A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root. चरण 1: किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। चरण 2: जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। चरण 3: केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
B. क्योंकि परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Because adding an irrational number to a rational number gives an irrational result
Step 1
Concept
\(\frac{3}{2}\) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If their sum were rational, then \(\sqrt{5}\) would become the difference of two rational numbers, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational-plus-irrational questions, contradiction is a very useful method. चरण 1: \(\frac{3}{2}\) परिमेय संख्या है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है। चरण 2: यदि उनका योग परिमेय मानें तो \(\sqrt{5}\) को दो परिमेय संख्याओं के अंतर के रूप में लिखना पड़ेगा जो असंभव है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के योग वाले प्रश्नों में विरोधाभास विधि बहुत उपयोगी है।
A. \(3\sqrt{7}\) और अपरिमेय/\(3\sqrt{7}\) and irrational
Step 1
Concept
Since \(28=4\cdot 7\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).
Step 2
Why this answer is correct
Now \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In exams, combine like radicals by adding their coefficients. चरण 1: \(28=4\cdot 7\) इसलिए \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)। चरण 2: अब \(\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: परीक्षा में समान वर्गमूल वाले पदों को गुणांक जोड़कर सरल करें।
A. क्या वह पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में बदल रही है/Whether it becomes the square root of a perfect square
Step 1
Concept
In square-root questions first check whether the number inside is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
A perfect square may give a rational square root while a non-perfect square often gives an irrational value.
Step 3
Exam Tip
Simplifying is the safest first step in identification questions. चरण 1: वर्गमूल वाले प्रश्नों में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। चरण 2: पूर्ण वर्ग हो तो वर्गमूल परिमेय हो सकता है और पूर्ण वर्ग न हो तो अक्सर अपरिमेय होता है। चरण 3: पहचान वाले प्रश्नों में सरल करना सबसे सुरक्षित शुरुआत है।
\(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\). Since \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\), the second expression is greater.
Step 3
Exam Tip
Simplify first and compare carefully. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)। तुलना में \(4\sqrt{2}\) लगभग (5.66) और दूसरा लगभग (6.29) लगता है लेकिन शुद्ध तुलना में \(2\sqrt{2}\) और \(2\sqrt{3}\) के कारण दूसरा बड़ा है। चरण 3: अनुमान और सरल रूप दोनों जांचें।
A. \(2\sqrt{2}\) और अपरिमेय/\(2\sqrt{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The difference is \(2\sqrt{2}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Directly subtracting numbers inside radicals is wrong. चरण 1: \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)। चरण 2: अंतर \(2\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों के अंदर की संख्याओं को सीधे घटाना गलत है।
From (r+s=s), subtract (s) from both sides to get (r=0).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is rational, so the condition is possible.
Step 3
Exam Tip
Form a simple equation before judging number types. चरण 1: (r+s=s) से दोनों ओर (s) घटाने पर (r=0) मिलता है। चरण 2: (0) परिमेय है इसलिए स्थिति संभव है। चरण 3: सरल समीकरण बनाकर संख्या के प्रकार की जांच करें।
B. परिमेय क्योंकि \(4+\sqrt{9}=7\)/Rational because \(4+\sqrt{9}=7\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{9}=3\).
Step 2
Why this answer is correct
(4+3=7), a rational number.
Step 3
Exam Tip
Do not call every expression with a square root irrational immediately. चरण 1: \(\sqrt{9}=3\)। चरण 2: (4+3=7) परिमेय संख्या है। चरण 3: वर्गमूल देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें।
B. यह \(\sqrt{6}\) है और अपरिमेय है/It is \(\sqrt{6}\) and irrational
Step 1
Concept
The product of radicals is \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (6) is not a perfect square \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication the numbers inside radicals multiply, not add. चरण 1: वर्गमूलों का गुणनफल \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\) है। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में भीतर की संख्याएं गुणा होती हैं जोड़ नहीं।
A. समकोण त्रिभुज की भुजाएं (1) और (1) लेकर कर्ण बनाना/Make a right triangle with legs (1) and (1) and use the hypotenuse
Step 1
Concept
\(1^2+1^2=2\).
