If p(x) = x² − 6x + 8, which monic polynomial has the squares of its zeroes as its zeroes?यदि p(x) = x² − 6x + 8 हो, तो ऐसा कौन-सा मोनिक बहुपद होगा जिसके शून्यक मूल बहुपद के शून्यकों के वर्ग हों?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x² − 20x + 64x² − 20x + 64
Let α and β be the zeroes of p(x). Since p(x)=x^2-6x+8 is monic, Vieta’s relations give α+β=6 and αβ=8. The required zeroes are α^2 and β^2. Their sum is α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=6^2-2(8)=36-16=20. Their product is α^2β^2=(αβ)^2=8^2=64. A monic quadratic with zeroes having sum S and product P is x^2-Sx+P. Substituting S=20 and P=64 gives x^2-20x+64, so option A is correct. Option B is merely the original polynomial. Option C uses an incorrect transformed sum and product, while D has product 64 but the wrong sum. The calculation can also be checked from the actual zeroes 2 and 4, whose squares are 4 and 16; their polynomial is (x-4)(x-16)=x^2-20x+64.मान लें कि p(x) के शून्यक α और β हैं। क्योंकि p(x)=x^2-6x+8 एक मोनिक द्विघात है, विएटा के संबंधों से α+β=6 और αβ=8 प्राप्त होते हैं। वांछित नए शून्यक α^2 और β^2 हैं। उनका योग α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=6^2-2×8=36-16=20 होगा। उनका गुणनफल α^2β^2=(αβ)^2=8^2=64 होगा। जिन शून्यकों का योग S और गुणनफल P हो, उस मोनिक द्विघात का रूप x^2-Sx+P होता है। अतः वांछित बहुपद x^2-20x+64 है और विकल्प A सही है। वास्तव में मूल शून्यक 2 और 4 हैं; उनके वर्ग 4 और 16 हैं तथा (x-4)(x-16)=x^2-20x+64 मिलता है। B मूल बहुपद है, C का योग गलत है और D का गुणनफल सही होते हुए भी योग गलत है।
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