A fixed recurring decimal can always be written as a rational number.
Step 3
Exam Tip
Identify rationality when a repeating block is fixed. चरण 1: (357) खंड बार-बार समान रूप से दोहर रहा है। चरण 2: स्थिर आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय संख्या के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: आवर्ती खंड देखकर तुरंत परिमेयता पहचानें।
B. यह सांत दशमलव के बराबर है/It is equal to a terminating decimal
Step 1
Concept
In \(5.27000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it equals (5.27) and is a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Continuing zeros at the end still represent a terminating value. चरण 1: \(5.27000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह (5.27) के बराबर है और सांत दशमलव है। चरण 3: अंत में शून्य चलते रहें तो भी मान सांत ही माना जाता है।
\(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
Recurring decimals are rational. चरण 1: \(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। चरण 3: आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं।
A. यह \(\frac{1}{10}\) के बराबर है/It is equal to \(\frac{1}{10}\)
Step 1
Concept
\(0.0999\ldots=0.1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(0.1=\frac{1}{10}\), so it is rational and equal to a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
When (9)'s continue at the end, check for an equivalent terminating decimal. चरण 1: \(0.0999\ldots=0.1\) होता है। चरण 2: \(0.1=\frac{1}{10}\), इसलिए यह परिमेय और सांत दशमलव के बराबर है। चरण 3: अंत में लगातार (9) आने पर बराबर सांत दशमलव की संभावना देखें।
B. परिमेय और असांत आवर्ती/Rational and non-terminating recurring
Step 1
Concept
The digit (6) repeats, so the decimal is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
Every recurring decimal is rational, but this one does not terminate. Hence it is rational and non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
A bar over digits shows the repeating part. चरण 1: दशमलव में (6) बार-बार आ रहा है, इसलिए यह आवर्ती है। चरण 2: हर आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। इसलिए यह परिमेय और असांत आवर्ती है। चरण 3: रेखा लगे अंक आवर्ती भाग को दिखाते हैं।
B. परिमेय और असांत आवर्ती/Rational and non-terminating recurring
Step 1
Concept
The block (36) repeats in the decimal.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is always rational, but it is not terminating. So it is rational and non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
When a repeating block appears, identify the number as rational. चरण 1: दशमलव में (36) बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है, लेकिन यह सांत नहीं है। इसलिए यह परिमेय और असांत आवर्ती है। चरण 3: आवर्ती खंड दिखते ही परिमेयता पहचानें।
\(0.\overline{25}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
It is not terminating because the decimal does not end. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers can be terminating or non-terminating recurring. चरण 1: \(0.\overline{25}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 2: यह सांत नहीं है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होता। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। चरण 3: परिमेय संख्या सांत या असांत आवर्ती दोनों हो सकती है।
B. यह परिमेय है और सांत दशमलव है/It is rational and terminating
Step 1
Concept
In \(0.125000\ldots\), only zeros occur after a point.
Step 2
Why this answer is correct
So it is a terminating decimal and equals \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Trailing zeros do not make a decimal non-terminating. चरण 1: \(0.125000\ldots\) में कुछ स्थानों के बाद केवल शून्य आते हैं। चरण 2: इसलिए यह सांत दशमलव है और \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) के रूप में परिमेय है। चरण 3: अंत में लिखे शून्य दशमलव को असांत नहीं बनाते।
\(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
First form a denominator with (9)'s according to the repeating block, then reduce. चरण 1: \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाइए, फिर सरल कीजिए।
A non-terminating decimal with fixed repetition is a rational number.
Step 3
Exam Tip
If repetition is visible, do not treat it as non-recurring. चरण 1: यहां (142857) निश्चित रूप से बार-बार दोहरता है। चरण 2: निश्चित दोहराव वाला असमाप्त दशमलव परिमेय संख्या होता है। चरण 3: दोहराव दिखे तो उसे अनावर्ती न मानें।
Every terminating decimal can be written as a rational number. चरण 1: (12.004) में तीन दशमलव स्थान हैं। चरण 2: यह वहीं समाप्त हो जाता है, इसलिए यह समाप्त दशमलव है। चरण 3: हर समाप्त दशमलव को परिमेय संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।
The reduced denominator contains (11), so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since it is a rational fraction, it gives a non-terminating recurring decimal. चरण 1: \(22=2\times11\) है। चरण 2: सरलतम हर में (11) बचता है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न होने के कारण यह असमाप्त आवर्ती दशमलव देगी।
A number is not irrational just because it has a decimal point. चरण 1: (3.1416) में केवल चार दशमलव स्थान हैं। चरण 2: इसलिए यह समाप्त दशमलव है और परिमेय संख्या है। चरण 3: किसी संख्या में दशमलव होने मात्र से वह अपरिमेय नहीं हो जाती।
Simplifying \(\frac{27}{99}\) by (9) gives \(\frac{3}{11}\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a two-digit repeating part, denominator (99) quickly gives the answer. चरण 1: \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) होता है। चरण 2: \(\frac{27}{99}\) को (9) से सरल करने पर \(\frac{3}{11}\) मिलता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: दो अंकों का आवर्ती भाग हो तो (99) वाला हर तेजी से उत्तर देता है।
In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational. चरण 1: \(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। चरण 3: परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें।
