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दो सांयुगिक (conjugates) का गुणन करने पर क्रॉस टर्म्स हट जाते हैं। यहाँ \(ab=(\sqrt{13}+\sqrt{6})(\sqrt{13}-\sqrt{6})= (\sqrt{13})^2-(\sqrt{6})^2=13-6=7\)। विकल्प B (19) को कभी-कभी संदेह से \(13+6\) समझ लिया जाता है; विकल्प C \(\sqrt{78}\) तब आता है जब कोई गलत तरीके से केवल अंतर्गत गुणा कर दे (\(\sqrt{13\cdot6}\)) और विकल्प D सिर्फ संकेत की गलती है। परीक्षा का सुझाव: सांयुगिक गुणन के लिए तुरंत \(a^2-b^2\) का प्रयोग याद रखें। / Multiply the conjugates: \(ab=(\sqrt{13}+\sqrt{6})(\sqrt{13}-\sqrt{6})=(\sqrt{13})^2-(\sqrt{6})^2=13-6=7\). Choice B (19) is the sum \(13+6\), not the product of conjugates; choice C (\(\sqrt{78}\)) arises from incorrectly taking \(\sqrt{13\cdot6}\); choice D is a sign error. Exam tip: recognise conjugates and apply \(a^2-b^2\) to remove radicals quickly.
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) है जो परिमेय है। परीक्षा में गुणन और जोड़ के नियम अलग रखें। / (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
(ab=(7)2-\(4\sqrt{3}\)2=49-48=1), इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी युग्म पर \(a^2-b^2\) लगाएं। / (ab=(7)2-\(4\sqrt{3}\)2=49-48=1), so it is rational. In exams apply \(a^2-b^2\) for conjugate pairs.
\(\sqrt{99}\) लगभग 9.949874... है और \(\sqrt{100}=10\) है। 9.98 इन दोनों के बीच आता है क्योंकि \(9.98^2=99.6004\), जो 99 और 100 के बीच है। 9.98 एक सीमित दशमलव है इसलिए परिमेय (rational) है (संभवतः \(\frac{998}{100}\) के रूप में)। निकटतम भ्रामक विकल्प: 9.8 का वर्ग 96.04 है (कम है), 10.1 का वर्ग 102.01 है (बड़ा है), और \(\sqrt{101}\) स्वयं परिमेय नहीं और 10 से बड़ा है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी संख्या के वर्ग से जांचें — यदि \(x^2\) 99 और 100 के बीच है तो \(x\) दोनों के बीच है। / \(\sqrt{99}\) ≈ 9.949874... and \(\sqrt{100}=10\). 9.98 lies between them because \(9.98^2=99.6004\), which is between 99 and 100. A finite decimal like 9.98 is rational (e.g. \(\frac{998}{100}\)). Why other choices fail: 9.8 is below \(\sqrt{99}\) (\(9.8^2=96.04\)), 10.1 is above 10 (\(10.1^2=102.01\)), and \(\sqrt{101}\) is irrational and greater than 10. Exam tip: to test if a number x lies between \(\sqrt{a}\) and \(\sqrt{b}\), compare \(x^2\) with a and b — this avoids decimal rounding errors.
कुछ अंकों के बाद (45) दोहरता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / After some digits, (45) repeats, so it is a recurring decimal. A recurring decimal is rational.
\(\sqrt{50}\approx7.07\) और \(\sqrt{72}\approx8.49\), इसलिए (8) इनके बीच है। (8) परिमेय है। / \(\sqrt{50}\approx7.07\) and \(\sqrt{72}\approx8.49\), so (8) lies between them. (8) is rational.
परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें भिन्न p/q (जहाँ p और q पूर्णांक और q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है। किसी भी परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार या तो समाप्त होने वाला (terminating) होता है या अनंत आवर्ती (non‑terminating repeating) होता है। उदाहरण: 0.333... = 1/3 और 0.2727... = 27/99 = 3/11। इसलिए अनंत और आवर्ती दशमलव परिमेय है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार अनंत पर अंतःस्थापित नहीं होते — वे non‑repeating होते (जैसे √2 = 1.41421... non‑repeating)। C (अवास्तविक) भी गलत है; अनंत आवर्ती दशमलव हमेशा वास्तविक संख्या होती है। D (केवल पूर्णांक) गलत है क्योंकि अधिकांश आवर्ती दशमलव पूर्णांक नहीं होते, वे भिन्न होते हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलकर जाँचें — यदि आप इसे p/q के रूप में लिख सकते हैं तो वह परिमेय है। / Rational numbers can be expressed as a fraction p/q (integers p and q, q ≠ 0). The decimal expansion of any rational number is either terminating or non‑terminating repeating. Examples: 0.333... = 1/3 and 0.2727... = 27/99 = 3/11. Thus a non‑terminating repeating decimal is rational. Why other options are wrong: B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non‑terminating, non‑repeating decimals (e.g. √2). C (non‑real) is incorrect since such decimals represent real numbers. D (integer only) is incorrect because repeating decimals are generally fractions, not necessarily integers. Exam tip: Convert the repeating decimal into a fraction using algebra (e.g., set x = 0.2727..., multiply to shift decimal, subtract) to verify rationality quickly.
सीमित दशमलव को किसी पूर्णांक को 10 के घात के साथ विभाजित करके लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए किसी terminating दशमलव को हम रूप में लिख सकते हैं \(\frac{p}{10^n}\). इसे सरलीकृत करने पर यह हमेशा रूप \(\frac{a}{b}\) में आता है जहाँ a,b पूर्णांक होते हैं; यही परिमेयता की परिभाषा है। इसलिए सीमित दशमलव परिमेय होता है। नज़दीकी भ्रमित करने वाला विकल्प है कि यह हमेशा पूर्णांक होता है — यह गलत है क्योंकि 0.5, 1.25 जैसे terminating दशमलव परिमेय हैं पर पूर्णांक नहीं। परीक्षा सुझाव: किसी terminating दशमलव को तुरंत \(\frac{प\;संख्या}{10^n}\) के रूप में लिखें और आवश्यकता पर सरल करें ताकि परिमेयता स्पष्ट हो। / A terminating decimal can be expressed as an integer divided by a power of 10, e.g. as \(\frac{p}{10^n}\). After cancelling common factors this is always of the form \(\frac{a}{b}\) with integers a,b, which is the definition of a rational number. Hence every terminating decimal is rational. Closest distractor: "always an integer" is incorrect because examples like 0.5 or 1.25 are terminating decimals but not integers. Exam tip: convert a terminating decimal to \(\frac{p}{10^n}\) and simplify to quickly show it's rational (or to compare values).
\(\sqrt[3]{343}=7\) क्योंकि 343 एक पूर्ण घन है (\(7^3=343\)) और उसका घनमूल एक पूर्णांक है। किसी भी पूर्णांक को परिमेय माना जाता है क्योंकि उसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है (उदा. \(7=7/1\))। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर‑समाप्त और गैर‑आवर्ती दशमलव रूप में होती हैं, पर यहाँ परिणाम 7 एक समापवर्त्य पूर्णांक है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि 7 वास्तविक संख्या है। विकल्प D गलत है क्योंकि 7 का दशमलव रूप समाप्त (7.0) है, न कि अनंत अनावर्ती। परीक्षा-सूत्र: किसी घनमूल को परखने के लिए देखें कि अंदर का अंक किसी पूर्ण घन का गुणा है या नहीं — अगर हाँ, तो घनमूल एक पूर्णांक (परिमेय) होगा। / \(\sqrt[3]{343}=7\) since 343 is a perfect cube (\(7^3=343\)) and its cube root is an integer. Every integer is rational (e.g. \(7=7/1\)). Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers are non‑terminating, non‑repeating decimals, unlike 7 which is a terminating integer. Option C (non‑real) is incorrect because 7 is a real number. Option D is incorrect because 7 has a terminating decimal representation (7.0), not a non‑terminating non‑repeating decimal. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power corresponding to the root; if it is, the root is an integer (hence rational).
\(\sqrt{0.36}=0.6\) और \(\sqrt{0.49}=0.7\) होते हैं। इसलिए योग = 0.6+0.7 = 1.3। विकल्प C (1.1) नज़दीकी हेरफेर है पर वह गलत है क्योंकि \sqrt{0.49} को 0.5 मानना त्रुटिपूर्ण होगा। परीक्षा के लिए सुझाव: दशमलव को भिन्न के रूप में लिखकर (0.36=(6/10)2) स्क्वायर रूट तेज़ी से देखें। / \sqrt{0.36}=0.6 and \sqrt{0.49}=0.7, so the sum is 0.6+0.7 = 1.3. Option C (1.1) is a tempting close distractor but incorrect because \sqrt{0.49} is 0.7, not 0.5. Exam tip: convert decimals to fractions (e.g. 0.36=(6/10)2) or memorize common decimal square roots to simplify quickly.
