निम्न में से किस कथन का वर्णित दशमलव संख्या \(8.01011011101111\ldots\) के बारे में सही है? (दशमलव भाग का पैटर्न ध्यान से देखें)

Correct Answer: A. यह अपरिमेय संख्या है / It is an irrational number. Explanation: दशमलव भाग \(0.01011011101111\ldots\) में 1 के समूह की लंबाई धीरे-धीरे बढ़ती है (एक, फिर दो, फिर तीन, फिर चार 1s, आदि) और कोई स्थायी आवर्ती ब्लॉक कभी दोहराकर अंत में दिखाई नहीं देता। इसलिए यह दशमलव अनंत है और किसी नियत आवर्ती चक्र में नहीं आता — यही वजह है कि यह संख्या अपरिमेय है। विकल्प B गलत है क्योंकि दशमलव भाग समाप्त नहीं होता; विकल्प C गलत है क्योंकि आवर्ती दशमलव के लिए कुछ निश्चित ब्लॉक अंततः बार-बार दिखना चाहिए जो यहाँ नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि संख्या का भिन्न भाग शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को गुणक रूप में लिखने से पहले देखें कि क्या दशमलव अंततः आवर्ती या समाप्त हो रहा है; यदि नहीं, तो वह अपरिमेय है। / The fractional part \(0.01011011101111\ldots\) shows groups of 1s whose lengths keep increasing (one 1, then two 1s, then three 1s, and so on). There is no fixed block that repeats indefinitely, so the decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Hence the number is irrational. Option B is wrong because the decimal does not terminate; C is wrong because a repeating decimal must eventually show a fixed repeating block; D is wrong because the number has a nonzero fractional part. Exam tip: Rational numbers have decimal expansions that either terminate or become eventually periodic — checking for eventual periodicity is a quick test in exams.