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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

यदि समीकरण x² − 2(a + 1)x + (a² + 4a + 5) = 0 के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, तो a के लिए कौन-सी शर्त सही है?

If the equation x² − 2(a + 1)x + (a² + 4a + 5) = 0 has no real roots, which condition on a is correct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. a > −2

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर Δ < 0 होना चाहिए। यहाँ Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2)। अतः −8(a + 2) < 0 से a + 2 > 0, इसलिए a > −2। a = −2 पर Δ = 0 होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले Δ का सरलीकरण करें और फिर उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies Δ < 0. Here, Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2). Thus, −8(a + 2) < 0 gives a + 2 > 0, so a > −2. When a = −2, Δ = 0, giving two equal real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.

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यदि समीकरण x² − 2(a + 1)x + (a² + 4a + 5) = 0 के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, तो a के लिए कौन-सी शर्त सही है? / If the equation x² − 2(a + 1)x + (a² + 4a + 5) = 0 has no real roots, which condition on a is correct?

Correct Answer: A. a > −2. Explanation: द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर Δ < 0 होना चाहिए। यहाँ Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2)। अतः −8(a + 2) < 0 से a + 2 > 0, इसलिए a > −2। a = −2 पर Δ = 0 होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले Δ का सरलीकरण करें और फिर उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies Δ < 0. Here, Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2). Thus, −8(a + 2) < 0 gives a + 2 > 0, so a > −2. When a = −2, Δ = 0, giving two equal real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.