\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
(4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4+\sqrt{13}\). (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational, so the sum is irrational. In exams identify square roots of perfect squares first.
Step 3
Exam Tip
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है, इसलिए योग अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को पहले पहचानें।
Its reciprocal \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) is also irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the reciprocal of a non-zero irrational surd is rational. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका व्युत्क्रम \(\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\) भी अपरिमेय है। चरण 3: अशून्य अपरिमेय मूल के व्युत्क्रम को परिमेय मानने की गलती न करें।
(6) is a non-zero rational number and \(\sqrt{19}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{19}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (6) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{19}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(6\sqrt{19}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(4) is a non-zero rational number and \(\sqrt{13}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{13}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (4) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(4\sqrt{13}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
(3) is a non-zero rational number and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{7}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Multiplication by zero is a special case, so focus on non-zero rational factors. चरण 1: (3) अशून्य परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: शून्य से गुणा करने का मामला अलग होता है, इसलिए अशून्य परिमेय पर ध्यान दें।
If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय / Irrational. If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें।
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। जड़ वाला भाग इसे अपरिमेय बनाता है।
(10) is not a perfect square and (9<10<16), so \(\sqrt{10}\) is an irrational number between (3) and (4).
Step 3
Exam Tip
A non-perfect square between two square numbers helps find an irrational number between two integers. चरण 1: \(3=\sqrt{9}\) और \(4=\sqrt{16}\) हैं। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है और (9<10<16), इसलिए \(\sqrt{10}\) (3) और (4) के बीच अपरिमेय संख्या है। चरण 3: दो पूर्णांकों के बीच अपरिमेय खोजने में बीच का अपूर्ण वर्ग उपयोगी होता है।
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\). \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है।
A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो/When (a) is any rational number
Step 1
Concept
Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (a) कोई भी परिमेय संख्या हो / When (a) is any rational number. Adding a rational number to an irrational number gives an irrational result. This simple property often appears in MCQs.
Step 3
Exam Tip
परिमेय में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। यह आसान गुण अक्सर MCQ में आता है।
The sum of two irrational numbers can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0). Therefore, saying (a+b) is always irrational is false.
Step 3
Exam Tip
Be careful with universal statements about two irrational numbers. चरण 1: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय भी हो सकता है। चरण 2: उदाहरण (\sqrt{2}+\(-\sqrt{2}\)=0) है। इसलिए (a+b) हमेशा अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं पर हमेशा वाले नियम बहुत सावधानी से लगाएँ।
A rational number minus an irrational number is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (r-s) were rational, then (s=r-(r-s)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Use the same reasoning for subtraction as for addition. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो, तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा, जो असंभव है। चरण 3: घटाव में भी वही सोच रखें जो योग में रखते हैं।
(5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(5\times\sqrt{3}\). (5) is a non zero rational number so \(5\sqrt{3}\) is irrational. Remember multiplication by (0) gives (0).
Step 3
Exam Tip
(5) गैर शून्य परिमेय है इसलिए \(5\sqrt{3}\) अपरिमेय है। ध्यान रखें (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होता है।
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) is irrational and lies between (0) and (1). Dividing by a non zero rational keeps irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) is irrational and lies between (0) and (1). Dividing by a non zero rational keeps irrationality.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। गैर शून्य परिमेय से भाग देने पर अपरिमेयता रहती है।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{15}\). \(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square. Identifying perfect squares is very useful in exams.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{15}\) में (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना बहुत उपयोगी है।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
In division questions, always check that the denominator is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। चरण 2: \(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
Always check that the rational multiplier is not zero. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
(130) is not a perfect square, so \(\sqrt{130}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares to set the range. चरण 1: (121<130<144), इसलिए \(11<\sqrt{130}<12\)। चरण 2: (130) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{130}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्नों में पास के पूर्ण वर्गों से सीमा तय करें।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(k\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां \(k\neq0\) जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं है।