Step 2
Why this answer is correct
So the hypotenuse of that right triangle is \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
The Pythagoras theorem helps locate irrational numbers on a number line. चरण 1: \(1^2+1^2=2\) होता है। चरण 2: इसलिए ऐसे समकोण त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{2}\) होगा। चरण 3: संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्या रखने में पाइथागोरस प्रमेय उपयोगी है।
A. (x) पूर्ण वर्ग नहीं है/(x) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer and rational.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\sqrt{x}\) is irrational then (x) cannot be a perfect square.
Step 3
Exam Tip
For irrational square roots first check perfect-square status. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है और परिमेय होता है। चरण 2: \(\sqrt{x}\) अपरिमेय है तो (x) पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल के लिए पूर्ण वर्ग की जांच सबसे पहले करें।
B. \(2.12112111211112\ldots\) जिसमें कोई आवर्ती समूह नहीं है/\(2.12112111211112\ldots\) with no repeating block
Step 1
Concept
Terminating or recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
The given decimal is non-terminating and has no fixed repeating block, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Decide by checking repetition, not just by seeing many digits. चरण 1: समाप्त या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: दिया गया दशमलव अनंत है और उसमें कोई स्थिर आवर्ती समूह नहीं है इसलिए वह अपरिमेय है। चरण 3: केवल लंबा दशमलव देखकर नहीं बल्कि आवृत्ति देखकर निर्णय लें।
B. अपरिमेय क्योंकि \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)/Irrational because \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and remains irrational after division by (3).
Step 3
Exam Tip
Check both numerator and denominator of the fraction. चरण 1: \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (3) से भाग देने पर भी अपरिमेय रहता है। चरण 3: भिन्न के अंश और हर दोनों को जांचें।
B. परिमेय क्योंकि \(\sqrt{0.04}=0.2\)/Rational because \(\sqrt{0.04}=0.2\)
Step 1
Concept
\(0.04=\frac{4}{100}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{0.04}=\frac{2}{10}=0.2\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Every square root is not irrational. चरण 1: \(0.04=\frac{4}{100}\)। चरण 2: \(\sqrt{0.04}=\frac{2}{10}=0.2\) परिमेय है। चरण 3: हर वर्गमूल अपरिमेय नहीं होता।
Multiplying by the conjugate makes the denominator rational. चरण 1: हर को \(\sqrt{5}-1\) से गुणा करें। चरण 2: (\frac{2\(\sqrt{5}-1\)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2})। चरण 3: संयुग्मी से गुणा करने पर हर परिमेय बन जाता है।
Squaring gives \(5-2\sqrt{6}\), forcing \(\sqrt{6}\) to be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
The difference of unlike radicals is not directly an integer. चरण 1: मान लें \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) परिमेय है। चरण 2: वर्ग करने पर \(5-2\sqrt{6}\) से \(\sqrt{6}\) परिमेय होना पड़ेगा जो गलत है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों का अंतर सीधे पूर्णांक नहीं माना जाता।
\(\sqrt{3}\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\), so the sum is (10).
