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inverse trigonometric functions MCQ Questions for Class 12
inverse trigonometric functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le1\) होना चाहिए। इससे \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\) मिलता है। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le1\). This gives \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\).
हर \(x\in[-1,1]\) के लिए \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। इसलिए \(\pi\) वाला समीकरण असंभव है। / For every \(x\in[-1,1]\), \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Therefore the equation with \(\pi\) is impossible.
\(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{3}\) का अर्थ है \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)। इसलिए \(x=-\sqrt{3}\)। / \(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{3}\) means \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\). Hence \(x=-\sqrt{3}\).
\(\theta=\tan^{-1}x\) लेने पर adjacent side (1) और hypotenuse \(\sqrt{1+x^2}\) मिलती है। इसलिए \(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)। / Taking \(\theta=\tan^{-1}x\), the adjacent side is (1) and the hypotenuse is \(\sqrt{1+x^2}\). Thus \(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).
यदि \(\theta=\tan^{-1}x\), तो \(\tan\theta=x\) और hypotenuse \(\sqrt{1+x^2}\) है। इसलिए \(\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)। / If \(\theta=\tan^{-1}x\), then \(\tan\theta=x\) and the hypotenuse is \(\sqrt{1+x^2}\). So \(\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).
मान लें \(\theta=\sin^{-1}x\), तब \(\sin\theta=x\) और \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)। / Let \(\theta=\sin^{-1}x\), then \(\sin\theta=x\) and \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\). Hence \(\tan\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\), तो \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) और \(\cos\theta\ge0\)। इसलिए positive root लेना चाहिए। / If \(\theta=\sin^{-1}x\), then \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) and \(\cos\theta\ge0\). So the positive root should be taken.
यदि \(\theta=\cos^{-1}x\), तो \(\theta\in[0,\pi]\) और \(\sin\theta\ge0\)। इसलिए मान \(\sqrt{1-x^2}\) है। / If \(\theta=\cos^{-1}x\), then \(\theta\in[0,\pi]\) and \(\sin\theta\ge0\). Hence the value is \(\sqrt{1-x^2}\).
\(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) का उत्तर \([0,\pi]\) में दें। / \(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), so \(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}\). Give the answer of \(\cos^{-1}x) in ([0,\pi]\).
\(cosec\frac{\pi}{6}=2\), इसलिए मुख्य मान \(\frac{\pi}{6}\) है। \(cosec^{-1}x\) को \(\sin^{-1}\frac{1}{x}\) से जोड़कर सोचें। / \(cosec\frac{\pi}{6}=2\), so the principal value is \(\frac{\pi}{6}\). Think of \(cosec^{-1}x\) through \(\sin^{-1}\frac{1}{x}\).
(x>0) के लिए \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। \(\cot^{-1}x\) की range convention जरूर देखें। / For (x>0), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Always check the range convention of \(\cot^{-1}x\).
\(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x\) क्योंकि output \([0,\pi]\) में रहता है। इसे odd function न समझें। / \(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x\) because the output remains in \([0,\pi]\). Do not treat it as an odd function.
\(\tan^{-1}x\) भी विषम function है। इसलिए negative input पर output का sign बदलता है। / \(\tan^{-1}x\) is also an odd function. Therefore a negative input changes the sign of the output.
\(\tan^{-1}x\) का principal range \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) है। \(\tan\) period वाला है, इसलिए principal interval जरूरी है। / The principal range of \(\tan^{-1}x\) is (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)). Since \(\tan\) is periodic, the principal interval is necessary.
\(\cos^{-1}x\) का principal output \([0,\pi]\) में होता है। equality के लिए \(\theta\) को उसी interval में लें। / The principal output of \(\cos^{-1}x\) lies in \([0,\pi]\). For equality, take \(\theta\) in that interval.
\(\sin^{-1}x\) का आउटपुट \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में होता है। इसलिए \(\theta\) इसी range में होना चाहिए। / The output of \(\sin^{-1}x\) lies in \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\). Therefore \(\theta\) must lie in this range.