(85) is not a perfect square, so \(\sqrt{85}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares. चरण 1: (81<85<100), इसलिए \(9<\sqrt{85}<10\)। चरण 2: (85) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{85}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्न में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(4\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि (0) से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
(65) is not a perfect square, so \(\sqrt{65}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The square root of a number between two perfect squares lies between their roots. चरण 1: (64<65<81), इसलिए \(8<\sqrt{65}<9\)। चरण 2: (65) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{65}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल उनके मूलों के बीच होता है।
(5) is not a perfect square, so \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate a square root. चरण 1: (4<5<9), इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\)। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की स्थिति जानने के लिए पास के पूर्ण वर्ग देखें।
Dividing by a non-zero rational number does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The condition \(r\neq0\) is necessary because division by zero is not possible. चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से भाग करने पर अपरिमेयता समाप्त नहीं होती। चरण 2: जैसे \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां \(r\neq0\) शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से भाग संभव नहीं होता।
(45) is not a perfect square, so \(\sqrt{45}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In interval questions, use nearby perfect squares. चरण 1: (36<45<49), इसलिए \(6<\sqrt{45}<7\)। चरण 2: (45) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{45}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्नों में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(3\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by zero gives zero. चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होगा।
(17) is not a perfect square, so \(\sqrt{17}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares in interval questions. चरण 1: (16<17<25), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। चरण 2: (17) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्न में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
Hence \(1<\sqrt{2}<2\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
To locate an irrational number compare squares. चरण 1: (1<2<4) है। चरण 2: इसलिए \(1<\sqrt{2}<2\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को स्थान देने के लिए वर्ग करके तुलना करें।
A negative sign changes direction, not rationality.
Step 2
Why this answer is correct
If (-x) were rational, then (x) would also be rational, which is false.
Step 3
Exam Tip
Treat the sign of a number and its type separately. चरण 1: ऋण चिह्न केवल संख्या की दिशा बदलता है, उसकी परिमेयता नहीं। चरण 2: यदि (-x) परिमेय हो, तो (x) भी परिमेय होगा, जो गलत है। चरण 3: संख्या के चिह्न और संख्या की प्रकृति को अलग-अलग समझें।
\(\sqrt{3}\) is about (1.732), so it lies between (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3>2), \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
For positive square roots, compare the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{3}\) लगभग (1.732) है, इसलिए यह (1) और (2) के बीच है। चरण 2: (3>2), इसलिए \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\)। चरण 3: धनात्मक वर्गमूलों की तुलना में अंदर की संख्याओं की तुलना कर सकते हैं।
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). An irrational divided by a non-zero rational remains irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). An irrational divided by a non-zero rational remains irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। अपरिमेय संख्या को परिमेय से भाग देने पर शून्येतर परिमेय के लिए अपरिमेय ही रहती है।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check the nature of the sum and product separately. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें।
B. \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\)/\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) and \(2\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In sum questions, identify whether like surds cancel or combine. चरण 1: \(\sqrt{3}\) और \(2\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(3\sqrt{3}\) है, जो अपरिमेय है। चरण 3: योग वाले प्रश्नों में कटने वाले और जुड़ने वाले समान मूल अलग-अलग पहचानें।
The first decimal is non terminating and non repeating. A non terminating non repeating decimal is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0.3030030003...). The first decimal is non terminating and non repeating. A non terminating non repeating decimal is irrational.
Step 3
Exam Tip
पहला दशमलव अनंत और अनावर्ती है। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है।
A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
Step 3
Exam Tip
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है।
The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय का अंतर अपरिमेय होता है। यह गुण गैर मिश्रित संख्याओं को पहचानने में मदद करता है।
A. अनंत और अनावर्ती/Non terminating and non repeating
Step 1
Concept
The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनंत और अनावर्ती / Non terminating and non repeating. The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या का दशमलव न खत्म होता है और न दोहराता है। यही सबसे आसान पहचान है।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
A. क्या वह पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में बदल रही है/Whether it becomes the square root of a perfect square
Step 1
Concept
In square-root questions first check whether the number inside is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
A perfect square may give a rational square root while a non-perfect square often gives an irrational value.
Step 3
Exam Tip
Simplifying is the safest first step in identification questions. चरण 1: वर्गमूल वाले प्रश्नों में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। चरण 2: पूर्ण वर्ग हो तो वर्गमूल परिमेय हो सकता है और पूर्ण वर्ग न हो तो अक्सर अपरिमेय होता है। चरण 3: पहचान वाले प्रश्नों में सरल करना सबसे सुरक्षित शुरुआत है।
\(\sqrt{11}\) is irrational because (11) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{11}\)2=11) which is rational.
