What condition on \(k\) is necessary for the quadratic equation \(x^2+2(k+1)x+k^2+6k+9=0\) to have no real roots?द्विघात समीकरण \(x^2+2(k+1)x+k^2+6k+9=0\) के कोई वास्तविक मूल न हों, इसके लिए \(k\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(k>-2\)\(k>-2\)
A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(k+1)]^2-4(k^2+6k+9)=-16(k+2)\). Therefore, \(-16(k+2)<0\), which gives \(k>-2\). At \(k=-2\), \(D=0\), giving two equal real roots, while \(k<-2\) gives two distinct real roots. Exam tip: simplify the discriminant first and then impose the required sign condition.किसी द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(k+1)]^2-4(k^2+6k+9)=-16(k+2)\) है। अतः \(-16(k+2)<0\), जिससे \(k>-2\) प्राप्त होता है। \(k=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि \(k<-2\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ।
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