(9) is not prime because \(9=3^2\), so the first option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Every base must be prime; writing powers alone is not enough. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: (9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए पहला विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: हर आधार को अभाज्य होना चाहिए, केवल घात लिखना काफी नहीं।
\(2160=2^4\times 3^3\times 5\) and \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\).
Step 2
Why this answer is correct
For HCF, take the smaller exponents of common prime factors, so \(2^2\times 3^3\times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, carefully choose the smaller powers. चरण 1: \(2160=2^4\times 3^3\times 5\) और \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\)। चरण 2: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक लिए जाते हैं, इसलिए \(2^2\times 3^3\times 5=540\)। चरण 3: ऐसी गणना में छोटे घातांक चुनना न भूलें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से याद रखें।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती से बचें।
\(49 \times 7\) gives the value, but it is not final prime factorisation. चरण 1: (343) को \(7 \times 49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(343=7^3\)। चरण 3: \(49 \times 7\) मान देता है, पर अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
\(4^5\) gives the value, but prime factorisation must use base (2). चरण 1: (1024) को (2) की घात के रूप में पहचानें। चरण 2: \(1024=2^{10}\) होता है। चरण 3: \(4^5\) मान के लिए सही है, पर अभाज्य गुणनखंडन में आधार (2) होना चाहिए।
\(125=5^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(1250=2 \times 5^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep (10) in the final form because it is not prime. चरण 1: (1250) को \(125 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(125=5^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1250=2 \times 5^4\)। चरण 3: (10) को अंतिम रूप में न रखें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
A divisor's prime exponents must not exceed the given number's exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4 \times 3^2\), which is fully contained in \(2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: भाजक की अभाज्य घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(144=2^4 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^3\) में पूरा मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
(21) is not prime because \(21=3 \times 7\), so the third option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Always identify hidden composite numbers in options. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (21) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(21=3 \times 7\), इसलिए तीसरा विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: विकल्पों में छिपी संयुक्त संख्याएं जरूर पहचानें।
For larger powers, split the number into familiar cubes. चरण 1: \(729=27 \times 27\) है। चरण 2: \(27=3^3\), इसलिए \(729=3^3 \times 3^3=3^6\)। चरण 3: बड़ी घातों के लिए संख्या को पहचाने हुए घनों में तोड़ें।
An even number must contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check evenness. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
An odd number does not contain (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The second option has (3) and (5), but no (2), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes the number even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दूसरे विकल्प में (3) और (5) हैं, लेकिन (2) नहीं है, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
Do not leave (49) in the final answer because it is not prime. चरण 1: (245) को \(5 \times 49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(245=5 \times 7^2\)। चरण 3: (49) को अंतिम उत्तर में न रखें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
Evaluating powers first makes the calculation simple. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^2=9\) है। चरण 2: \(4 \times 9 \times 11=36 \times 11=396\)। चरण 3: पहले घातों को हल करना गणना को सरल बनाता है।
\(4=2^2\) and \(81=3^4\), so \(324=2^2 \times 3^4\).
Step 3
Exam Tip
Identify the required exponent separately in the final answer. चरण 1: (324) को \(4 \times 81\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(81=3^4\), इसलिए \(324=2^2 \times 3^4\)। चरण 3: मांगी गई घात को अंतिम उत्तर में अलग से पहचानें।
\(27=3^3\) and \(25=5^2\), so \(675=3^3 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Splitting a number into familiar squares and cubes is a good method. चरण 1: (675) को \(27 \times 25\) लिखें। चरण 2: \(27=3^3\) और \(25=5^2\), इसलिए \(675=3^3 \times 5^2\)। चरण 3: संख्या को आसान वर्ग और घन में तोड़ना अच्छा तरीका है।
Remembering powers of (2) saves time in such questions. चरण 1: (384) को \(128 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(128=2^7\), इसलिए \(384=2^7 \times 3\)। चरण 3: (2) की बड़ी घातों को याद रखना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है।
Do not leave (25) in the final form because it is not prime. चरण 1: (275) को \(25 \times 11\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(275=5^2 \times 11\)। चरण 3: (25) को अंतिम रूप में न छोड़ें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
Repeated division by the same prime helps find its exponent. चरण 1: (224) को \(32 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\), इसलिए \(224=2^5 \times 7\)। चरण 3: किसी अभाज्य की घात जानने के लिए उसी अभाज्य से बार-बार भाग देना उपयोगी है।
\(12=2^2 \times 3\), so \(132=2^2 \times 3 \times 11\).