\(\frac{25}{4}=6.25\) है जो 6 और 7 के बीच आता है और परिमेय है क्योंकि इसे पूर्णांक के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। दूसरी विकल्पों में \(\sqrt{41}\) और \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) ऐसे वर्गमूल हैं जिनके भीतर मूलांक परिपूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए वे अपरिमेय हैं। \(\pi+3\) में \(\pi\) ट्रांसेंडेंटल (अपरिमेय) है, इसलिए वह भी अपरिमेय होगा। परीक्षा-सुझाव: दो पूर्णांकों a और b के बीच कोई परिमेय संख्या पाने के लिए आप औसत \((a+b)/2\) ले सकते हैं — यहाँ \((6+7)/2=6.5=13/2\) भी उपयुक्त होगा। / \(\frac{25}{4}=6.25\), which lies between 6 and 7 and is rational because it is a ratio of integers. The other choices are irrational: \(\sqrt{41}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) are square roots of non-perfect squares, and \(\pi+3\) is irrational because \(\pi\) is transcendental. Exam tip: to find a rational between two integers a and b, use the midpoint \((a+b)/2\) (e.g. \(6.5=13/2\)).
\(7.\overline{125}\) एक आवर्ती दशमलव है। यदि x = \(7.\overline{125}\), तो 1000x = \(7125.\overline{125}\) और 1000x − x = 999x = 7125 − 7 = 7118, अतः x = 7118/999, जो परिमेय है। विकल्प B एक गैर-आवर्ती (non‑repeating) अनन्त दशमलव का रूप दिखाता है इसलिए वह अपरिमेय हो सकता है; विकल्प C, \(\sqrt{7}\), चूँकि 7 पूर्ण वर्ग नहीं है, अपरिमेय है; विकल्प D, \(\pi\), प्रसिद्ध रूप से अपरिमेय (और transcendent) है। परीक्षा-सुझाव: आवर्ती या समाप्त होने वाली दशमलव हमेशा परिमेय होती है; वर्गमूल केवल तब परिमेय होगा जब मूल संख्या पूर्ण वर्ग हो। / \(7.\overline{125}\) is a repeating decimal. Let x = \(7.\overline{125}\). Then 1000x = \(7125.\overline{125}\), so 999x = 7125 − 7 = 7118 and x = 7118/999, a rational number. Option B shows a non‑repeating non‑terminating decimal form, so it's not rational. \(\sqrt{7}\) is irrational because 7 is not a perfect square. \(\pi\) is a well‑known irrational (transcendental) number. Exam tip: look for repeating or terminating decimals (rational) and check whether a square root is of a perfect square (only then rational).
\(\sqrt[3]{216}=6\) क्योंकि \(216=6^3\)। 6 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (उन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है)। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि ये अपरिमेय संख्याओं का वर्णन करते हैं (अपरिमेय संख्या वे होती हैं जिनका दशमलव विकास अनंत और अनावर्ती होता है)। विकल्प C गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्याएँ (जैसे कल्पनिक भाग वाले संख्या) वास्तविक रेखा पर नहीं आतीं; यहाँ परिणाम वास्तविक और परिमेय है। परीक्षा टिप: किसी घनमूल का मान निकालते समय पहले देखें कि संख्या पूर्ण घन है या नहीं—यदि हाँ तो घनमूल एक पूर्णांक होगा। / \(\sqrt[3]{216}=6\) because \(216=6^3\). Since 6 is an integer, it is a rational number (can be written as p/q). Options B and D are descriptions of irrational numbers (whose decimal expansion is non-terminating and non-repeating), so they are wrong. Option C is incorrect because non-real numbers have an imaginary component; here the cube root is a real rational number. Exam tip: when finding a cube root, first check whether the number is a perfect cube — if so, the cube root is an integer.
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है। यह पहचान बहुत महत्वपूर्ण है। / The decimal expansion of a rational number is terminating or repeating. This identification is very important.
