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द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) आवश्यक है। चूँकि \(r\neq0\), इसलिए \(r^2>0\) और \(D_1=4r^2>0\), अतः विकल्प A सही है। \(D_2<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते, जबकि \(D_3=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) को क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूलों से मिलाएँ। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Two distinct real roots require \(D>0\). Since \(r\neq0\), we have \(r^2>0\), so \(D_1=4r^2>0\); hence option A is correct. \(D_2<0\) gives no real roots, while \(D_3=0\) gives equal real roots. Exam tip: remember the sequence \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) for distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
विकल्प A के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4(1)(-1)=8+4=12\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं। साथ ही, \(\sqrt{D}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए मूल \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) अपरिमेय हैं। विकल्प B में विविक्तकर शून्य है, C में ऋणात्मक है और D में मूल 2 तथा 3 परिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और असमान मूलों के लिए \(D>0\), जबकि अपरिमेय मूलों के लिए विविक्तकर का वर्गमूल अपरिमेय होना चाहिए। / For option A, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4(1)(-1)=8+4=12\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Also, \(\sqrt{D}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) is irrational, giving the roots \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\), both of which are irrational. In option B, the discriminant is zero; option C has a negative discriminant; and option D has the rational roots 2 and 3. Exam tip: real and distinct roots require \(D>0\), while irrational roots require the square root of the discriminant to be irrational.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की आवश्यक और पर्याप्त शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। विकल्प A में \(a=7\), \(b=-10\sqrt{7}\) और \(c=25\) हैं, इसलिए \(D=(-10\sqrt{7})^2-4(7)(25)=700-700=0\)। अतः इसके दोनों मूल समान हैं। उदाहरण के लिए, विकल्प B में \(D=(-9\sqrt{7})^2-700=-133\), इसलिए उसके वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल पहचानने के लिए पूरी quadratic formula लगाने के बजाय सीधे \(D=0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), equal roots occur if and only if the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. In option A, \(a=7\), \(b=-10\sqrt{7}\), and \(c=25\), so \(D=(-10\sqrt{7})^2-4(7)(25)=700-700=0\). Hence, its two roots are equal. For instance, option B has \(D=(-9\sqrt{7})^2-700=-133\), so it does not have real roots. Exam tip: To identify equal roots, check \(D=0\) directly instead of using the full quadratic formula.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-q^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-q^2)=4q^2\) होगा। चूँकि \(q\neq 0\), इसलिए \(D=4q^2>0\), जिससे दो वास्तविक और असमान मूल प्राप्त होते हैं। वास्तव में मूल \(p+q\) और \(p-q\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D>0\) का अर्थ हमेशा दो वास्तविक और असमान मूल होता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-q^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-q^2)=4q^2\). Since \(q\neq 0\), we have \(D=4q^2>0\), so the equation has two real and distinct roots. In fact, the roots are \(p+q\) and \(p-q\). Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D>0\) always indicates two real and distinct roots.
द्विघात समीकरण में दो असमान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\) और \(c=(k+1)^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\)। अतः \(k^2-2k-2>0\), अर्थात् \((k-1)^2>3\), जिससे \(k<1-\sqrt{3}\) या \(k>1+\sqrt{3}\) प्राप्त होता है। सीमांत मानों पर \(D=0\) होता है और मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two distinct real roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\), and \(c=(k+1)^2\). Thus, \(D=b^2-4ac=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\). Therefore, \(k^2-2k-2>0\), or equivalently \((k-1)^2>3\), which gives \(k<1-\sqrt{3}\) or \(k>1+\sqrt{3}\). At the endpoint values, \(D=0\), so the roots are equal. Exam tip: for two distinct real roots, first impose the condition \(D>0\).