Step 3
Exam Tip
Always check that all bases in the final answer are prime. चरण 1: (132) को \(12 \times 11\) लिखें। चरण 2: \(12=2^2 \times 3\), इसलिए \(132=2^2 \times 3 \times 11\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में सभी आधार अभाज्य हैं या नहीं, यह जरूर जांचें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती से बचें।
\(9^2\) is not final prime factorisation because (9) is not prime. चरण 1: \(81=9 \times 9\) है। चरण 2: \(9=3^2\), इसलिए \(81=3^2 \times 3^2=3^4\)। चरण 3: \(9^2\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है क्योंकि (9) अभाज्य नहीं है।
\(8^3\) may give the value, but prime factorisation must use base (2). चरण 1: (512) को \(64 \times 8\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(8=2^3\), इसलिए \(512=2^9\)। चरण 3: \(8^3\) मान के लिए सही हो सकता है, पर अभाज्य गुणनखंडन में आधार (2) होना चाहिए।
Since \(10=2 \times 5\), (103=\(2 \times 5\)3=23 \times 53).
Step 3
Exam Tip
\(10^3\) is not final prime factorisation because (10) is not prime. चरण 1: \(1000=10^3\) है। चरण 2: \(10=2 \times 5\), इसलिए (103=\(2 \times 5\)3=23 \times 53)। चरण 3: \(10^3\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है क्योंकि (10) अभाज्य नहीं है।
For a divisor, its prime exponents must not exceed the available exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in the given number.
Step 3
Exam Tip
To test divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: किसी भाजक के लिए उसकी अभाज्य घातें उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो पूरी तरह दी गई संख्या में मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता जांचने में हर अभाज्य की घात अलग से मिलाएं।
(15) is not prime because \(15=3 \times 5\), so the third option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Identify hidden composite numbers in the options. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (15) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(15=3 \times 5\), इसलिए तीसरा विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: विकल्प में छिपी संयुक्त संख्याओं को पहचानें।
You can also divide repeatedly by (5) to find the exponent. चरण 1: \(625=25 \times 25\) है। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(625=5^2 \times 5^2=5^4\)। चरण 3: (5) की घात जानने के लिए (5) से बार-बार भाग भी कर सकते हैं।
Only the third option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, calculating the whole number is not necessary. चरण 1: सम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वही सम संख्या को दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है।
An odd number does not contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The second option has (3) and (7) but no (2), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes a number even. चरण 1: विषम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) नहीं होता। चरण 2: दूसरे विकल्प में (3) और (7) हैं लेकिन (2) नहीं है, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
\(25 \times 7\) gives the value, but it is not final prime factorisation. चरण 1: (175) को \(25 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(175=5^2 \times 7\)। चरण 3: \(25 \times 7\) मान देता है, पर अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
Calculate the number yourself before checking the options. चरण 1: \(2^4=16\) होता है। चरण 2: \(16 \times 3 \times 5=16 \times 15=240\)। चरण 3: विकल्पों में जाने से पहले स्वयं संख्या निकालें।
\(32=2^5\) and \(9=3^2\), so \(288=2^5 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
Clearly identify the required exponent in the final answer. चरण 1: (288) को \(32 \times 9\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(9=3^2\), इसलिए \(288=2^5 \times 3^2\)। चरण 3: मांगी गई घात को अंतिम उत्तर में साफ पहचानें।
\(16=2^4\) and \(27=3^3\), so \(432=2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
Recognising squares and cubes makes factorisation faster. चरण 1: (432) को \(16 \times 27\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और \(27=3^3\), इसलिए \(432=2^4 \times 3^3\)। चरण 3: वर्ग और घन संख्याएं पहचानना अभाज्य गुणनखंडन को तेज बनाता है।
\(32=2^5\) and \(10=2 \times 5\), so \(320=2^6 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep (10) in the final form because it is not prime. चरण 1: (320) को \(32 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(320=2^6 \times 5\)। चरण 3: (10) को अंतिम रूप में न रखें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
Do not leave composite bases like (4) or (14) in the final answer. चरण 1: (196) को \(14 \times 14\) लिखें। चरण 2: \(14=2 \times 7\), इसलिए \(196=2^2 \times 7^2\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में (4) या (14) जैसे संयुक्त आधार न छोड़ें।
