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inverse trigonometric functions MCQ Questions for Class 12
inverse trigonometric functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(\sec^{-1}x\) के लिए \(\left|x\right|\ge1\) होना चाहिए। यहाँ \(\left|\frac{3}{2}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / For \(\sec^{-1}x\), we need \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|\frac{3}{2}\right|\ge1\), so it is defined.
\(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। क्योंकि \(\frac{11}{10}>1\), यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\). Since \(\frac{11}{10}>1\), it is not defined.
\(\frac{7}{6}\notin\left[-1,1\right]\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\) परिभाषित नहीं है। प्रांत पहले जांचें। / Since \(\frac{7}{6}\notin\left[-1,1\right]\), \(\sin^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\) is not defined. Check the domain first.
\(\cot^{-1}x\) \(\mathbb{R}\) पर घटता हुआ फलन है। इसका मुख्य मान परिसर (\left\(0,\pi\right\)) है। / The function \(\cot^{-1}x\) is decreasing on \(\mathbb{R}\). Its principal value range is (\left\(0,\pi\right\)).
A. यह \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है/It is increasing on \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित और बढ़ता हुआ है। इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined and increasing for all real numbers. Its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
\(\cos^{-1}x\) \(\left[-1,1\right]\) पर घटता हुआ फलन है। (x) बढ़ने पर मुख्य कोण घटता है। / The function \(\cos^{-1}x\) is decreasing on \(\left[-1,1\right]\). As (x) increases, the principal angle decreases.
\(\sin^{-1}x\) अपने प्रांत \(\left[-1,1\right]\) में बढ़ता है। ग्राफ संबंधी प्रश्नों में प्रांत और प्रवृत्ति दोनों देखें। / The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its domain \(\left[-1,1\right]\). In graph questions, check both domain and trend.
यदि \(cos\theta=\frac{8}{17}\), तो \(sin\theta=\frac{15}{17}\)। इसलिए \(cosec\theta=\frac{17}{15}\)। / If \(cos\theta=\frac{8}{17}\), then \(sin\theta=\frac{15}{17}\). Hence \(cosec\theta=\frac{17}{15}\).
लेते हैं \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right)\)। तब \(\tan\theta=\frac{7}{24}=\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\)। एक समकोण त्रिभुज में opposite = 7, adjacent = 24 लिया जाए तो पाइथागोरस से hypotenuse = \(\sqrt{7^2+24^2}=25\)। \(\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}=\frac{25}{24}\) इसलिए सही उत्तर \(\frac{25}{24}\) है। निकटतम भ्रमित विकल्प \(\frac{24}{25}\) (विकल्प B) विकर्ण का अनुपात नहीं बल्कि कॉसाइन का मान है (या सही उत्तर का倒数 नहीं)। विकल्प C \(\frac{7}{25}\) वास्तव में \(\sin\theta\) है और विकल्प D \(\frac{25}{7}\) \(\csc\theta\) के बराबर है। परीक्षा‑टिप: arctan के लिए तुरंत 7‑24‑25 त्रिभुज याद रखें और त्रिभुज बनाकर opposite/adjacent/hypotenuse सम्बन्ध लागू करें। / Let \(\theta=\tan^{-1}(7/24)\), so \(\tan\theta=7/24=\) opposite/adjacent. Using a right triangle with opposite = 7 and adjacent = 24 gives hypotenuse = \(\sqrt{7^2+24^2}=25\). Then \(\sec\theta=1/\cos\theta=\) hypotenuse/adjacent = \(25/24\), so option A is correct. Closest distractor \(24/25\) (B) is the reciprocal and corresponds to \(\cos\theta\), not \(\sec\theta\). Option C (\(7/25\)) equals \(\sin\theta\), and D (\(25/7\)) equals \(\csc\theta\). Exam tip: draw the 7‑24‑25 right triangle for arctan problems and read off opposite, adjacent, hypotenuse to compute sin, cos, sec quickly.
यदि \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\), तो \(\cos\theta=\frac{5}{13}\) और \(\sin\theta=\frac{12}{13}\)। इसलिए \(\cot\theta=\frac{5}{12}\)। / If \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\), then \(\cos\theta=\frac{5}{13}\) and \(\sin\theta=\frac{12}{13}\). Hence \(\cot\theta=\frac{5}{12}\).
यदि \(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\), तो \(\sin\theta=\frac{3}{5}\) और \(\cos\theta=\frac{4}{5}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{3}{4}\)। / If \(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\), then \(\sin\theta=\frac{3}{5}\) and \(\cos\theta=\frac{4}{5}\). Hence \(\tan\theta=\frac{3}{4}\).
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\), तो \(sin\theta=x\) और \(\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)। यहाँ \(cos\theta\ge0\), इसलिए \(\sqrt{1-x^2}\) सही है। / If \(\theta=\sin^{-1}x\), then \(\sin\theta=x\) and \(\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Here \(cos\theta\ge0\), so \(\sqrt{1-x^2}\) is correct.
यदि \(\theta=\cos^{-1}x\), तो \(\cos\theta=x\) और \(\theta\in\left[0,\pi\right]\)। इस परिसर में \(\sin\theta\ge0\), इसलिए मान \(\sqrt{1-x^2}\) है। / If \(\theta=\cos^{-1}x\), then \(\cos\theta=x\) and \(\theta\in\left[0,\pi\right]\). In this range \(\sin\theta\ge0\), so the value is \(\sqrt{1-x^2}\).
