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Subjects
Class 10 Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Expert Level 27

यदि \(x=3+\sqrt{8}\), तो कौन सा द्विघात बहुपद \(x\) का शून्यक हो सकता है?

If \(x=3+\sqrt{8}\), which quadratic polynomial can have \(x\) as a zero?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(x^2-6x+1\)

Explanation

Simple Explanation

यदि बहुपद के係數 हैं क्व शिकायती (rational), तो गैर-परिशुद्ध शून्यक के साथ उसका समकक्ष संग्रहीत (conjugate) भी शून्यक होगा: यहाँ साथी शून्यक \(3-\sqrt{8}\) है। दो शून्यकों का योग \((3+\sqrt{8})+(3-\sqrt{8})=6\) और गुणनफल \((3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})=9-8=1\)। अतः बहुपद होगा \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}=x^2-6x+1\)। विकल्प B का लीनियर गुणांक सही चिह्न नहीं है और C का स्थिर पद गलत है; D दोनों मानों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सुझाव: किसी भी द्विघात के लिए शून्यकों r और s पर तुरंत \(x^2-(r+s)x+rs\) लिखें। / For polynomials with rational coefficients, the conjugate of an irrational root is also a root. The conjugate of \(3+\sqrt{8}\) is \(3-\sqrt{8}\). Their sum is \(6\) and product is \(9-8=1\). So the quadratic with these roots is \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}=x^2-6x+1\). Option B has the wrong sign for the linear term, C has the wrong constant term, and D matches neither sum nor product. Exam tip: always use \(x^2-(r+s)x+rs\) to form the quadratic from roots r and s; simplify radicals first if helpful.

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यदि \(x=3+\sqrt{8}\), तो कौन सा द्विघात बहुपद \(x\) का शून्यक हो सकता है? / If \(x=3+\sqrt{8}\), which quadratic polynomial can have \(x\) as a zero?

Correct Answer: A. \(x^2-6x+1\). Explanation: यदि बहुपद के係數 हैं क्व शिकायती (rational), तो गैर-परिशुद्ध शून्यक के साथ उसका समकक्ष संग्रहीत (conjugate) भी शून्यक होगा: यहाँ साथी शून्यक \(3-\sqrt{8}\) है। दो शून्यकों का योग \((3+\sqrt{8})+(3-\sqrt{8})=6\) और गुणनफल \((3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})=9-8=1\)। अतः बहुपद होगा \(x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}=x^2-6x+1\)। विकल्प B का लीनियर गुणांक सही चिह्न नहीं है और C का स्थिर पद गलत है; D दोनों मानों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सुझाव: किसी भी द्विघात के लिए शून्यकों r और s पर तुरंत \(x^2-(r+s)x+rs\) लिखें। / For polynomials with rational coefficients, the conjugate of an irrational root is also a root. The conjugate of \(3+\sqrt{8}\) is \(3-\sqrt{8}\). Their sum is \(6\) and product is \(9-8=1\). So the quadratic with these roots is \(x^2-(\text{sum})x+\text{product}=x^2-6x+1\). Option B has the wrong sign for the linear term, C has the wrong constant term, and D matches neither sum nor product. Exam tip: always use \(x^2-(r+s)x+rs\) to form the quadratic from roots r and s; simplify radicals first if helpful.