\(8=2^3\) and \(21=3 \times 7\), so \(168=2^3 \times 3 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
To find the required exponent, you do not need to calculate any extra value. चरण 1: (168) को \(8 \times 21\) के रूप में लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(21=3 \times 7\), इसलिए \(168=2^3 \times 3 \times 7\)। चरण 3: मांगी गई घात के लिए पूरी संख्या का मान निकालना जरूरी नहीं होता।
\(21=3 \times 7\) and \(10=2 \times 5\), so \(210=2 \times 3 \times 5 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
After factorisation, check that every base is prime. चरण 1: (210) को \(21 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(21=3 \times 7\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(210=2 \times 3 \times 5 \times 7\)। चरण 3: गुणनखंडन के बाद सभी आधार अभाज्य हैं या नहीं यह जरूर जांचें।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Do not make the mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए (1) अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती न करें।
B. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from the order.
Step 2
Why this answer is correct
This comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें।
Do not leave (25) in the final answer because it is not prime. चरण 1: \(75=3 \times 25\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(75=3 \times 5^2\)। चरण 3: (25) को अंतिम उत्तर में न छोड़ें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
B. अभाज्य गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्याएं आधार होती हैं/Only prime numbers are bases in prime factorisation
Step 1
Concept
Prime factorisation means writing a number as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the bases must be prime numbers only.
Step 3
Exam Tip
Treating (1) as a prime factor is a major mistake. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अर्थ है संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखना। चरण 2: इसलिए आधार केवल अभाज्य संख्याएं होनी चाहिए। चरण 3: (1) को अभाज्य गुणनखंड मानना बड़ी गलती है।
\(4^3\) gives the value, but it is not prime factorisation because (4) is not prime. चरण 1: (64) को (2) से बार-बार भाग दें। चरण 2: \(64=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^6\)। चरण 3: \(4^3\) मान के लिए सही है, पर अभाज्य गुणनखंडन नहीं है क्योंकि (4) अभाज्य नहीं है।
\(12=2^2 \times 3\) and \(10=2 \times 5\), so \(120=2^3 \times 3 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to combine repeated prime factors from different parts. चरण 1: \(120=12 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(12=2^2 \times 3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(120=2^3 \times 3 \times 5\)। चरण 3: अलग-अलग भागों के समान अभाज्य गुणनखंडों को जोड़ना न भूलें।
A divisor must not need prime exponents greater than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in \(2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match the exponent of each prime separately. चरण 1: भाजक के अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होने चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^2\) में पूरी तरह मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
\(54=2 \times 3^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Splitting a large number into easy parts is a safe method. चरण 1: \(540=54 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(54=2 \times 3^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\)। चरण 3: बड़े नंबर को आसान भागों में तोड़ना सुरक्षित तरीका है।
Remembering small powers helps you calculate faster. चरण 1: \(3^3=27\) है। चरण 2: \(27 \times 7=189\), इसलिए संख्या (189) है। चरण 3: पहले छोटी घातों को याद करके गणना तेज करें।
\(8=2^3\) and \(27=3^3\), so \(216=2^3 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
Recognising cube numbers is very useful in medium-level questions. चरण 1: \(216=8 \times 27\) है। चरण 2: \(8=2^3\) और \(27=3^3\), इसलिए \(216=2^3 \times 3^3\)। चरण 3: घन संख्याएं पहचानना मध्यम स्तर के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
\(16=2^4\) and \(9=3^2\), so \(144=2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
Recognising square numbers helps in prime factorisation. चरण 1: \(144=16 \times 9\) है। चरण 2: \(16=2^4\) और \(9=3^2\), इसलिए \(144=2^4 \times 3^2\)। चरण 3: वर्ग संख्याएं पहचानना अभाज्य गुणनखंडन में मदद करता है।
\(9=3^2\) and \(10=2 \times 5\), so \(90=2 \times 3^2 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Splitting into easy parts like (9) and (10) is quick. चरण 1: \(90=9 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(90=2 \times 3^2 \times 5\)। चरण 3: (9) और (10) जैसे आसान भागों में तोड़ना तेज तरीका है।
An odd number does not have (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The third option has (3,5,7) and no (2), so it forms an odd number.