Step 3
Exam Tip
Squaring may remove the radical. चरण 1: \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है क्योंकि (11) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (\(\sqrt{11}\)2=11) परिमेय है। चरण 3: वर्ग करने पर वर्गमूल हट सकता है।
Therefore \(2<\sqrt{5}<3\) and since (5) is not a perfect square \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use squares to locate irrational square roots between integers. चरण 1: (4<5<9) है। चरण 2: इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: बीच की संख्या खोजते समय वर्गों से सीमा बनाएं।
C. अनंत अनावर्ती दशमलव/Non-terminating non-recurring decimal
Step 1
Concept
Rational numbers have terminating or recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
Irrational numbers have non-terminating and non-recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
If a repeating block is visible the number may be rational. चरण 1: परिमेय संख्याओं का दशमलव समाप्त या आवर्ती होता है। चरण 2: अपरिमेय संख्याओं का दशमलव अनंत और अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव में बार-बार आने वाला समूह दिखाई दे तो वह परिमेय हो सकता है।
Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Convert division questions into multiplication for easier reasoning. चरण 1: शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। चरण 2: अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें।
\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose the answer before simplifying square roots. चरण 1: सरल करें \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को सरल किए बिना उत्तर जल्दी न चुनें।
Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose an answer in multiplication or division of surds without simplifying. चरण 1: \(\frac{\sqrt{45}}{3}=\frac{3\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}\) है। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: भाग और गुणन वाले विकल्पों को सरल किए बिना उत्तर न चुनें।
\(1.01001000100001\ldots\) is non-terminating and has no fixed repeating block.
Step 3
Exam Tip
To identify an irrational decimal, check both non-termination and non-repetition. चरण 1: सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(1.01001000100001\ldots\) असांत है और इसमें कोई स्थिर आवर्तन नहीं है। चरण 3: अपरिमेय दशमलव पहचानने के लिए असांत और अनावर्ती दोनों बातें देखें।
Its square is (\(\sqrt{13}\)2=13), which is rational.
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number is not always irrational, so examine examples carefully. चरण 1: \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसका वर्ग (\(\sqrt{13}\)2=13) परिमेय है। चरण 3: हर अपरिमेय संख्या का वर्ग अपरिमेय नहीं होता, इसलिए उदाहरण ध्यान से देखें।
\(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), and \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(4\sqrt{7}\) is a non-zero rational multiple of an irrational number, so it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify multiplication by zero as rational. चरण 1: \(0\times\sqrt{7}=0\), \(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\), और \(\sqrt{28}\div\sqrt{7}=2\) परिमेय हैं। चरण 2: \(4\sqrt{7}\) में अशून्य परिमेय गुणक और अपरिमेय मूल है, इसलिए यह अपरिमेय है। चरण 3: शून्य से गुणा वाले विकल्प को जल्दी परिमेय पहचानें।
\(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Separate the largest perfect square factor while simplifying surds. चरण 1: \(45=9\times5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{5}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: मूल को सरल करते समय सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें।
Subtracting a rational number from an irrational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=(q-p)+p) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=(q-p)+p) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
When asked for not irrational, carefully check perfect-square options. चरण 1: \(\sqrt{225}=15\) है। चरण 2: \(\sqrt{225}-8=7\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: अपरिमेय नहीं पूछे जाने पर पूर्ण वर्ग वाले विकल्प ध्यान से देखें।
\(\sqrt{24}\) is irrational because (24) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
Since (16<24<25), \(4<\sqrt{24}<5\).
Step 3
Exam Tip
In condition-based questions, check both irrationality and range. चरण 1: \(\sqrt{24}\) अपरिमेय है क्योंकि (24) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: (16<24<25), इसलिए \(4<\sqrt{24}<5\)। चरण 3: शर्तों वाले प्रश्न में अपरिमेयता और सीमा दोनों जांचें।
Subtracting an irrational number from a rational number leaves an irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
If the result were rational, then (q=p-(p-q)) would be rational, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Remember the rules for addition and subtraction of rational and irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय भाग बचता है। चरण 2: यदि परिणाम परिमेय हो, तो (q=p-(p-q)) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के जोड़-घटाव के नियम याद रखें।
When asked for not irrational, carefully check perfect-square options. चरण 1: \(\sqrt{196}=14\) है। चरण 2: \(\sqrt{196}-5=9\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: अपरिमेय नहीं पूछे जाने पर पूर्ण वर्ग वाले विकल्प ध्यान से देखें।
In not-irrational questions, check perfect squares carefully. चरण 1: \(\sqrt{121}=11\) है। चरण 2: \(\sqrt{121}-2=9\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: अपरिमेय नहीं वाले प्रश्न में पूर्ण वर्गों को खास ध्यान से देखें।
C. \(1.01011011101111\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(1.01011011101111\ldots\) with no fixed repetition
Step 1
Concept
Recurring or terminating decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating decimal with no fixed repetition can be irrational.
