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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

समीकरण \(x^2+2(v+2)x+(4v+11)=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(v\) की सही शर्त क्या है?

What is the correct condition on \(v\) for the equation \(x^2+2(v+2)x+(4v+11)=0\) to have no real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\)। इसलिए \(4(v^2-7)<0\), अर्थात् \(v^2<7\), जिससे \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि विकल्प C में \(D=0\) होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\). Thus \(4(v^2-7)<0\), or \(v^2<7\), which gives \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\). In option B, \(D>0\), so there are two distinct real roots; in option C, \(D=0\), so there is one repeated real root. Exam tip: For ‘no real roots,’ directly apply the condition \(D<0\).

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समीकरण \(x^2+2(v+2)x+(4v+11)=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(v\) की सही शर्त क्या है? / What is the correct condition on \(v\) for the equation \(x^2+2(v+2)x+(4v+11)=0\) to have no real roots?

Correct Answer: A. \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\). Explanation: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\)। इसलिए \(4(v^2-7)<0\), अर्थात् \(v^2<7\), जिससे \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि विकल्प C में \(D=0\) होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\). Thus \(4(v^2-7)<0\), or \(v^2<7\), which gives \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\). In option B, \(D>0\), so there are two distinct real roots; in option C, \(D=0\), so there is one repeated real root. Exam tip: For ‘no real roots,’ directly apply the condition \(D<0\).