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: \\(a=\alpha+1\\), \\(b=-2\alpha\\), और \\(c=\alpha\\)। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4\alpha^2-4\alpha(\alpha+1)=-4\alpha\\)। वास्तविक मूलों के लिए \\(D\ge0\\) होना चाहिए, इसलिए \\(-4\alpha\ge0\\), अर्थात् \\(\alpha\le0\\)। इसमें \\(\alpha=0\\) भी शामिल है, जबकि \\(\alpha=-1\\) पहले से ही दिए गए प्रतिबंध के कारण मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात प्रश्नों में पहले \\(D\ge0\\) लगाएँ और फिर यह जाँचें कि द्विघात गुणांक शून्य न हो। / The coefficients are \\(a=\alpha+1\\), \\(b=-2\alpha\\), and \\(c=\alpha\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4\alpha^2-4\alpha(\alpha+1)=-4\alpha\\). For real roots, \\(D\ge0\\), so \\(-4\alpha\ge0\\), which gives \\(\alpha\le0\\). The value \\(\alpha=0\\) is included, whereas \\(\alpha=-1\\) is already excluded because it would make the quadratic coefficient zero. Exam tip: In parameter-based quadratic questions, apply \\(D\ge0\\) and also verify that the coefficient of \\(x^2\\) is non-zero.
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4ac=-4ac\) होगा। क्योंकि \(a>0\) और \(c>0\), इसलिए \(ac>0\) तथा \(D<0\)। अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र संयुग्मी होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) आवश्यक होता है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) देखते ही निष्कर्ष निकालें—कोई वास्तविक मूल नहीं। / The discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4ac=-4ac\). Since \(a>0\) and \(c>0\), we have \(ac>0\), so \(D<0\). Therefore, the equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Option B is incorrect because equal real roots require \(D=0\), not \(D<0\). Exam tip: whenever \(D<0\), conclude immediately that there are no real roots.
विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(a^2+b^2)=4(a+b)^2-4(a^2+b^2)=8ab\) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए, इसलिए \(8ab\geq0\), अर्थात् \(ab\geq0\)। विकल्प B का संबंध सामान्यतः \(D\leq0\) देता है और वास्तविक मूलों की गारंटी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूलों की जाँच के लिए सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(a^2+b^2)=4(a+b)^2-4(a^2+b^2)=8ab\). For real roots, \(D\geq0\), so \(8ab\geq0\), which gives \(ab\geq0\). Option B generally gives \(D\leq0\) and does not ensure real roots. Exam tip: For a quadratic equation, first apply the condition \(D\geq0\) to test for real roots.
A. \(k\leq6\) और \(k\neq2\)/\(k\leq6\) and \(k\neq2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4k-2-4(k-2)(k+3)=4(6-k)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(k\leq6\) और \(k\neq2\)। / Here (D=4k-2-4(k-2)(k+3)=4(6-k)). For real roots \(D\geq0\), so \(k\leq6\) and \(k\neq2\).
यहाँ (D=(2k)2-4(k-2)(k+3)=4(6-k)) नहीं, सही सरल रूप (4(6-k)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(k\leq6\) चाहिए। / Here (D=(2k)2-4(k-2)(k+3)=4(6-k)). For real roots we need \(k\leq6\), so check simplification carefully.
यहाँ \(a=p+1\), \(b=-2(p+2)\) और \(c=p+4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(p+2)^2-4(p+1)(p+4)=-4p\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq 0\), इसलिए \(p\leq 0\)। साथ ही \(p=-1\) दिया हुआ है, इसलिए अंतिम शर्त \(p\leq 0,\ p\ne -1\) होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) लगाएँ और जाँचें कि समीकरण वास्तव में द्विघात है। / Here, \(a=p+1\), \(b=-2(p+2)\), and \(c=p+4\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(p+2)^2-4(p+1)(p+4)=-4p\). For real roots, \(D\geq 0\), which gives \(p\leq 0\). Since \(p=-1\) is excluded, the complete condition is \(p\leq 0,\ p\ne -1\). Option B is incorrect because at \(p=0\), \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: For real roots, apply \(D\geq 0\) and also verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2+4\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4(k^2+4)=8k-12\)। अतः \(8k-12\geq0\), जिससे \(k\geq\frac{3}{2}\) प्राप्त होता है। \(k=\frac{3}{2}\) पर मूल समान होते हैं, इसलिए उसे केवल एकमात्र मान कहना गलत है। परीक्षा टिप: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) चाहिए। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2+4\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4(k^2+4)=8k-12\). Thus, \(8k-12\geq0\), giving \(k\geq\frac{3}{2}\). At \(k=\frac{3}{2}\), the roots are equal and real, so option C is too restrictive. Exam tip: use \(D\geq0\) for real roots and \(D>0\) only for distinct real roots.
