What condition on \(a\) is required for the equation \(x^2+2(a+3)x+a^2+10a+17=0\) to have no real roots?समीकरण \(x^2+2(a+3)x+a^2+10a+17=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(a\) की शर्त क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(a>-2\)\(a>-2\)
A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\). Therefore, \(-16(a+2)<0\), which gives \(a>-2\). At \(a=-2\), \(D=0\), so the equation has equal real roots rather than no real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\)। अतः \(-16(a+2)<0\), जिससे \(a>-2\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, न कि कोई वास्तविक मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ।
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