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real parameters MCQ Questions for Class 10

real parameters se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

4 questions tagged with real parameters.

Question 1/4 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 39

यदि समीकरण \(x^2-2px+(p^2+36)=0\) है, तो \(p\) के किसी भी वास्तविक मान के लिए इसकी मूलों की प्रकृति के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

For the quadratic equation \(x^2-2px+(p^2+36)=0\), what is the correct conclusion about the nature of its roots for any real value of \(p\)?

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Correct Answer

A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+36\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\) है, जो प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जबकि यहाँ \(D<0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) सीधे तौर पर कोई वास्तविक मूल न होने को दर्शाता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+36\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\), which remains negative for every real value of \(p\). Hence, the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), whereas here \(D<0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) immediately indicates that there are no real roots.

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Question 2/4 Hard Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 38

मान लें कि \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएँ हैं। समीकरण \(x^2+2(a-b)x+(a+b)^2=0\) के मूलों की वास्तविकता के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Assume that \(a\) and \(b\) are real numbers. Which statement about the roots of the equation \(x^2+2(a-b)x+(a+b)^2=0\) is correct?

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Correct Answer

A. वास्तविक मूल होंगे यदि और केवल यदि \(ab\le 0\)Real roots exist if and only if \(ab\le 0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=[2(a-b)]^2-4(a+b)^2\) है। अतः \(D=-16ab\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(-16ab\ge 0\), अर्थात \(ab\le 0\)। विकल्प D भी सही नहीं है, क्योंकि समान मूलों की शर्त \(D=0\) से \(ab=0\) मिलती है, न कि सामान्यतः \(a=b\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों की वास्तविकता जाँचने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For the quadratic equation, the discriminant is \(D=[2(a-b)]^2-4(a+b)^2\). Hence, \(D=-16ab\). Real roots require \(D\ge 0\), so \(-16ab\ge 0\), which gives \(ab\le 0\). Option D is also incorrect because equal roots require \(D=0\), giving \(ab=0\), not generally \(a=b\). Exam tip: To determine whether quadratic roots are real, first check the sign of the discriminant.

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Question 3/4 Hard Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

यदि वास्तविक संख्याओं a और b के लिए समीकरण \(x^2-2(a+b)x+(a-b)^2=0\) के दोनों मूल समान हों, तो a और b के बीच कौन-सा संबंध होगा?

If the quadratic equation \(x^2-2(a+b)x+(a-b)^2=0\), where a and b are real numbers, has equal roots, which relation holds between a and b?

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Correct Answer

A. \(ab=0\)

Explanation

Simple Explanation

समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC=0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+b)\) और \(C=(a-b)^2\) हैं। इसलिए \(D=4(a+b)^2-4(a-b)^2=16ab\)। अतः \(16ab=0\), यानी \(ab=0\)। विकल्प B या C केवल विशेष स्थितियाँ हैं, जबकि आवश्यक और पर्याप्त संबंध विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=B^2-4AC=0\). Here, \(A=1\), \(B=-2(a+b)\), and \(C=(a-b)^2\). Thus, \(D=4(a+b)^2-4(a-b)^2=16ab\). Therefore, \(16ab=0\), giving \(ab=0\). Options B and C describe only particular cases, whereas option A gives the necessary and sufficient relation. Exam tip: For equal roots, immediately apply \(D=0\).

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Question 4/4 Hard Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

समीकरण \(x^2+2px+p^2+1=0\) के मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Which statement correctly describes the nature of the roots of \(x^2+2px+p^2+1=0\)?

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Correct Answer

A. किसी भी वास्तविक \(p\) के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं हैThere are no real roots for any real \(p\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2+1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\) है, जो हर वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(p=0\) रखने पर समीकरण \(x^2+1=0\) बनता है, जिसके वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक और संयुग्मी होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2+1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\), which remains negative for every real \(p\). Therefore, the equation has no real roots. Option D is also incorrect because putting \(p=0\) gives \(x^2+1=0\), which has no real roots. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means the roots are non-real conjugates.

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