यहाँ \(a=3\), \(b=-5\) और \(c=2\) हैं। विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\) है। चूँकि \(\Delta>0\), इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। \(\Delta=0\) होने पर ही दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान निकालें। / Here, \(a=3\), \(b=-5\), and \(c=2\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\). Since \(\Delta>0\), the equation has two distinct real roots. Two equal real roots occur only when \(\Delta=0\), so option B is incorrect. Exam tip: calculate the discriminant first to determine the nature of the roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-20)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-10\) और \(c=30\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(30)=100-120=-20\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-10\), and \(c=30\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(30)=100-120=-20\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: the sign of the discriminant directly determines the nature of the roots.
A. \(k\leq-3\) या \(k\geq1\)/\(k\leq-3\) or \(k\geq1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k+1)2-4(k+5)) है। \(D\geq0\) से \(k^2+k-4\geq0\) नहीं, सही सरल रूप \(k^2+k-4\geq0\) देता है। / Here (D=4(k+1)2-4(k+5)). \(D\geq0\) gives \(k^2+k-4\geq0\), so solve the resulting inequality carefully.
A. \(k\leq\frac{-1-2\sqrt{10}}{2}\) या \(k\geq\frac{-1+2\sqrt{10}}{2}\)/\(k\leq\frac{-1-2\sqrt{10}}{2}\) or \(k\geq\frac{-1+2\sqrt{10}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए ((2k+1)2-40\geq0) चाहिए। इसलिए \(2k+1\leq-2\sqrt{10}\) या \(2k+1\geq2\sqrt{10}\)। / For real roots, ((2k+1)2-40\geq0) is needed. Hence \(2k+1\leq-2\sqrt{10}\) or \(2k+1\geq2\sqrt{10}\).
A. \\(k\\le -\\sqrt{10}\\) या/or \\(k\\ge \\sqrt{10}\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \\(a=5\\), \\(b=2k\\) और \\(c=2\\) हैं। वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\ge 0\\) होना चाहिए। इसलिए \\(D=(2k)^2-4(5)(2)=4(k^2-10)\\ge0\\), जिससे \\(k^2\\ge10\\) और अतः \\(k\\le-\\sqrt{10}\\) या \\(k\\ge\\sqrt{10}\\) मिलता है। विकल्प B में \\(D<0\\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D\\ge0\\) लगाएँ; बराबरी की स्थिति में दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / For the quadratic equation, \\(a=5\\), \\(b=2k\\), and \\(c=2\\). Real roots require the discriminant \\(D=b^2-4ac\\ge0\\). Thus, \\(D=(2k)^2-4(5)(2)=4(k^2-10)\\ge0\\), giving \\(k^2\\ge10\\), or \\(k\\le-\\sqrt{10}\\) or \\(k\\ge\\sqrt{10}\\). In option B, \\(D<0\\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, use \\(D\\ge0\\); equality represents two equal real roots.