\(\sqrt[3]{125}=5\) जो एक पूर्णांक है और इसे \(5=5/1\) के रूप में लिखा जा सकता है; अतः यह परिमेय संख्या है। किसी पूर्ण घन की घनमूल हमेशा पूर्णांक (यदि घन सही पूर्णांक है) और इसलिए परिमेय होती है। निकट भ्रामक विकल्प B (अपरिमेय) त्रुटिपूर्ण है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर-समाप्त और अनावर्ती दशमलव रूप देती हैं, परन्तु यहाँ संख्या 5 समाप्त दशमलव है। विकल्प C गलत है क्योंकि 5 व्यावहारिक रूप से वास्तविक संख्या भी है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि "अनावर्ती दशमलव" सामान्यतः अपरिमेय संख्याओं का गुण है, जबकि 5 का दशमलव रूप समाप्त है। परीक्षा सुझाव: किसी घनमूल को जाँचना हो तो पहले देखें कि क्या रैडिकैंड (यहाँ 125) एक पूर्ण घन है। / \(\sqrt[3]{125}=5\), which is an integer and can be written as \(5=5/1\); therefore it is a rational number. The cube root of a perfect cube is an integer (hence rational). The closest distractor B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non‑terminating, non‑repeating decimal expansions, whereas 5 is a terminating decimal. C is wrong because the number is real, not non‑real. D is incorrect because a "non‑repeating decimal" typically describes irrationals, but 5 has a terminating decimal. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect power—if so, the root will be an integer (rational).
\(\sqrt{0.64}=0.8\) और \(\sqrt{0.09}=0.3\)। इसलिए योग \(0.8+0.3=1.1\) है, अतः सही उत्तर 1.1 है। सबसे नज़दीकी भ्रमित करने वाली विकल्प 0.89 है, जो गलत है क्योंकि यह \(0.8\) और \(0.3\) के वास्तविक योग से \(0.21\) कम है। परीक्षात्मक सुझाव: दशमलव के वर्गमूल करते समय उन्हें भिन्न के रूप में देखकर भी जाँच करें — उदाहरण के लिए \(0.64=(64/100)\) और \(0.8^2=0.64\)। / \(\sqrt{0.64}=0.8\) and \(\sqrt{0.09}=0.3\). Therefore the sum is \(0.8+0.3=1.1\), so 1.1 is correct. The closest distractor 0.89 is incorrect because it is 0.21 less than the correct sum. Exam tip: check decimal square roots by converting to fractions (e.g. \(0.64=64/100\)) or by remembering that \(0.8^2=0.64\) and \(0.3^2=0.09\) to avoid place‑value mistakes.
परिमेय संख्या वह होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके। \(\frac{15}{2}=7.5\) है जो स्पष्ट रूप से 7 और 8 के बीच आता है और यह दो पूर्णांकों का भागफल है, अतः परिमेय है। बाकी विकल्पों में \(\sqrt{53}\) और \(\sqrt{60}\) पूर्ण वर्ग नहीं हैं इसलिए वे अपरिमेय होते हैं, और \(\pi+4\) भी अपरिमेय है क्योंकि \(\pi\) अपरिमेय है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(\sqrt{53}\) है (लगभग 7.2801) पर वह भी अपरिमेय है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को परिमेय साबित करने के लिये उसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखने की कोशिश करें; अगर कोई व्यंजक पूर्ण वर्ग या ज्ञात अपरिमेय स्थिरांक (जैसे \(\pi\)) शामिल करता है तो वह सामान्यतः अपरिमेय होता है। / A rational number can be expressed as a ratio of two integers. \(\frac{15}{2}=7.5\) lies between 7 and 8 and is explicitly a ratio of integers, so it is rational. The other choices are irrational: \(\sqrt{53}\) and \(\sqrt{60}\) are square roots of non-perfect squares, and \(\pi+4\) is irrational because \(\pi\) is irrational. The closest distractor is \(\sqrt{53}\) (≈7.2801) but it remains irrational. Exam tip: check if a number can be written as m/n with integers m,n; if not, test for perfect squares or known irrational constants to rule out rationality quickly.
परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार सांत या आवर्ती होता है। यह पहचान परीक्षा में बहुत काम आती है। / The decimal expansion of rational numbers is terminating or repeating. This identification is very useful in exams.
