If x² − 2(k − 4)x + (k² − 10k + 27) = 0 has no real roots, which condition on k is correct?यदि x² − 2(k − 4)x + (k² − 10k + 27) = 0 के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, तो k पर कौन-सी शर्त सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: k < 11/2k < 11/2
The relevant principle is that a quadratic has no real roots exactly when its discriminant is negative. Here a = 1, b = −2(k − 4), and c = k² − 10k + 27. Compute D = [−2(k − 4)]² − 4(k² − 10k + 27) = 4(k − 4)² − 4(k² − 10k + 27). Since (k − 4)² = k² − 8k + 16, the expression inside the difference is k² − 8k + 16 − k² + 10k − 27 = 2k − 11. Thus D = 4(2k − 11). The condition D < 0 gives 2k − 11 < 0, so k < 11/2. Equality produces equal real roots, and larger values produce two distinct real roots. Therefore option A is correct.यहाँ विविक्तकर की मूल शर्त लागू होगी: किसी द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते जब D = b² − 4ac < 0 हो। इस समीकरण में a = 1, b = −2(k − 4) और c = k² − 10k + 27 हैं। इसलिए D = [−2(k − 4)]² − 4(k² − 10k + 27) = 4(k − 4)² − 4(k² − 10k + 27)। अब (k − 4)² = k² − 8k + 16 रखने पर कोष्ठक के भीतर k² − 8k + 16 − k² + 10k − 27 = 2k − 11 मिलता है। अतः D = 4(2k − 11)। D < 0 के लिए 2k − 11 < 0, अर्थात k < 11/2। k = 11/2 पर समान वास्तविक मूल होंगे और उससे बड़े k पर दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। इसलिए विकल्प A सही है।
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