Step 3
Exam Tip
In products combine radicals and check for perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{2}\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\)। चरण 2: \(\sqrt{3}\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\) इसलिए योग (10) है। चरण 3: गुणनफल में वर्गमूलों को मिलाकर पूर्ण वर्ग देखें।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
A. यह \(6\sqrt{2}\) है और अपरिमेय है/It is \(6\sqrt{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The result is \(6\sqrt{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add and subtract coefficients of like radicals. चरण 1: \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: परिणाम \(6\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़ें और घटाएं।
A. \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) would be rational which is impossible
Step 1
Concept
The equation gives \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{a}{b}\) is rational but \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Such questions use irrationality to create a contradiction. चरण 1: समीकरण से \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) मिलेगा। चरण 2: \(-\frac{a}{b}\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अपरिमेयता से विरोधाभास बनता है।
Hence \(1<\sqrt{2}<2\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To locate an irrational number compare squares. चरण 1: (1<2<4) है। चरण 2: इसलिए \(1<\sqrt{2}<2\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को स्थान देने के लिए वर्ग करके तुलना करें।
A. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) और अपरिमेय/\(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Rationalize the denominator before combining terms. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) जो अपरिमेय है। चरण 3: जोड़ने से पहले हर को परिमेय बनाने की आदत रखें।
B. अपरिमेय क्योंकि यह \(\sqrt{5}\) के बराबर है/Irrational because it equals \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Even after division check the remaining radical. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)। चरण 2: \(\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: हर से भाग देने पर भी बचा हुआ वर्गमूल जांचना जरूरी है।
The square of an irrational number can be rational. चरण 1: \(x=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 2: (x-2=\(\sqrt{10}\)2=10) है जो परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या का वर्ग कई बार परिमेय हो सकता है।
A. क्योंकि (p) का कोई वर्ग गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता/Because (p) has no square factor except (1)
Step 1
Concept
A prime number (p) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
If it is not a perfect square then \(\sqrt{p}\) cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
Assuming the square root of a prime to be rational leads to a factor contradiction. चरण 1: अभाज्य संख्या (p) पूर्ण वर्ग नहीं होती। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने पर \(\sqrt{p}\) परिमेय नहीं हो सकता। चरण 3: अभाज्य संख्या के वर्गमूल को परिमेय मानने से गुणनखंडों में विरोधाभास आता है।
A. \(7\sqrt{3}\) और अपरिमेय/\(7\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(7\sqrt{3}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify radicals before adding them. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। चरण 2: योग \(7\sqrt{3}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों को जोड़ने से पहले सरल रूप में बदलें।
If (r-s) were rational then (s=r-(r-s)) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
Adding or subtracting a rational and an irrational number gives an irrational number. चरण 1: मान लें परिमेय (r) और अपरिमेय (s) हैं। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय को जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।
(\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Product of conjugates often removes the radical. चरण 1: यह अंतर के वर्ग का रूप है। चरण 2: (\(\sqrt{3}+1\)\(\sqrt{3}-1\)=3-1=2) जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पदों का गुणनफल अक्सर वर्गमूल हटा देता है।
B. यह \(2\sqrt{a}\) के बराबर अपरिमेय है/It equals \(2\sqrt{a}\) and is irrational
Step 1
Concept
Like terms give \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a) is not a perfect square \(\sqrt{a}\) is irrational and its double is irrational.
Step 3
Exam Tip
Add like radicals like algebraic terms. चरण 1: समान पद जोड़ने पर \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}\)। चरण 2: (a) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान वर्गमूलों को बीजगणितीय पदों की तरह जोड़ें।
Therefore \(2<\sqrt{5}<3\) and since (5) is not a perfect square \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use squares to locate irrational square roots between integers. चरण 1: (4<5<9) है। चरण 2: इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: बीच की संख्या खोजते समय वर्गों से सीमा बनाएं।
B. \(\sqrt{6}\) परिमेय है/\(\sqrt{6}\) is rational
Step 1
Concept
Suppose \(5-\sqrt{6}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then \(\sqrt{6}=5-\) that rational number so \(\sqrt{6}\) would be rational.
Step 3
Exam Tip
In contradiction proofs identify the result that clashes with a known fact. चरण 1: मान लें \(5-\sqrt{6}\) परिमेय है। चरण 2: तब \(\sqrt{6}=5-\) वह परिमेय संख्या होगा इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिल जाएगा। चरण 3: विरोधाभास विधि में उस निष्कर्ष को पकड़ें जो ज्ञात तथ्य से टकराता है।
B. \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\)/\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}\) and \(\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) which is rational.