\(\sqrt[3]{64}=4\) है क्योंकि 64 एक पूर्ण घन (\(4^3\)) है। 4 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (इन्हें भाज्य/हर के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे \(4=4/1\))। विकल्प (B) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ अनिश्चित और अनावर्ती दशमलव होती हैं; परन्तु 4 एक समाप्त दशमलव (या घूर्णन में नहीं) है। विकल्प (D) भी गलत है: "अनावर्ती दशमलव" से अभिप्राय अपरिमेय है, पर 4 एक समाप्त दशमलव है। विकल्प (C) गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्याएँ कल्पनिक घटक रखती हैं और यहाँ मान वास्तविक है। परीक्षण युक्ति: घनमूल निकालते समय देखें कि क्या संख्या किसी पूर्ण घन (1, 8, 27, 64, ...) में से है—यदि हाँ, तो परिणामी मान पूर्णांक और परिमेय होगा। / \(\sqrt[3]{64}=4\) because 64 is a perfect cube (\(4^3\)). The result 4 is an integer, and every integer is rational (can be written as a fraction, e.g. \(4=4/1\)). Option B is incorrect since irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals, which does not apply to 4. Option D is incorrect because a non-repeating decimal implies irrationality, whereas 4 is a terminating decimal. Option C is wrong because non-real numbers involve imaginary parts; \(\sqrt[3]{64}\) is a real number. Exam tip: when evaluating nth roots, first check whether the radicand is a perfect power—if it is, the root is an integer (hence rational).
\(\frac{p}{q}\) (जहाँ \(p, q\) पूर्णांक और \(q\neq0\)) परिभाषा के अनुसार परिमेय संख्या है। परिमेय संख्याएँ ऐसी होती हैं जिनका दशमलव विस्तार समाप्त या आवर्ती होता है। विकल्प C (वास्तविक संख्या) तकनीकी रूप से सही है क्योंकि हर परिमेय संख्या वास्तविक भी होती है, पर वह उत्तर विशिष्ट नहीं है — प्रश्न विशिष्ट रूप \(\frac{p}{q}\) की श्रेणी पूछ रहा है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त नहीं हो सकतीं। विकल्प D (प्राकृतिक) गलत है क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ केवल धनात्मक पूर्णांक होती हैं, न कि सामान्य रूप से भिन्नों/भिन्न-राशियों को। परीक्षा सुझाव: परिमेय संख्या की परिभाषा याद रखें — भिन्न के रूप में व्यक्त हो और हर बार हर बार हर बार हर बार हर बार (denominator) शून्य न हो; दशमलव रूप समाप्त या आवर्ती होता है। / A number of the form \(\frac{p}{q}\) with integers \(p,q\) and \(q\neq0\) is, by definition, a rational number. Rational numbers have decimal expansions that either terminate or repeat. Option C (real number) is true in a broader sense because every rational is real, but it is not the specific name asked for. Option B (irrational) is incorrect since irrationals cannot be written as \(\frac{p}{q}\). Option D (natural number) is incorrect because natural numbers are positive integers, not general fractions. Exam tip: remember the defining condition — expressible as \(\frac{p}{q}\) with integer numerator and nonzero integer denominator; look for terminating/repeating decimals as a quick check.
A. यह परिमेय और वास्तविक है/It is rational and real
Explanation
Simple Explanation
शून्य को \\(0=\frac{0}{1}\\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त हो सकता है और परिमेय है। साथ ही शून्य संख्या रेखा पर स्थित होती है, अतः यह वास्तविक संख्या भी है। उत्तर विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे दो पूर्णांकों के भाग के रूप में नहीं लिखा जा सकता; शून्य को लिखा जा सकता है। विकल्प C गलत है क्योंकि वास्तविक संख्याओं में शून्य शामिल है। विकल्प D भ्रामक है क्योंकि कई परिभाषाओं में प्राकृतिक संख्याएँ 1,2,3,... से शुरू होती हैं—इसलिए शून्य सामान्यतः प्राकृतिक संख्या नहीं माना जाता (परिभाषा पर निर्भर)। परीक्षा-सुझाव: किसी प्रश्न में 'प्राकृतिक संख्या' का अर्थ पूछते समय दिए गए पाठ्यक्रम/परिभाषा को देख लें। / Zero can be expressed as \\(0=\frac{0}{1}\\), so it is the ratio of two integers and therefore rational. Zero also lies on the number line, so it is a real number. Option B is incorrect because irrational numbers cannot be written as a ratio of integers, but zero can. Option C is incorrect because zero is included among real numbers. Option D is misleading: many conventions define natural numbers as 1,2,3,... so zero is not necessarily a natural number (but check the definition used). Exam tip: always confirm the convention for 'natural numbers' in the question context or syllabus.
