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Subjects
Class 10 Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Expert Level 27

यदि \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=21\) हों, तो उन शून्यकों (zeros) का मान क्या होगा?

If \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\), what are the zeros (roots)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. (7) और (3)(7) and (3)

Explanation

Simple Explanation

यदि शून्यकों का सम \(S=\alpha+\beta\) और गुणनफल \(P=\alpha\beta\) दिया हो तो संबंधित द्विघात समीकरण होगा \(x^2-Sx+P=0\)। यहाँ यह बनता है \(x^2-10x+21=0\)। व्युत्पन्नक (discriminant) \(\Delta=10^2-4\cdot1\cdot21=100-84=16\)। अतः शून्यक \(x=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{10\pm4}{2}\) से प्राप्त होते हैं, अर्थात् 7 और 3। विकल्प B निकटतम भ्रामक है क्योंकि \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20\), जो 21 नहीं है। परीक्षा–टिप: दिए गए सम और गुणनफल से सीधा \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=0\) बनाकर डिस्क्रिमिनेंट से जड़ें निकालें। / For roots with sum \(S=\alpha+\beta\) and product \(P=\alpha\beta\), the quadratic is \(x^2-Sx+P=0\). Here we get \(x^2-10x+21=0\). The discriminant is \(\Delta=10^2-4\cdot1\cdot21=16\). Thus the roots are \(x=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{10\pm4}{2}\), giving 7 and 3. Option B is a tempting irrational pair but wrong since \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20\), not 21. Exam tip: form \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=0\) and use \(\Delta\) to find roots quickly.

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यदि \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=21\) हों, तो उन शून्यकों (zeros) का मान क्या होगा? / If \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\), what are the zeros (roots)?

Correct Answer: A. (7) और (3) / (7) and (3). Explanation: यदि शून्यकों का सम \(S=\alpha+\beta\) और गुणनफल \(P=\alpha\beta\) दिया हो तो संबंधित द्विघात समीकरण होगा \(x^2-Sx+P=0\)। यहाँ यह बनता है \(x^2-10x+21=0\)। व्युत्पन्नक (discriminant) \(\Delta=10^2-4\cdot1\cdot21=100-84=16\)। अतः शून्यक \(x=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{10\pm4}{2}\) से प्राप्त होते हैं, अर्थात् 7 और 3। विकल्प B निकटतम भ्रामक है क्योंकि \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20\), जो 21 नहीं है। परीक्षा–टिप: दिए गए सम और गुणनफल से सीधा \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=0\) बनाकर डिस्क्रिमिनेंट से जड़ें निकालें। / For roots with sum \(S=\alpha+\beta\) and product \(P=\alpha\beta\), the quadratic is \(x^2-Sx+P=0\). Here we get \(x^2-10x+21=0\). The discriminant is \(\Delta=10^2-4\cdot1\cdot21=16\). Thus the roots are \(x=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{10\pm4}{2}\), giving 7 and 3. Option B is a tempting irrational pair but wrong since \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20\), not 21. Exam tip: form \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=0\) and use \(\Delta\) to find roots quickly.