\(\tan\theta=\dfrac{\text{विपरीत}}{\text{आड़ी}}=\dfrac{8}{15}\) है, अतः विपरीत भुजा 8 और आड़ी भुजा 15 मानकर समकोण त्रिभुज में कर्ण होगा \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\)। इसलिए \(\cos\theta=\dfrac{\text{आड़ी}}{\text{कर्ण}}=\dfrac{15}{17}\)। निकटवर्ती ग़लत विकल्प: \(\dfrac{8}{17}\) दरअसल \(\sin\theta\) होगा; \(\dfrac{17}{15}\) और \(\dfrac{17}{8}\) 1 से बड़े हैं और किसी कोण के कोसाइन के रूप में संभव नहीं जब कोण तृतीय में न हो। परीक्षा सुझाव: 8–15–17 पायथागोरियन ट्रिपल को याद रखें — यह इन प्रकार के प्रश्न तेज़ी से हल करने में मदद करेगा। / Given \(\tan\theta=\dfrac{8}{15}\), take opposite = 8 and adjacent = 15 in a right triangle. The hypotenuse is \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\). Thus \(\cos\theta=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{15}{17}\). Closest distractor \(\dfrac{8}{17}\) is actually \(\sin\theta\); the options \(\dfrac{17}{15}\) and \(\dfrac{17}{8}\) are reciprocals greater than 1 and cannot be cosine values for a real acute angle. Exam tip: Recognize the 8–15–17 Pythagorean triple to compute hypotenuse quickly and avoid arithmetic errors.
\(\tan\theta=\frac{3}{4}\) से लंब (3) और आधार (4) लें। कर्ण (5) होगा, इसलिए \(\sin\theta=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan\theta=\frac{3}{4}\), take opposite side (3) and adjacent side (4). The hypotenuse is (5), so \(\sin\theta=\frac{3}{5}\).
\(\cos\theta=\frac{12}{13}\) और \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) है। इस स्थिति में \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) धनात्मक होगा। / Here \(\cos\theta=\frac{12}{13}\) and \(\theta\in\left[0,\pi\right]\). In this case, \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) is positive.
\(\theta) मुख्य परिसर में है और (\sin\theta=\frac{5}{13}\) है। इसलिए समकोण त्रिभुज से \(\cos\theta=\frac{12}{13}\)। / Here \(\theta\) is in the principal range and \(\sin\theta=\frac{5}{13}\). From a right triangle, \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\) का अर्थ \(\tan\theta=\frac{5}{12}\) है। व्युत्क्रम फलन की परिभाषा याद रखें। / The statement \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\) means \(\tan\theta=\frac{5}{12}\). Remember the definition of inverse function.
\(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) वह कोण है जिसका \(\cos\) मान \(\frac{4}{5}\) हो। इसलिए \(\cos\theta=\frac{4}{5}\)। / The expression \(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) is the angle whose cosine is \(\frac{4}{5}\). So \(\cos\theta=\frac{4}{5}\).
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\) का अर्थ \(sin\theta=\frac{3}{5}\) है। परिभाषा को सीधे लगाएं। / The statement \(\theta=sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\) means \(sin\theta=\frac{3}{5}). Apply the definition directly.
\(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। / We have \(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Thus \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\).
\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.
\(\frac{5\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए \(cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\)। / The angle \(\frac{5\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[0,\pi\right]\). Hence \(cos^{-1}\left(cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\).
\(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। हमेशा मुख्य परिसर का कोण चुनें। / Since \(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Always choose the angle in the principal range.
\(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) और \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) है। इसलिए \(\csc\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-2\) और मुख्य मान (principal value) की परिभाषा के अनुसार \(\csc^{-1}x\) का मान \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) पर लिया जाता है। इस रेंज में सही कोण \(-\tfrac{\pi}{6}\) है। अन्य विकल्पों पर: \(\tfrac{\pi}{6}\) और \(\tfrac{5\pi}{6}\) के लिए \(\csc=+2\) होगा, जबकि \(-\tfrac{5\pi}{6}\) के लिए भी \(\csc=-2\) मिलता है पर वह मुख्य रेंज में नहीं आता। परीक्षा-टिप: \(\csc^{-1}x\) को \(\sin^{-1}(1/x)\) की तरह बदलकर और मुख्य रेंज याद रखकर जल्दी हल करें। / Use \(\csc\theta=1/\sin\theta\). Since \(\sin(-\pi/6)=-1/2\), we have \(\csc(-\pi/6)=-2\). The usual principal range for \(\csc^{-1}x\) is \([-\pi/2,\pi/2]\setminus\{0\}\), so the principal value is \(-\pi/6\). Why others are wrong: \(\pi/6\) and \(5\pi/6\) give \(+2\), not \(-2\); \(-5\pi/6\) also gives \(-2\) but lies outside the principal range. Exam tip: convert to \(\sin^{-1}(1/x)\) and check the principal-range restriction to choose the correct sign and angle.
\(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) और यह \(sec^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Since \(sec\frac{2\pi}{3}=-2\) and it lies in the principal range of \(sec^{-1}x), the answer is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\) होता है। \(cot^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left(0,\pi\right)\) में लेना चाहिए। / We have \(cot\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\). The principal value of \(cot^{-1}x\) must be taken in \(\left(0,\pi\right)\).
\(cot\frac{3\pi}{4}=-1) और \frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\)। इसलिए मुख्य मान \(\frac{3\pi}{4}\) है। / Since \(cot\frac{3\pi}{4}=-1\) and \(frac{3\pi}{4}\in\left(0,\pi\right)\), the principal value is \(frac{3\pi}{4}\).
\(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) मुख्य मानों के कारण सही है। इसे विषम फलन की तरह न मानें। / The relation \(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) is correct because of principal values. Do not treat it as an odd function.
