यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर D = (z − 9)(z + 1) है, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए z का कौन-सा अंतराल आवश्यक है?

Correct Answer: A. −1 < z < 9. Explanation: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर D < 0 होना चाहिए। अतः (z − 9)(z + 1) < 0। इस गुणनफल का मान दोनों शून्यकों −1 और 9 के बीच ऋणात्मक होता है, इसलिए −1 < z < 9। विकल्प B में D > 0 होता है, जिससे दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं; जबकि सिरों z = −1 और z = 9 पर D = 0 होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल के दो रैखिक गुणकों के बीच का अंतराल जाँचने के लिए किसी एक मान, जैसे z = 0, पर चिन्ह अवश्य जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies D < 0. Therefore, (z − 9)(z + 1) < 0. This product is negative between its zeros, −1 and 9, so −1 < z < 9. In option B, D > 0, which gives two distinct real roots; at z = −1 or z = 9, D = 0, which gives equal real roots. Exam tip: For a product of two linear factors, test a value such as z = 0 to confirm the sign in the interval between the zeros.