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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 38

द्विघात समीकरण \(x^2-2(c+1)x+c^2-2c+5=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(c\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?

What condition on \(c\) is necessary for the quadratic equation \(x^2-2(c+1)x+c^2-2c+5=0\) to have real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(c\ge 1\)

Explanation

Simple Explanation

वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(c+1)\) और \(d=c^2-2c+5\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ad=16(c-1)\)। अतः \(16(c-1)\ge0\), जिससे \(c\ge1\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(c=1\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए केवल \(c>1\) कहना सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(a=1\), \(b=-2(c+1)\), and the constant term is \(c^2-2c+5\), so \(D=b^2-4ac=16(c-1)\). Thus \(16(c-1)\ge0\), giving \(c\ge1\). At \(c=1\), the equation has equal real roots, so the stricter condition \(c>1\) is incorrect. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by imposing \(D\ge0\).

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द्विघात समीकरण \(x^2-2(c+1)x+c^2-2c+5=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(c\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है? / What condition on \(c\) is necessary for the quadratic equation \(x^2-2(c+1)x+c^2-2c+5=0\) to have real roots?

Correct Answer: A. \(c\ge 1\). Explanation: वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(c+1)\) और \(d=c^2-2c+5\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ad=16(c-1)\)। अतः \(16(c-1)\ge0\), जिससे \(c\ge1\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(c=1\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए केवल \(c>1\) कहना सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(a=1\), \(b=-2(c+1)\), and the constant term is \(c^2-2c+5\), so \(D=b^2-4ac=16(c-1)\). Thus \(16(c-1)\ge0\), giving \(c\ge1\). At \(c=1\), the equation has equal real roots, so the stricter condition \(c>1\) is incorrect. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by imposing \(D\ge0\).