Step 3
Exam Tip
If (2) appears, the number is even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: तीसरे विकल्प में (3,5,7) हैं और (2) नहीं है, इसलिए यह विषम संख्या बनेगी। चरण 3: (2) दिखते ही संख्या सम हो जाती है।
An even number must have (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third option contains (2), so it forms an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check even or odd. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। चरण 3: सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
\(4=2^2\) and \(100=2^2 \times 5^2\), so \(400=2^4 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
(4) is not prime, so final factorisation must use only prime bases. चरण 1: \(400=4 \times 100\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(100=2^2 \times 5^2\), इसलिए \(400=2^4 \times 5^2\)। चरण 3: (4) अभाज्य नहीं है, इसलिए अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार लिखें।
Solving powers first makes multiplication simple. चरण 1: \(2^3=8\) और \(5^2=25\) है। चरण 2: \(8 \times 25=200\), इसलिए संख्या (200) है। चरण 3: घातों को पहले हल करने से गुणा सरल हो जाता है।
\(18=2 \times 3^2\) and \(10=2 \times 5\), so \(180=2^2 \times 3^2 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Focus on the required exponent instead of memorising the whole number. चरण 1: \(180=18 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(18=2 \times 3^2\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(180=2^2 \times 3^2 \times 5\)। चरण 3: मांगी गई घात ही देखें, पूरी संख्या याद रखना जरूरी नहीं है।
\(15^2\) shows the value, but it is not prime factorisation because (15) is not prime. चरण 1: \(225=15 \times 15\) है। चरण 2: \(15=3 \times 5\), इसलिए \(225=3^2 \times 5^2\)। चरण 3: \(15^2\) मान तो सही दिखाता है, पर अभाज्य गुणनखंडन में (15) नहीं लिखते।
In prime factorisation, every base must be a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
(9) is not prime because \(9=3^2\), so the second option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Always check each base carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य संख्याएं होनी चाहिए। चरण 2: (9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए दूसरा विकल्प सही अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: हर आधार की जांच जरूर करें।
To find an exponent, divide repeatedly by that prime. चरण 1: (96) को \(32 \times 3\) लिख सकते हैं। चरण 2: \(32=2^5\), इसलिए \(96=2^5 \times 3\)। चरण 3: किसी अभाज्य की घात जानने के लिए उस अभाज्य से बार-बार भाग देना अच्छा तरीका है।
Multiply completely before selecting the option. चरण 1: दी गई घात का मान निकालें। चरण 2: \(2^2 \times 3 \times 5=4 \times 3 \times 5=60\)। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले पूरा गुणा अवश्य करें।
\(15=3 \times 5\) and \(10=2 \times 5\), so \(150=2 \times 3 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Writing repeated prime factors as powers keeps the answer neat. चरण 1: (150) को \(15 \times 10\) के रूप में तोड़ें। चरण 2: \(15=3 \times 5\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(150=2 \times 3 \times 5^2\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को घात के रूप में लिखना साफ तरीका है।
Since \(4=2^2\) and \(21=3 \times 7\), \(84=2^2 \times 3 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
In exams, multiply back to verify the original number. चरण 1: (84) को \(4 \times 21\) के रूप में लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(21=3 \times 7\), इसलिए \(84=2^2 \times 3 \times 7\)। चरण 3: परीक्षा में गुणा करके वापस मूल संख्या मिलाकर जांच करें।
Do not ignore powers while reading factorisation. चरण 1: पहले \(2^2=4\) लिखें। चरण 2: संख्या \(4\times3\times11=132\) होगी। चरण 3: गुणनखंडन पढ़ते समय घातों को अनदेखा न करें।
\(2\times3\times11=66\), so the answer is (66). चरण 1: \(22=2\times11\) और \(33=3\times11\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए (2), (3) और (11) सभी लिए जाते हैं। चरण 3: \(2\times3\times11=66\), इसलिए उत्तर (66) है।
Therefore, the HCF is (11). चरण 1: \(22=2\times11\) और \(33=3\times11\)। चरण 2: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (11) है। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक (11) है।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from order.
