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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

समीकरण \(x^2+2px+p^2+1=0\) के मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है?

Which statement correctly describes the nature of the roots of \(x^2+2px+p^2+1=0\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. किसी भी वास्तविक \(p\) के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं हैThere are no real roots for any real \(p\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2+1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\) है, जो हर वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(p=0\) रखने पर समीकरण \(x^2+1=0\) बनता है, जिसके वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक और संयुग्मी होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2+1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\), which remains negative for every real \(p\). Therefore, the equation has no real roots. Option D is also incorrect because putting \(p=0\) gives \(x^2+1=0\), which has no real roots. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means the roots are non-real conjugates.

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समीकरण \(x^2+2px+p^2+1=0\) के मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है? / Which statement correctly describes the nature of the roots of \(x^2+2px+p^2+1=0\)?

Correct Answer: A. किसी भी वास्तविक \(p\) के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है / There are no real roots for any real \(p\). Explanation: यहाँ \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2+1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\) है, जो हर वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(p=0\) रखने पर समीकरण \(x^2+1=0\) बनता है, जिसके वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक और संयुग्मी होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2+1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\), which remains negative for every real \(p\). Therefore, the equation has no real roots. Option D is also incorrect because putting \(p=0\) gives \(x^2+1=0\), which has no real roots. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means the roots are non-real conjugates.