Step 3
Exam Tip
If no repeating rule is visible, examine the number carefully. चरण 1: आवर्ती या समाप्त दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: बिना निश्चित दोहराव वाला अनवसानी दशमलव अपरिमेय हो सकता है। चरण 3: दोहराव का नियम न दिखे तो संख्या की प्रकृति ध्यान से जांचें।
The question asks for the number that is not irrational, so look for a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{64}=8\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Read negative wording carefully in such questions. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय संख्या खोजें। चरण 2: \(\sqrt{64}=8\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में नकारात्मक शब्दों को ध्यान से पढ़ें।
\(\sqrt{15}\) is irrational because (15) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In pair questions, check the nature of both numbers separately. चरण 1: (8) परिमेय संख्या है। चरण 2: \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है क्योंकि (15) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म वाले प्रश्न में दोनों संख्याओं की प्रकृति अलग-अलग जांचें।
\(0.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating pattern, so it is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
For decimals, check the repetition pattern, not just the length. चरण 1: समाप्त और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(0.01001000100001\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं है, इसलिए यह अनवसानी और अनावर्ती है। चरण 3: दशमलव में केवल लंबाई नहीं, दोहराव का नियम देखना जरूरी है।
C. \(1.41421356\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(1.41421356\ldots\) with no fixed repetition
Step 1
Concept
Recurring or terminating decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating decimal without fixed repetition can be irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by length; check for repetition. चरण 1: आवर्ती या समाप्त दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: बिना निश्चित दोहराव वाला अनवसानी दशमलव अपरिमेय हो सकता है। चरण 3: केवल लंबा दशमलव देखकर नहीं, दोहराव देखकर निर्णय लें।
The question asks for the number that is not irrational, so find the rational one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{36}=6\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Read negative wording carefully in MCQs. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय संख्या खोजें। चरण 2: \(\sqrt{36}=6\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में नकारात्मक भाषा को ध्यान से पढ़ें।
\(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In a pair, identify each number separately. चरण 1: (3) परिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म में दोनों संख्याओं को अलग-अलग पहचानें।
\(0.1234567891011\ldots\) has no fixed repeating pattern, so it is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
To identify an irrational decimal, check for a repeating rule. चरण 1: समाप्त या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(0.1234567891011\ldots\) में कोई निश्चित दोहराव नहीं है, इसलिए यह अनवसानी और अनावर्ती है। चरण 3: अपरिमेय दशमलव पहचानने के लिए दोहराव का नियम जांचें।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(4+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is an important rule to remember. चरण 1: परिमेय संख्या को जोड़ने से अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। चरण 2: जैसे \(4+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग याद रखने योग्य नियम है।
C. जिसका दशमलव अनवसानी और अनावर्ती हो/Its decimal is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
The decimal of an irrational number does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
It also does not repeat in a fixed pattern.
Step 3
Exam Tip
Decimal expansion is a useful way to identify irrational numbers. चरण 1: अपरिमेय संख्या का दशमलव खत्म नहीं होता। चरण 2: उसमें कोई निश्चित दोहराव भी नहीं होता। चरण 3: दशमलव विस्तार देखकर अपरिमेय संख्या पहचानना आसान हो जाता है।
The question asks for the number that is not irrational, so look for a rational option.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{25}=5\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Be careful with negative wording in MCQs. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय विकल्प खोजें। चरण 2: \(\sqrt{25}=5\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: नकारात्मक शब्दों वाले प्रश्नों में जल्दबाजी न करें।
C. अनवसानी और अनावर्ती दशमलव/Non-terminating and non-recurring decimal
Step 1
Concept
A rational number has either a terminating or recurring decimal form.