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=-4\) और \(c=p\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(3)(p)=16-12p\)। अतः \(16-12p\geq0\), जिससे \(p\leq\frac{4}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B इस असमानता के विपरीत है, जबकि \(p<0\) केवल पर्याप्त स्थिति है, आवश्यक नहीं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=3\), \(b=-4\), and \(c=p\), so \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(3)(p)=16-12p\). Thus, \(16-12p\geq0\), which gives \(p\leq\frac{4}{3}\). Hence, option A is correct. Option B reverses the required inequality, while \(p<0\) is only a sufficient condition, not the complete condition. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\geq0\).
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न मूल \(D=28\)/Two real, irrational, and distinct roots \(D=28\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2\) और \(c=-2\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(3)(-2)=28\)। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और भिन्न हैं; तथा \(28\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि विविक्तकर \(4\) नहीं, बल्कि \(28\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और अपूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-2\), and \(c=-2\), so \(D=(-2)^2-4(3)(-2)=28\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since 28 is not a perfect square, the roots are irrational. Option B is incorrect because the discriminant is 28, not 4. Exam tip: If \(D>0\) and is not a perfect square, the roots are real, distinct, and irrational.
A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)/\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2k, c=9\), इसलिए \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq0\), अर्थात \(k^2\geq9\), जिससे \(k\leq-3\) या \(k\geq3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है और केवल \(k=3\) कहना अधूरा है, क्योंकि \(k=-3\) पर भी वास्तविक समान मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1, b=-2k, c=9\), so \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus, \(4k^2-36\geq0\), which gives \(k^2\geq9\), or \(k\leq-3\) or \(k\geq3\). Option B makes the discriminant negative, while option D is incomplete because \(k=-3\) also gives real equal roots. Exam tip: For real roots, always apply the condition \(D\geq0\).
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a_1=1\), \(b=-2(a+4)\) और \(c=a^2+8a+20\) हैं। इसलिए \(D=4(a+4)^2-4(a^2+8a+20)=-16\), जो प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए ऋणात्मक है। अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और मूलों की संख्या \(0\) है। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूलों की संख्या शून्य होती है; \(D=0\) होने पर एक वास्तविक मूल मिलता है। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a_1=1\), \(b=-2(a+4)\), and \(c=a^2+8a+20\). Thus, \(D=4(a+4)^2-4(a^2+8a+20)=-16\), which is negative for every real value of \(a\). Therefore, the equation has no real roots, so their number is \(0\). Exam tip: \(D<0\) means no real roots, whereas \(D=0\) means one repeated real root.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं होगा/There will be no real roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। जब D < 0 हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; यहाँ D = −4 है। विकल्प C गलत है क्योंकि समान वास्तविक मूल के लिए D = 0 चाहिए, जबकि दो भिन्न वास्तविक मूल के लिए D > 0 आवश्यक है। परीक्षा में विविक्तकर का चिन्ह तुरंत पहचानें: ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक क्रमशः कोई वास्तविक मूल नहीं, समान मूल और भिन्न वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is D = b² − 4ac. When D < 0, the equation has no real roots; here, D = −4. Option C is incorrect because equal real roots require D = 0, while two distinct real roots require D > 0. Exam tip: check the sign of the discriminant—negative, zero and positive indicate no real roots, equal roots and distinct real roots, respectively.
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\), इसलिए \(D=4(2a+1)^2-12(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)\)। अतः \(D\ge0\) के लिए \(a^2+a-2\ge0\) आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर की शर्त लगाएँ, फिर आवश्यकता हो तो असमता का हल निकालें। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) to have real roots, its discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\), so \(D=4(2a+1)^2-12(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)\). Therefore, the required condition is \(a^2+a-2\ge0\). Exam tip: apply the discriminant condition first and solve the resulting inequality only if the question asks for the range of \(a\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2g\) और \(c=g^2-6g+11\) हैं। इसलिए \(D=(2g)^2-4(g^2-6g+11)=24g-44\)। अतः \(24g-44\ge0\), जिससे \(g\ge\frac{11}{6}\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(g=\frac{11}{6}\) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि वह इस सीमा-बिंदु को शामिल नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2g\), and \(c=g^2-6g+11\). Thus, \(D=(2g)^2-4(g^2-6g+11)=24g-44\). Therefore, \(24g-44\ge0\), giving \(g\ge\frac{11}{6}\). At \(g=\frac{11}{6}\), the roots are equal and real, so option B is incorrect because it excludes this boundary value. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\ge0\).