Step 3
Exam Tip
In quotients check whether the ratio inside the radical becomes a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{18}\) और \(\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3\) परिमेय है। चरण 3: भाग में मूल के अंदर अनुपात पूर्ण वर्ग बन रहा है या नहीं यह देखें।
B. अपरिमेय क्योंकि \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)/Irrational because \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(48=16\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The square root of an even number need not be rational. चरण 1: \(48=16\cdot 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: सम संख्या का वर्गमूल परिमेय होगा यह जरूरी नहीं।
If \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) were rational then its reciprocal \(\sqrt{3}\) would be rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) is irrational so the given number is irrational.
Step 3
Exam Tip
A denominator with an irrational radical does not make the value rational automatically. चरण 1: यदि \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) परिमेय हो तो उसका व्युत्क्रम \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होगा। चरण 2: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए दी गई संख्या भी अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय हर देखकर उसे अपने आप परिमेय न मानें।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an irrational number to an integer does not give an integer. चरण 1: (3) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: किसी पूर्णांक में अपरिमेय संख्या जोड़ने से वह पूर्णांक नहीं रहता।
The product of two identical irrational square roots becomes the number inside. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5\) परिमेय है। चरण 3: दो समान अपरिमेय वर्गमूलों का गुणनफल भीतर की संख्या बन जाता है।
C. अनंत अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-recurring decimal
Step 1
Concept
Rational numbers have terminating or recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
Irrational numbers have non-terminating and non-recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
If a repeating block is visible the number may be rational. चरण 1: परिमेय संख्याओं का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: अपरिमेय संख्याओं का दशमलव अनंत और अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव में बार-बार आने वाला समूह दिखाई दे तो वह परिमेय हो सकता है।
B. अपरिमेय क्योंकि उत्तर \(\sqrt{2}\) है/Irrational because the answer is \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The difference is \(\sqrt{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not subtract the numbers inside square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: अंतर \(\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल घटाते समय भीतर की संख्याओं को सीधे न घटाएं।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
B. दोनों अपरिमेय हैं और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)/Both are irrational and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
Since \(8=4\cdot 2\) we have \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) is irrational and its double is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Compare like radicals after simplifying them. चरण 1: \(8=4\cdot 2\) है इसलिए \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और उसका दुगुना भी अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाली संख्याओं को सरल रूप में तुलना करें।
Multiplying it by \(\sqrt{13}\) gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
In products check first whether square roots combine to a perfect square. चरण 1: \(\frac{3}{5}\) शून्य रहित परिमेय है। चरण 2: शून्य रहित परिमेय संख्या से \(\sqrt{13}\) को गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: गुणनफल में पहले देखें कि वर्गमूल मिलकर पूर्ण वर्ग तो नहीं बना रहे।
C. यह अनावर्ती और अनंत दशमलव है/It is non-recurring and non-terminating decimal
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) is not the square root of a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
So it is irrational and its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
While using decimal form check whether repetition exists. चरण 1: \(\sqrt{5}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है। चरण 2: इसलिए यह अपरिमेय है और इसका दशमलव विस्तार अनंत अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव रूप से पहचानते समय आवृत्ति पर ध्यान दें।
B. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) become even
Step 1
Concept
From \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes (p) even and then (q) even.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot both be even so the assumption is false. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) सम और फिर (q) भी सम मिलता है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याएं दोनों सम नहीं हो सकतीं इसलिए मान्यता गलत है।
First look for perfect-square factors inside the radical. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। चरण 2: \(\sqrt{49}=7\) है इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: संख्या के अंदर पूर्ण वर्ग गुणनखंड देखकर सरल करें।
Squaring gives \(5+2\sqrt{6}\) so \(\sqrt{6}\) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
Do not decide the sum of two different irrational numbers without reasoning. चरण 1: मान लें \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) परिमेय है। चरण 2: वर्ग करने पर \(5+2\sqrt{6}\) परिमेय होना चाहिए इसलिए \(\sqrt{6}\) परिमेय मिलेगा जो गलत है। चरण 3: दो अलग अपरिमेय संख्याओं के योग को सीधे परिमेय या अपरिमेय न मानें।
The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
For example \(\sqrt{25}=5\).