Step 2
Why this answer is correct
So the given factorisation of (N) is based on this property.
Step 3
Exam Tip
Link uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: इसलिए (N) का दिया गया अभाज्य गुणनखंडन इसी गुणधर्म पर आधारित है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को हमेशा इस प्रमेय से जोड़ें।
Do not write (25) in prime factorisation because (25) is not prime. चरण 1: \(625=25 \times 25\) है। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(625=5^2 \times 5^2=5^4\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में (25) नहीं लिखना चाहिए क्योंकि (25) अभाज्य नहीं है।
\(8=2^3\) and \(9=3^2\), so \(72=2^3 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
Recognising simple squares and cubes speeds up factorisation. चरण 1: \(72=8 \times 9\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(9=3^2\), इसलिए \(72=2^3 \times 3^2\)। चरण 3: आसान वर्ग और घन पहचानना गुणनखंडन को तेज बनाता है।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Treating (1) as prime is a common mistake. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड (1) है, इसलिए उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानना सामान्य गलती है।
\(108=2^2 \times 3^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(1080=2^3 \times 3^3 \times 5\). The exponent of (2) is (3).
Step 3
Exam Tip
Repeated division by (2) is also useful for finding this exponent. चरण 1: \(1080=108 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(108=2^2 \times 3^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1080=2^3 \times 3^3 \times 5\)। (2) की घात (3) है। चरण 3: (2) की घात जानने के लिए बार-बार (2) से भाग देना भी उपयोगी है।
An odd number has no factor (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The first option contains only (3,5,7), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes a number even. चरण 1: विषम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) नहीं होता। चरण 2: पहले विकल्प में केवल (3,5,7) हैं, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
A number is even if its prime factorisation contains (2).
Step 2
Why this answer is correct
Only the first option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, look only for the factor (2). चरण 1: कोई संख्या सम तभी होती है जब उसमें (2) अभाज्य गुणनखंड हो। चरण 2: केवल पहले विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वह सम संख्या है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरे गुणा की जरूरत नहीं, केवल (2) देखें।
Since \(12=2^2 \times 3\), \(144=2^4 \times 3^2\); the sum is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
When squaring a number, its prime exponents double. चरण 1: \(144=12^2\) है। चरण 2: \(12=2^2 \times 3\), इसलिए \(144=2^4 \times 3^2\); घातों का योग (4+2=6) है। चरण 3: वर्ग संख्या का गुणनखंडन करते समय घातें दोगुनी हो जाती हैं।
\(9=3^2\) and \(100=2^2 \times 5^2\), so \(900=2^2 \times 3^2 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Using square numbers makes factorisation easier. चरण 1: \(900=9 \times 100\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(100=2^2 \times 5^2\), इसलिए \(900=2^2 \times 3^2 \times 5^2\)। चरण 3: वर्ग संख्याओं का उपयोग करने से गुणनखंडन आसान हो जाता है।
\(126=2 \times 3^2 \times 7\) and \(10=2 \times 5\), so \(1260=2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (11).