\(\frac{4}{9}\) एक परिमेय भिन्न है और 0 तथा 1 के बीच है क्योंकि \(0<\frac{4}{9}<1\)। अन्य विकल्पों में \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\), \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) और \(1.5/1.5\) का मान सभी 1 के बराबर हैं, इसलिए वे 0 और 1 के बीच नहीं आते। परीक्षा-सूत्र: किसी भी विकल्प को सरल कर लें या दशमलव में बदलकर तुरंत जाँच कर सकते हैं कि वह 0 और 1 के बीच है या नहीं। / \(\frac{4}{9}\) is a rational fraction and satisfies \(0<\frac{4}{9}<1\), so it lies between 0 and 1. The other choices evaluate to 1 (\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\), \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1\), \(1.5/1.5=1\)), so they are not between 0 and 1. Exam tip: simplify expressions or convert to decimal form to quickly check whether a number lies between 0 and 1.
\(\frac{7}{5}=1.4\) है और इसे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। दूसरी विकल्पों में \(\sqrt{2},\,\sqrt{3}\) और \(\pi/2\) अपरिमेय संख्याएँ हैं (ये अनंत, गैर‑आवर्ती दशमलव प्रदर्शित करती हैं और इन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता)। परीक्षा सुझाव: किसी संख्या को परिमेय साबित करने के लिए उसे दो पूर्णांकों का अनुपात दिखाएँ; घनमूल यदि परिपूर्ण वर्ग नहीं है तो वह आमतौर पर अपरिमेय होता है। / \(\frac{7}{5}=1.4\) lies between 1 and 2 and is expressible as a ratio of integers, so it is rational. The other choices \(\sqrt{2},\,\sqrt{3}\) and \(\pi/2\) are irrational (they have non‑terminating, non‑repeating decimal expansions and cannot be written as a ratio of integers). Exam tip: to check rationality, try to express the number as a fraction of two integers; non‑perfect square roots and multiples of \(\pi\) are typically irrational.
क्यों: \(\sqrt{144}=12\) और 12 को \(12/1\) के रूप में दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। निकटतम भ्रमित विकल्प "अपरिमेय संख्या" गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ किसी समान्य भिन्न \(p/q\) के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं; परंतु 12 को स्पष्ट रूप से भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। "अवास्तविक संख्या" गलत है क्योंकि 12 एक वास्तविक संख्या है, और "ऋणात्मक संख्या" भी गलत है क्योंकि 12 धनात्मक है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल निकालने से पहले जाँचें कि दिया गया संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं — यदि हाँ, तो वर्गमूल एक पूर्णांक और अतः परिमेय होगा। / Why: \(\sqrt{144}=12\), and 12 can be written as \(12/1\), a ratio of integers, so it is rational. The closest distractor, "irrational number," is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio \(p/q\) of integers, which does not apply here. "Non real number" is wrong because 12 is a real number, and "Negative number" is wrong because 12 is positive. Exam tip: First check if the radicand is a perfect square — the square root of a perfect square is an integer and therefore rational.
\(-\frac{1}{2}\) (-1) और (0) के बीच है और परिमेय है। संख्या रेखा पर ऋणात्मक भिन्नों को ध्यान से रखें। / \(-\frac{1}{2}\) lies between (-1) and (0) and is rational. Place negative fractions carefully on the number line.
\(\frac{5}{2}=2.5\) है जो (2) और (3) के बीच है और परिमेय है। भिन्न रूप परिमेयता बताता है। / \(\frac{5}{2}=2.5\), which lies between (2) and (3) and is rational. Fraction form shows rationality.
\(0.\overline{7}\) एक आवर्ती (repeating) दशमलव है। मान लें कि \(x=0.\overline{7}\)। फिर \(10x-x=7\) होता है, अतः \(x=7/9\)। यह भिन्न रूप में व्यक्त हो सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर‑आवर्ती और अनंत दशमलव प्रस्तुत करती हैं; यहाँ दशमलव आवर्ती है। परीक्षा टिप: किसी आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलकर तुरंत परिमेयता जाँचे। / \(0.\overline{7}\) is a repeating decimal. Let \(x=0.\overline{7}\). Then \(10x-x=7\), so \(x=7/9\). Since it can be expressed as a fraction, it is rational. Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers are non‑terminating, non‑repeating decimals; here the decimal repeats. Exam tip: convert a repeating decimal to a fraction to verify rationality quickly.
\(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। / It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Recurring decimals are rational.
