यदि \(\dfrac{31}{2^a5^b}\) का दशमलव ठीक 10 स्थानों पर समाप्त होता है और \(b>a\) है तो \(b\) का मान क्या होगा?

Correct Answer: C. 10. Explanation: किसी भिन्न का दशमलव समाप्त होने की शर्त यह है कि हर प्रकार्य भाग का हर वह अभाज्य गुणक जो 10 के कारक (2 और 5) के अलावा हो, खतम हो गया हो। यहां 31 का 2 या 5 से गुणनखंड नहीं है, अतः भिन्न पहले से सरलतम रूप में है और हर कोई घटक केवल \(2^a5^b\) ही है। समाप्त दशमलव की संख्या = हर आधार के घात का अधिकतम मान = \(\max(a,b)\)। दी हुई शर्तों के अनुसार यह 10 है और इसलिए क्योंकि \(b>a\), अधिकतम मान \(b\) है। अतः \(b=10\)। निकटवर्ती विकर्षक (जैसे \(a+10\)) गलत है क्योंकि \(a\) का मान हाशिए पर रखा गया है और समाप्ति की लंबाई सीधे अधिकतम घात पर निर्भर करती है, न कि किसी जोड़ पर। परीक्षा सुझाव: पहले भिन्न को साधारण रूप में लिखें और फिर समाप्त दशमलव की लंबाई = \(\max\) of exponents का फ़ॉर्मूला याद रखें। / A rational number in lowest terms has a terminating decimal iff its denominator's prime factors are only 2 and/or 5. Here 31 is coprime to 2 and 5, so the denominator remains \(2^a5^b\). The number of decimal places for termination equals \(\max(a,b)\). Given that this equals 10 and that \(b>a\), the larger exponent must be \(b\), so \(b=10\). The distractor \(a+10\) is incorrect because the termination length is not a sum involving \(a\) but the maximum of the exponents. Exam tip: always reduce the fraction first and use "termination length = max(exponents of 2 and 5 in denominator" ).