Step 3
Exam Tip
Match the options with the prime factorisation. चरण 1: \(1260=126 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(126=2 \times 3^2 \times 7\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1260=2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (11) नहीं है। चरण 3: विकल्पों को अभाज्य गुणनखंडन से मिलाएं।
A trailing zero comes from a pair \(10=2 \times 5\).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (3) and of (5) is (1), so there is (1) pair.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, take the smaller exponent of (2) and (5). चरण 1: अंतिम शून्य \(10=2 \times 5\) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (3) और (5) की घात (1) है, इसलिए जोड़ों की संख्या (1) है। चरण 3: अंतिम शून्य के लिए (2) और (5) में छोटी घात लें।
\(54=2 \times 3^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Splitting a number into two easy parts saves time. चरण 1: \(540=54 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(54=2 \times 3^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\)। चरण 3: बड़े अंकों को दो आसान भागों में तोड़ना तेज तरीका है।
A divisor must not require prime exponents higher than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2 \times 5\), which is fully contained in \(3^2 \times 5^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare exponents to test divisibility. चरण 1: कोई संख्या तभी अवश्य विभाज्य होगी जब उसके अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक न हों। चरण 2: \(45=3^2 \times 5\), जो \(3^2 \times 5^3\) में पूरा मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता जांचते समय घातों की तुलना करें।
Since \(84=2^2 \times 3 \times 7\) and \(10=2 \times 5\), \(840=2^3 \times 3 \times 5 \times 7\). The exponent of (7) is (1).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing once has exponent (1). चरण 1: \(840=84 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(84=2^2 \times 3 \times 7\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(840=2^3 \times 3 \times 5 \times 7\)। (7) की घात (1) है। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक बार आए, उसकी घात (1) होती है।
\(2^4 \times 5^2=16 \times 25=400\), and it has no factor (3).
Step 3
Exam Tip
Check the exponent of every prime before choosing. चरण 1: शर्त के अनुसार संख्या \(2^4 \times 5^2\) होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4 \times 5^2=16 \times 25=400\), इसमें (3) नहीं है। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले हर अभाज्य की घात जांचें।
Since \(36=2^2 \times 3^2\) and \(10=2 \times 5\), \(360=2^3 \times 3^2 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Verify by multiplying back to the original number. चरण 1: \(360=36 \times 10\) लिख सकते हैं। चरण 2: \(36=2^2 \times 3^2\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(360=2^3 \times 3^2 \times 5\)। चरण 3: जांच के लिए गुणा करके मूल संख्या अवश्य मिलाएं।
In such questions, solve powers before multiplying. चरण 1: दी गई घातों का मान निकालें। चरण 2: \(2^2 \times 3 \times 5^2=4 \times 3 \times 25=300\) होता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले घात हल करें, फिर गुणा करें।
In long multiplication, pair easy numbers first, such as \(16\times25=400\). चरण 1: \(2^4=16\) और \(5^2=25\)। चरण 2: संख्या \(16\times3\times25=1200\) होगी। चरण 3: लंबे गुणन में पहले आसान जोड़ी \(16\times25=400\) बना सकते हैं।
First evaluate the powers: \(2^3=8\) and \(3^2=9\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(8\times9\times5=360\).