Step 3
Exam Tip
The square root of a prime number is usually irrational. चरण 1: धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। चरण 2: जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है।
\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose the answer before simplifying square roots. चरण 1: सरल करें \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को सरल किए बिना उत्तर जल्दी न चुनें।
If \(a\sqrt{3}\) were rational then \(\sqrt{3}\) would also become rational which is false.
Step 3
Exam Tip
In exams always check the special case of multiplication by zero. चरण 1: (a) परिमेय और शून्य नहीं है। चरण 2: यदि \(a\sqrt{3}\) परिमेय मान लें तो \(\sqrt{3}\) भी परिमेय मिलेगा जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में शून्य से गुणा वाले विशेष मामले को अलग याद रखें।
In cube-type questions, finding \(x+\frac{1}{x}\) first is the easier method. चरण 1: (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=1), इसलिए \(\frac{1}{x}=\sqrt{6}-\sqrt{5}\)। चरण 2: \(x+\frac{1}{x}=2\sqrt{6}\), अतः (x-3+\frac{1}{x-3}=\(2\sqrt{6}\)3-3\(2\sqrt{6}\)=42\sqrt{6})। चरण 3: घन वाले प्रश्नों में पहले \(x+\frac{1}{x}\) निकालना आसान तरीका है।
In long surd expressions, write the coefficients separately and add them. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\)। चरण 2: \(1\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। चरण 3: लंबे मूल वाले प्रश्न में गुणांक अलग लिखकर जोड़ना आसान रहता है।
The product is (\sqrt{7}\(\sqrt{7}+4\)=7+4\sqrt{7}).
Step 3
Exam Tip
Before applying an identity directly, substitute the given value of (x) carefully. चरण 1: ((x-2)=\sqrt{7}) और ((x+2)=\sqrt{7}+4)। चरण 2: गुणन (\sqrt{7}\(\sqrt{7}+4\)=7+4\sqrt{7}) है। चरण 3: सीधे सूत्र लगाने से पहले (x) का दिया हुआ मान ध्यान से रखें।
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। चरण 2: इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। चरण 3: ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें।
In the sum of squares of conjugates, irrational terms cancel. चरण 1: (x) और (y) संयुग्मी हैं। चरण 2: (x-2+y-2=2\(4^2+15\)=2(31)=62)। चरण 3: संयुग्मी वर्गों के योग में अपरिमेय पद कट जाते हैं।
A prime number is not a perfect square, so \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For the square root of a prime, use the non-perfect-square idea directly. चरण 1: (11) अभाज्य संख्या है। चरण 2: कोई अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या के वर्गमूल पर सीधे अपूर्ण वर्ग का विचार लगाएँ।
Thus \(x^2-7=2\sqrt{10}\), and its square is (40).
Step 3
Exam Tip
First isolate the irrational part, then square it. चरण 1: \(x^2=5+2+2\sqrt{10}=7+2\sqrt{10}\)। चरण 2: इसलिए \(x^2-7=2\sqrt{10}\), और इसका वर्ग (40) है। चरण 3: पहले परिमेय भाग अलग करें, फिर वर्ग करें।
The difference is \(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
For like surds, subtract only the coefficients. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) है। चरण 2: अंतर \(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: समान मूल वाले पदों में केवल गुणांक घटाएँ।
The denominator \(x^2-2=0\), so the fraction is undefined.
Step 3
Exam Tip
Before evaluating a fraction, always check whether the denominator becomes zero. चरण 1: \(x=\sqrt{2}\) होने पर \(x^2=2\)। चरण 2: हर \(x^2-2=0\) हो जाता है, इसलिए भिन्न अपरिभाषित है। चरण 3: भिन्न का मान निकालने से पहले हर शून्य तो नहीं, यह जरूर जाँचें।
A. दोनों अपरिमेय हैं और उनका गुणनफल परिमेय है/Both are irrational and their product is rational
Step 1
Concept
\(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) both contain an irrational part, so both are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is (9-2=7), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Conjugate irrational numbers can have a rational product. चरण 1: \(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) दोनों में अपरिमेय भाग है, इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणनफल (9-2=7) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{5}\) cancels and \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) remains, which is irrational.
