2\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन कोई वास्तविक (x) इसे नहीं दे सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but no real (x) can give it.
Step 3
Exam Tip
सम घात बहुपदों में न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान छूट जाते हैं। / For even-power polynomials, codomain values below the minimum are missed.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=x-6 +2) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=x-6 +2), what is the correct statement?
#even power
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+2\ge2\)। / \(x^6\ge0\), so \(x^6+2\ge2\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[6]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[6]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन अपने सही खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / An even-power function is onto its correctly shifted codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1,2}\), (f(x)=0) जब (x<0), (f(x)=1) जब \(x\ge0\), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1,2}\), (f(x)=0) when (x<0), and (f(x)=1) when \(x\ge0\), why is (f) not onto?
#piecewise function
#not onto
#missing value
#codomain
A क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
B क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
C क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
फलन केवल (0) और (1) मान देता है। / The function gives only values (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (2) है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं जिससे (f(x)=2)। / The codomain contains (2), but no (x) gives (f(x)=2).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में छूटा हुआ मान आच्छादीपन को समाप्त कर देता है। / A missed codomain value destroys onto nature.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है और \(B=\{2,4,6,8\}\), तो (f(A)) क्या होगा?
If \(f:A\to B\) is onto and \(B=\{2,4,6,8\}\), what is (f(A))?
#onto definition
#image set
#range
#codomain
A \({2,4,6,8}\)
B \({2,4}\)
C \(\varnothing\)
D \(A\)
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Correct Answer
A. \({2,4,6,8}\)
Step 1
Concept
(f(A)) फलन का परास है। / (f(A)) is the range of the function.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी होने पर परास सहप्रांत के बराबर होता है। / If a function is onto, its range equals its codomain.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f(A)=B={2,4,6,8})। / Hence (f(A)=B={2,4,6,8}).
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\) और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a),(5,b)\}\) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a),(5,b)\}\), why is (f) not onto?
#finite mapping
#not onto
#missing preimage
#codomain
A क्योंकि (d) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (d) has no preimage
B क्योंकि (a) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (a) has no preimage
C क्योंकि (b) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (b) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (d) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (d) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंबों में (a,b,c) आते हैं। / The listed images include (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का (d) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। / The codomain element (d) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए, तो फलन आच्छादी नहीं है। / If even one codomain element is missed, the function is not onto.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\) है, तो \(f:A\to B\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\), what is correct about \(f:A\to B\)?
#finite sets
#onto
#ordered pairs
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D इसका परास खाली है / Its range is empty
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (B) के अवयव (p,q,r) हैं। / The codomain (B) has elements (p,q,r).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रतिबिंबों में ये तीनों अवयव मिल रहे हैं। / All three appear among the given images.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में सहप्रांत का हर अवयव प्रतिबिंब बने तो फलन आच्छादी होता है। / For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x), why is (f) not onto?
#sine function
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\frac{\pi}{2}]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में प्रांत सीमित करने का प्रभाव तुरंत जांचें। / In onto questions, immediately check the effect of domain restriction.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-4 +1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-4 +1), what is the correct statement about (f)?
#even power
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\), इसलिए \(x^4+1\ge1\)। / \(x^4\ge0\), so \(x^4+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt[4]{y-1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाला फलन सही अऋणात्मक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / An even-power function can be onto a suitable non-negative codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=e^{2x}+4) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=e^{2x}+4), why is it not onto?
#exponential function
#not onto
#endpoint
#codomain
A क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
B क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) हमेशा धनात्मक होता है और कभी (0) नहीं होता। / \(e^{2x}\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^{2x}+4\) हमेशा (4) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (4) शामिल है। / Hence \(e^{2x}+4\) is always greater than (4), but (4) is included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी प्रश्नों में खुले और बंद सिरे की जांच जरूर करें। / In onto questions, always check open and closed endpoints.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(4,\infty\)), (f(x)=e^{2x}+4) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(4,\infty\)), (f(x)=e^{2x}+4), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#onto
#shifted range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (4) मान देता है / It gives value (4)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^{2x}\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(4) जोड़ने से परास (\(4,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (4) gives range (\(4,\infty\)), which equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में खुला सिरा कभी शामिल नहीं होता। / In exponential functions, the open endpoint is never included.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (1) is not obtained
B क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
C क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
D क्योंकि सभी अऋणात्मक मान मिलते हैं / Because all non-negative values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (1) is not obtained
Step 1
Concept
(f(x)=(x-2)2 +3), इसलिए परास \([3,\infty\)) है। / (f(x)=(x-2)2 +3), so the range is \([3,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (1) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (1), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए, केवल कुछ मान नहीं। / For onto nature, every codomain value must be obtained, not just some values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7), choose the correct statement.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह \([0,\infty\)) पर आच्छादी है / It is onto \([0,\infty\))
D यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी है / It is onto \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) है। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
इसका न्यूनतम मान (3) है और परास \([3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Its minimum value is (3), so the range is \([3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में पूर्ण वर्ग बनाकर परास जल्दी पहचानें। / For a quadratic function, complete the square to find the range quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-4,\infty\)), (f(x)=|x-7|-4) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[-4,\infty\)), (f(x)=|x-7|-4), choose the correct option.
#modulus function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (-5) मान देता है / It gives value (-5)
D यह केवल (0) मान देता है / It gives only value (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x-7|\ge0\), इसलिए \(|x-7|-4\ge-4\)। / Since \(|x-7|\ge0\), \(|x-7|-4\ge-4\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge-4\) के लिए (x=7+(y+4)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge-4\), take (x=7+(y+4)), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन का न्यूनतम मान देखकर उसका सही सहप्रांत पहचाना जा सकता है। / The minimum value of a modulus function helps identify its correct codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[9,\infty\)), (f(x)=(x+4)2 +9) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[9,\infty\)), (f(x)=(x+4)2 +9), what is the correct statement about (f)?
#onto function
#quadratic function
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (8) मान देता है / It gives value (8)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+4)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge9)। / Since ((x+4)2 \ge0), (f(x)\ge9).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge9\) के लिए \(x=-4+\sqrt{y-9}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge9\), take \(x=-4+\sqrt{y-9}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान सहप्रांत की शुरुआत से मेल खाए, तो फलन आच्छादी होता है। / When the minimum value of a quadratic matches the start of the codomain, the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1,2}\), (f(x)=0) जब (x<0) और (f(x)=1) जब \(x\ge0\), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1,2}\), (f(x)=0) when (x<0) and (f(x)=1) when \(x\ge0\), why is (f) not onto?
#piecewise function
#not onto
#missing value
#codomain
A क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
B क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
C क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
फलन केवल (0) और (1) मान देता है। / The function gives only values (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (2) भी है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं जिससे (f(x)=2)। / The codomain also contains (2), but no (x) gives (f(x)=2).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत का छूटा हुआ मान आच्छादीपन रोकता है। / A missed codomain value prevents onto nature.
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