Step 3
Exam Tip
While forming a number from factorisation, simplify powers first and then multiply. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें: \(2^3=8\) और \(3^2=9\)। चरण 2: अब \(8\times9\times5=360\)। चरण 3: गुणनखंडन से संख्या बनाते समय पहले घात, फिर गुणा करें।
For LCM, take the highest powers \(2^2\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
\(4\times3\times5=60\), so the LCM is (60). चरण 1: \(20=2^2\times5\) और \(30=2\times3\times5\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए बड़ी घातें \(2^2\), (3) और (5) लें। चरण 3: \(4\times3\times5=60\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (60) है।
The common prime factors are (2) and (5) with smaller powers (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
\(2\times5=10\), so the HCF is (10). चरण 1: \(20=2^2\times5\) और \(30=2\times3\times5\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (5) हैं तथा छोटी घातें (2) और (5) हैं। चरण 3: \(2\times5=10\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (10) है।
Always simplify powers first and then multiply. चरण 1: \(2^3=8\) और \(5^2=25\)। चरण 2: दोनों मानों का गुणा करने पर \(8\times25=200\) मिलता है। चरण 3: घातों को पहले हल करें, फिर गुणा करें।
Since \(2^2=4\), the number is \(4\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
Reading prime factorisation correctly helps in HCF and LCM questions. चरण 1: दी गई अभाज्य घातों को पहले सरल करें। चरण 2: \(2^2=4\), इसलिए संख्या \(4\times3\times7=84\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक या लघुत्तम समापवर्त्य से पहले गुणनखंडन को सही पढ़ना जरूरी है।
Taking the highest powers of all prime factors gives \(2^3\times3^2=72\).
Step 3
Exam Tip
For LCM, include both common and uncommon prime factors. चरण 1: \(18=2\times3^2\) और \(24=2^3\times3\)। चरण 2: सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लेने पर \(2^3\times3^2=72\) मिलता है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए समान और असमान दोनों गुणनखंड देखें।
Taking the smaller powers of common prime factors gives \(2\times3=6\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, take only common prime factors. चरण 1: \(18=2\times3^2\) और \(24=2^3\times3\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लेने पर \(2\times3=6\) मिलता है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक निकालते समय केवल समान गुणनखंडों को लें।
A. क्योंकि 64 और 3969 संयुक्त रूप हैं/Because 64 and 3969 are composite forms
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\) and \(3969=3^4\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the final form is \(2^6\times3^4\times7^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(64=2^6\) और \(3969=3^4\times7^2\) है। चरण 3: इसलिए अंतिम रूप \(2^6\times3^4\times7^2\) होगा।
\(66825=3^5\times5^2\times11\), so \(2138400=2^5\times3^5\times5^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Give 66825 its complete prime form. चरण 1: \(2138400=32\times66825\) लिखें। चरण 2: \(66825=3^5\times5^2\times11\), इसलिए \(2138400=2^5\times3^5\times5^2\times11\)। चरण 3: 66825 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(64=2^6\) and \(3969=3^4\times7^2\), so \(254016=2^6\times3^4\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 3969 into prime powers. चरण 1: \(254016=64\times3969\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(3969=3^4\times7^2\), इसलिए \(254016=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 3: 3969 को अभाज्य घातों में बदलें।
Avoid decimal-based options and write prime bases. चरण 1: \(582120=52920\times11\) लिखें। चरण 2: \(52920=2^3\times3^3\times5\times7^2\) नहीं बल्कि यहां \(16\times27\times25\times49\times11\) से \(2^4\times3^3\times5^2\times7^2\times11\) मिलता है। चरण 3: दशमलव वाले विकल्प से बचें और अभाज्य आधार लिखें।
When there are many factors, multiply in small groups. चरण 1: \(2^3=8\), \(3^3=27\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times27\times25\times7\times11=415800\)। चरण 3: कई गुणनखंड हों तो छोटे समूह बनाकर गुणा करें।
Take \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\), and (7).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times243\times25\times7=680400\).
Step 3
Exam Tip
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\) और (7) लें। चरण 2: \(16\times243\times25\times7=680400\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
\(2^6\times81\times121\) must be changed into \(2^6\times3^4\times11^2\). चरण 1: अधूरे रूप में संयुक्त आधार बच जाता है। चरण 2: 81 और 121 संयुक्त आधार हैं। चरण 3: \(2^6\times81\times121\) को \(2^6\times3^4\times11^2\) में बदलना होगा।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
32, 81, 25, 405, 35, and 160 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 32, 81, 25, 405, 35 और 160 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
Simplify the higher-power part first. चरण 1: \(2^3=8\) और \(3^6=729\) निकालें। चरण 2: \(8\times729\times5\times13=379080\)। चरण 3: बड़े घात वाले भाग को पहले सरल करें।