Step 2
Why this answer is correct
An irrational number has a non-terminating and non-recurring decimal form.
Step 3
Exam Tip
While judging decimals, carefully check recurring and non-recurring patterns. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या आवर्ती होता है। चरण 2: अपरिमेय संख्या का दशमलव अनवसानी और अनावर्ती होता है। चरण 3: दशमलव पहचान में आवर्ती और अनावर्ती का अंतर जरूर देखें।
(6) is not a perfect square, so \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, eliminate clear rational numbers first. चरण 1: दशमलव (0.75), भिन्न और पूर्णांक परिमेय होते हैं। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले साफ परिमेय संख्याएँ हटाने से उत्तर जल्दी मिलता है।
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो/(k) is positive but not a perfect square
Step 1
Concept
The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो / (k) is positive but not a perfect square. The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो।
A prime number is not a perfect square, so \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For the square root of a prime, use the non-perfect-square idea directly. चरण 1: (11) अभाज्य संख्या है। चरण 2: कोई अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 3: अभाज्य संख्या के वर्गमूल पर सीधे अपूर्ण वर्ग का विचार लगाएँ।
(5) and (8) lie between (4) and (9) and are not perfect squares. Therefore \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{8}\) are irrational numbers between (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
Non-perfect squares between two square numbers give such pairs. चरण 1: \(2=\sqrt{4}\) और \(3=\sqrt{9}\) हैं। चरण 2: (5) और (8) दोनों (4) और (9) के बीच हैं तथा पूर्ण वर्ग नहीं हैं। इसलिए \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{8}\) दोनों अपरिमेय हैं और (2) से (3) के बीच हैं। चरण 3: बीच के अपूर्ण वर्गों से ऐसे युग्म बनते हैं।
\(\sqrt{2}\) is irrational, and dividing by non-zero rational (2) keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is about (0.707), so it lies between (0) and (1).
Step 3
Exam Tip
Check both the interval condition and the nature of the number. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और अशून्य परिमेय (2) से भाग देने पर अपरिमेयता बनी रहती है। चरण 2: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) लगभग (0.707) है, इसलिए यह (0) और (1) के बीच है। चरण 3: अंतराल और संख्या की प्रकृति दोनों शर्तें साथ-साथ जाँचें।
(x+0=x), so the nature remains the same and it is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding zero does not change either the value or the type of a number. चरण 1: (0) परिमेय संख्या है। चरण 2: (x+0=x), इसलिए संख्या की प्रकृति वही रहेगी और वह अपरिमेय होगी। चरण 3: शून्य जोड़ने से मान और प्रकृति दोनों नहीं बदलते।
Since \(2<\frac{5}{2}<3\), \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\), and it is irrational. In exams compare by squaring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{\frac{5}{2}}\). Since \(2<\frac{5}{2}<3\), \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\), and it is irrational. In exams compare by squaring.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(2<\frac{5}{2}<3\), इसलिए \(\sqrt{2}<\sqrt{\frac{5}{2}}<\sqrt{3}\) और यह अपरिमेय है। परीक्षा में वर्ग करके तुलना करें।
\(\sqrt{3}\approx1.732\), so it lies near (1.732) on the number line. Remember approximations of common square roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{3}\). \(\sqrt{3}\approx1.732\), so it lies near (1.732) on the number line. Remember approximations of common square roots.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\approx1.732\), इसलिए संख्या रेखा पर (1.732) के पास यही होगा। कुछ प्रसिद्ध वर्गमूलों के अनुमान याद रखें।
\(-\frac{1}{2}\) lies between (-1) and (0) and is rational. Place negative fractions carefully on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\frac{1}{2}\). \(-\frac{1}{2}\) lies between (-1) and (0) and is rational. Place negative fractions carefully on the number line.
Step 3
Exam Tip
\(-\frac{1}{2}\) (-1) और (0) के बीच है और परिमेय है। संख्या रेखा पर ऋणात्मक भिन्नों को ध्यान से रखें।
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)). (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
Step 3
Exam Tip
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\)/\(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) और \(3\sqrt{2}\) / \(\sqrt{2}\) and \(3\sqrt{2}\). \(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), which is rational. In exams remember counterexamples for products of irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6\), जो परिमेय है। परीक्षा में अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल के लिए प्रतिउदाहरण याद रखें।