Step 3
Exam Tip
After like terms cancel, check the nature of the remaining surds. चरण 1: (y-x=\(\sqrt{5}+\sqrt{7}\)-\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\))। चरण 2: \(\sqrt{5}\) कट जाता है और \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\) बचता है, जो अपरिमेय है। चरण 3: समान पद कटने के बाद बचे हुए मूलों की प्रकृति देखें।
\(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), so the correct value is \(3\sqrt{6}\).
Step 3
Exam Tip
Match the options with your simplified result carefully. चरण 1: \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\), \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)। चरण 2: \(4\sqrt{6}-3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), इसलिए सही मान \(3\sqrt{6}\) है। चरण 3: विकल्प मिलाते समय अपनी सरल गणना से मिलान करें।
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, because assuming it rational and squaring would force \(\sqrt{6}\) to be rational.
Step 3
Exam Tip
Check sums of different surds carefully. चरण 1: \(x-1=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, क्योंकि इसे परिमेय मानने पर वर्ग करने से \(\sqrt{6}\) परिमेय निकलने का विरोध आता है। चरण 3: अलग-अलग मूलों का योग सावधानी से जाँचें।
Therefore \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) is its reciprocal.
Step 3
Exam Tip
In reciprocals, keep the order and sign of the conjugate carefully. चरण 1: (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)=3-2=1)। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) इसका व्युत्क्रम है। चरण 3: व्युत्क्रम में संयुग्मी का क्रम और चिह्न सावधानी से रखें।
Simplify inside the bracket before expanding the square. चरण 1: \(x-\sqrt{2}=\sqrt{5}\) है। चरण 2: इसलिए (\(x-\sqrt{2}\)2=\(\sqrt{5}\)2=5)। चरण 3: पूरे वर्ग को फैलाने से पहले कोष्ठक के अंदर सरल करें।
For (a=7,b=2), \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The product is (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A conjugate product can give a rational result even when the sum is irrational. चरण 1: (a=7,b=2) पर \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: गुणन (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन अपरिमेय योग को भी परिमेय गुणनफल दे सकता है।
Do not forget to rationalize the denominator at the end. चरण 1: \(a-b=2\sqrt{2}\) और \(a+b=2\sqrt{3}\)। चरण 2: \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)। चरण 3: अंत में हर को परिमेय बनाना न भूलें।
(5) and (8) lie between (4) and (9) and are not perfect squares. Therefore \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational numbers between (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
Non-perfect squares between two square numbers give such pairs. चरण 1: \(2=\sqrt{4}\) और \(3=\sqrt{9}\) हैं। चरण 2: (5) और (8) दोनों (4) और (9) के बीच हैं तथा पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं और (2) से (3) के बीच हैं। चरण 3: बीच के अपूर्ण वर्गों से ऐसे युग्म बनते हैं।
When conjugates multiply to (1), the reciprocal is immediate. चरण 1: \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\), क्योंकि (\(\sqrt{5}-2\)\(\sqrt{5}+2\)=1)। चरण 2: इसलिए (x+\frac{1}{x}=\(\sqrt{5}-2\)+\(\sqrt{5}+2\)=2\sqrt{5})। चरण 3: जहाँ संयुग्मी गुणन (1) दे, वहाँ व्युत्क्रम तुरंत मिल जाता है।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes \(3\sqrt{3}\), so division gives (3).