B. केवल \(x\in[-1,1]\) के लिए/Only for \(x\in[-1,1]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) का डोमेन \([-1,1]\) है, इसलिए इसी पर \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) होगा। composition में inner function का domain देखें। / The domain of \(\sin^{-1}x\) is \([-1,1]\), so \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) there. In composition, check the inner function domain.
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{\pi}{6}\) मुख्य परिसर में है। मुख्य मान हमेशा range में चुनें। / \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range. Always choose the value inside the principal range.
\(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in[-1,1]\) हो। परीक्षा में पहले डोमेन जरूर जांचें। / \(\sin^{-1}x\) is defined only when \(x\in[-1,1]\). Always check the domain first in exams.
जब \(x\to-\infty\), तब \(\tan^{-1}x\to-\frac{\pi}{2}\)। यह सीमा है, वास्तविक प्राप्त मान नहीं। / As \(x\to-\infty\), \(\tan^{-1}x\to-\frac{\pi}{2}\). This is a limiting value, not an attained value.
\(\cos^{-1}1=0\), इसलिए ग्राफ \(\left(1,0\right)\) से गुजरता है। ग्राफ वाले प्रश्नों में मानक मान याद रखें। / Since \(\cos^{-1}1=0\), the graph passes through \(\left(1,0\right)\). Remember standard values for graph questions.
जब \(x\to\infty\), तब \(\tan^{-1}x\to\frac{\pi}{2}\)। \(\frac{\pi}{2}\) सीमा है, पर वास्तविक मान नहीं बनता। / As \(x\to\infty\), \(\tan^{-1}x\to\frac{\pi}{2}\). The value \(\frac{\pi}{2}\) is a limit, not an attained value.
\(\sin^{-1}0=0\), इसलिए ग्राफ \(\left(0,0\right)\) से गुजरता है। ग्राफ में मूल मान उपयोगी होते हैं। / Since \(sin^{-1}0=0\), the graph passes through \(\left(0,0\right)\). Basic values are useful in graph questions.
\(\cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) और \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\)। ऐसे प्रश्न में त्रिकोणमितीय मान पहले निकालें। / Since \(\cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) and \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). In such questions, find the trigonometric value first.
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। मानक कोण याद रखें। / Since \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). Remember standard angles.
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) और \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। पहले अंदर का मान निकालें। / Since \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) and \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). First find the inner value.
\(\cos0=1\)। \(\cos^{-1}1\) वह कोण है जिसका कोसाइन 1 हो और जो इन्फर्स कोसाइन की प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में आता हो। इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\cos\pi=-1\) और \(-\pi\) प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में नहीं आता। परीक्षा टिप: सामान्य रूप से \(\cos^{-1}(\cos\theta)\) निकालते समय \(\theta\) को प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में समकक्ष कोण पर लाएँ। / Since \(\cos0=1\) and \(\cos^{-1}1\) is the angle in the principal range \([0,\pi]\) whose cosine equals 1, we get \(\cos^{-1}1=0\). The other choices are incorrect: \(\cos(\pi/2)=0\), \(\cos\pi=-1\), and \(-\pi\) is outside the principal range of arccos. Exam tip: When evaluating \(\cos^{-1}(\cos\theta)\), reduce or map \(\theta\) into the principal range \([0,\pi]\) and use that equivalent angle.
कोण \((-\frac{\pi}{4}) (\sin^{-1}x)\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए मान \(-\frac{\pi}{4}\) है। / The angle \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\). Hence the value is \(-\frac{\pi}{4}\).
\(\sec^{-1}x\) का प्रांत (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) है। (0) इस प्रांत में नहीं है। / The domain of \(\sec^{-1}x\) is (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)). The number (0) is not in this domain.
\(cosec^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(\left|x\right|\ge1\)। यहाँ \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / The function \(cosec^{-1}x\) is defined when \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), so it is defined.