The two-digit recurring decimal \(0.\overline{18}\) is first written as \(\frac{18}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying \(\frac{18}{99}\) by (9) gives \(\frac{2}{11}\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For two repeating digits, using denominator (99) is a quick method. चरण 1: दो अंकों का आवर्ती दशमलव \(0.\overline{18}\) पहले \(\frac{18}{99}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: \(\frac{18}{99}\) को (9) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: दो अंक दोहरें तो हर में (99) लेना एक तेज तरीका है।
B. यह असमाप्त आवर्ती है/It is non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(\frac{65}{312}\) is in lowest form because there is no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(312=2^3\times3\times13\), so the denominator contains (3) and (13).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: A non-terminating decimal of a rational fraction is always recurring. चरण 1: \(\frac{65}{312}\) सबसे सरल रूप में है क्योंकि कोई समान गुणनखंड नहीं है। चरण 2: \(312=2^3\times3\times13\), इसलिए हर में (3) और (13) हैं। चरण 3: परीक्षा सुझाव: परिमेय भिन्न का असमाप्त दशमलव हमेशा आवर्ती होता है।
Then \(10x=7.\overline{7}\), so (9x=7) and \(x=\frac{7}{9}\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: When one digit repeats, the denominator is often (9). चरण 1: मान लें \(x=0.\overline{7}\)। चरण 2: \(10x=7.\overline{7}\), इसलिए (9x=7) और \(x=\frac{7}{9}\)। चरण 3: परीक्षा सुझाव: एक अंक आवर्ती हो तो अक्सर हर (9) आता है।
A decimal with a fixed repeated block is called a recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
Every recurring decimal can be written as a fraction, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: When you see repetition, think rational number. चरण 1: निश्चित दोहराव वाले दशमलव को आवर्ती दशमलव कहते हैं। चरण 2: हर आवर्ती दशमलव भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: दोहराव दिखे तो परिमेय संख्या सोचें।
B. यह असमाप्त आवर्ती परिमेय संख्या है/It is a non-terminating recurring rational number
Step 1
Concept
In \(0.333\ldots\), the digit (3) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational, so it can be written as a fraction.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: A repeating digit is a sign of a rational number. चरण 1: \(0.333\ldots\) में अंक (3) बार-बार आता है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, इसलिए यह भिन्न में लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: बार-बार आने वाला अंक परिमेय संख्या का संकेत है।
A. या तो समाप्त या असमाप्त आवर्ती/Either terminating or non-terminating recurring
Step 1
Concept
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal either terminates or repeats a block of digits.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Non-terminating non-recurring decimals are linked with irrational numbers. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या कोई अंक समूह बार-बार आता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: असमाप्त अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या से जुड़ा होता है।
A. जब (q) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों/When (q) has only factors (2) and (5)
Step 1
Concept
The rule is applied only after reducing the fraction to lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
If the denominator (q) is of the form \(2^m5^n\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Do not decide before simplifying the fraction. चरण 1: नियम हमेशा सबसे सरल रूप की भिन्न पर लगाया जाता है। चरण 2: यदि हर (q) का रूप \(2^m5^n\) है, तो दशमलव समाप्त होता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: भिन्न को सरल किए बिना निष्कर्ष न निकालें।
(4.125) has a finite number of digits after the decimal point.
Step 2
Why this answer is correct
Every terminating decimal can be written as a fraction, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying a terminating decimal is an easy way to identify rationality. चरण 1: (4.125) में दशमलव के बाद सीमित अंक हैं। चरण 2: हर समाप्त दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: समाप्त दशमलव पहचानना परिमेयता की आसान पहचान है।
A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है/Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
This property is used to create the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: उसे सरलतम रूप में लेने पर (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: यही गुण विरोधाभास बनाने में काम आता है।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें।
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
B. परिमेय क्योंकि \(4+\sqrt{9}=7\)/Rational because \(4+\sqrt{9}=7\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{9}=3\).
Step 2
Why this answer is correct
(4+3=7), a rational number.
Step 3
Exam Tip
Do not call every expression with a square root irrational immediately. चरण 1: \(\sqrt{9}=3\)। चरण 2: (4+3=7) परिमेय संख्या है। चरण 3: वर्गमूल देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें।
(\(\sqrt{11}+1\)\(\sqrt{11}-1\)) is a conjugate product.
Step 2
Why this answer is correct
Its value is (11-1=10), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In conjugate forms, irrational terms can cancel. चरण 1: (\(\sqrt{11}+1\)\(\sqrt{11}-1\)) संयुग्मी गुणन है। चरण 2: इसका मान (11-1=10), जो परिमेय है। चरण 3: जहाँ संयुग्मी रूप हो, वहाँ अपरिमेय पद कट सकते हैं।
In \(0.123123123\ldots\), the block (123) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check repetition. चरण 1: \(0.123123123\ldots\) में (123) बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। चरण 3: केवल असांत देखकर अपरिमेय न मानें; आवर्तन जरूर जाँचें।
To find the rational option, look for the square root of a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(144) is a perfect square and \(\sqrt{144}=12\).
Step 3
Exam Tip
Recognising perfect squares makes such questions very quick. चरण 1: परिमेय विकल्प के लिए पूर्ण वर्ग का वर्गमूल खोजें। चरण 2: (144) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{144}=12\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने से ऐसे प्रश्न बहुत जल्दी हल होते हैं।