Step 3
Exam Tip
Subtract first, then divide by the denominator. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) हैं। चरण 2: ऊपर का अंतर \(3\sqrt{3}\) है, इसलिए भाग देने पर (3) मिलता है। चरण 3: घटाव के बाद ही हर से भाग दें।
After squaring, cancel like irrational terms. चरण 1: (x-2=\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6})। चरण 2: इसमें से \(2\sqrt{6}\) घटाने पर (5) बचता है। चरण 3: वर्ग करने के बाद समान अपरिमेय पदों को काटें।
A simple way to get a rational difference is to use square roots of perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{9}=3\) हैं। चरण 2: अंतर (5-3=2) परिमेय है। चरण 3: परिमेय अंतर पाने का सरल तरीका पूर्ण वर्गों के वर्गमूल लेना है।
In such forms, identify the difference of squares before expanding. चरण 1: यह संयुग्मी गुणन है। चरण 2: (\(\sqrt{13}+\sqrt{12}\)\(\sqrt{13}-\sqrt{12}\)=13-12=1)। चरण 3: ऐसे रूपों में विस्तार करने से पहले अंतर के वर्ग को पहचानें।
B. यह अपरिमेय है क्योंकि दशमलव असांत और अनावर्ती है/It is irrational because the decimal is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
Reappearance of a digit alone is not recurrence unless a fixed block repeats.
Step 2
Why this answer is correct
Here the number of zeros changes, so the decimal is non-recurring.
Step 3
Exam Tip
Identify a non-terminating non-recurring decimal as irrational. चरण 1: केवल एक अंक का बार-बार आना आवर्तन नहीं कहलाता, जब तक निश्चित समूह न दोहराए। चरण 2: यहाँ शून्यों की संख्या बदल रही है, इसलिए दशमलव अनावर्ती है। चरण 3: असांत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें।
\(a-6=\sqrt{5}-3\), so (a(a-6)=\(3+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-3\)=5-9=-4).
Step 3
Exam Tip
Recognize the hidden conjugate form. चरण 1: (a-2-6a=a(a-6)) है। चरण 2: \(a-6=\sqrt{5}-3\), इसलिए (a(a-6)=\(3+\sqrt{5}\)\(\sqrt{5}-3\)=5-9=-4)। चरण 3: छिपे हुए संयुग्मी रूप को पहचानें।
Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), the sum \(\sqrt{3}+\sqrt{6}\) is greater than \(2\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
For comparison, convert what you can and use positivity. चरण 1: सभी पद धनात्मक हैं और \(\sqrt{6}>0\)। चरण 2: \(\sqrt{3}+\sqrt{6}\), \(\sqrt{3}\) से बड़ा है और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है; संख्यात्मक रूप से \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) से बड़ा है। चरण 3: तुलना में समान मूल में बदलना और धनात्मकता देखना मदद करता है।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=5\sqrt{2}\), so \(\frac{x}{\sqrt{2}}=5\).
Step 3
Exam Tip
Division is easier after combining like surds. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(x=5\sqrt{2}\), इसलिए \(\frac{x}{\sqrt{2}}=5\)। चरण 3: समान मूल वाले पदों को जोड़ने के बाद भाग देना आसान होता है।
C. अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Multiplying an irrational number by a non-zero rational number gives an irrational number
Step 1
Concept
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
If the product were rational, the irrational number would become rational, a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय मानें, तो अपरिमेय संख्या परिमेय बन जाएगी, जो विरोध है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं वाले हमेशा वाले कथनों से सावधान रहें।
Therefore \(5+\sqrt{24}\) is the reciprocal of \(5-\sqrt{24}\).
Step 3
Exam Tip
If conjugates multiply to (1), the reciprocal is directly the conjugate. चरण 1: (\(5-\sqrt{24}\)\(5+\sqrt{24}\)=25-24=1)। चरण 2: इसलिए \(5+\sqrt{24}\), \(5-\sqrt{24}\) का व्युत्क्रम है। चरण 3: यदि संयुग्मी गुणन (1) दे, तो व्युत्क्रम सीधे संयुग्मी होता है।
For (a=6,b=15), (ab=90), which is not a perfect square, so \(\sqrt{90}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, the key check is whether the product inside the root is a perfect square. चरण 1: \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। चरण 2: (a=6,b=15) पर (ab=90), जो पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{90}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन में अंदर का गुणनफल पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह मुख्य जाँच है।