A. वास्तविक मूल होंगे यदि और केवल यदि \(ab\le 0\)/Real roots exist if and only if \(ab\le 0\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=[2(a-b)]^2-4(a+b)^2\) है। अतः \(D=-16ab\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(-16ab\ge 0\), अर्थात \(ab\le 0\)। विकल्प D भी सही नहीं है, क्योंकि समान मूलों की शर्त \(D=0\) से \(ab=0\) मिलती है, न कि सामान्यतः \(a=b\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों की वास्तविकता जाँचने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For the quadratic equation, the discriminant is \(D=[2(a-b)]^2-4(a+b)^2\). Hence, \(D=-16ab\). Real roots require \(D\ge 0\), so \(-16ab\ge 0\), which gives \(ab\le 0\). Option D is also incorrect because equal roots require \(D=0\), giving \(ab=0\), not generally \(a=b\). Exam tip: To determine whether quadratic roots are real, first check the sign of the discriminant.
वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(c+1)\) और \(d=c^2-2c+5\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ad=16(c-1)\)। अतः \(16(c-1)\ge0\), जिससे \(c\ge1\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(c=1\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए केवल \(c>1\) कहना सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(a=1\), \(b=-2(c+1)\), and the constant term is \(c^2-2c+5\), so \(D=b^2-4ac=16(c-1)\). Thus \(16(c-1)\ge0\), giving \(c\ge1\). At \(c=1\), the equation has equal real roots, so the stricter condition \(c>1\) is incorrect. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by imposing \(D\ge0\).
A. \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)/\(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=4(p+2)(2p-9)), इसलिए \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=4(p+2)(2p-9)), so \(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\).
A. \(k\leq\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) या \(k\geq\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+2\), इसलिए \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\)। अतः \(k^2-3k-1\geq0\)। इसके शून्यक \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) और \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) हैं। चूँकि \(k^2-3k-1\) का अग्रणी गुणांक धनात्मक है, असमानता शून्यकों के बाहर सत्य होगी, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(k^2-3k-4\) प्राप्त करना गणना की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) लगाकर परिणामी द्विघात असमानता का चिन्ह-विश्लेषण करें। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+2\), so \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\). Thus, \(k^2-3k-1\geq0\). The zeros of this quadratic are \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) and \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\). Since its leading coefficient is positive, the inequality holds outside the interval between these zeros; hence option A is correct. Option C results from the calculation error of writing \(k^2-3k-4\) instead. Exam tip: Set the discriminant \(D\geq0\), then solve the resulting quadratic inequality using its zeros and sign pattern.
A. \(k\leq\frac{1-2\sqrt{3}}{2}\) या \(k\geq\frac{1+2\sqrt{3}}{2}\)/\(k\leq\frac{1-2\sqrt{3}}{2}\) or \(k\geq\frac{1+2\sqrt{3}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए ((2k-1)2-12\geq0) चाहिए। इसलिए \(2k-1\leq-2\sqrt{3}\) या \(2k-1\geq2\sqrt{3}\)। / For real roots, ((2k-1)2-12\geq0) is needed. Hence \(2k-1\leq-2\sqrt{3}\) or \(2k-1\geq2\sqrt{3}\).
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न मूल \(D=13\)/Two real, irrational and distinct roots \(D=13\)
Explanation
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यहाँ \(a=1, b=-3, c=-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(-1)=13\) है। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; और 13 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय भी होंगे। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में मूलों को परिमेय बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से पहले मूलों के वास्तविक और भिन्न होने का निर्णय करें, फिर देखें कि \(D\) पूर्ण वर्ग है या नहीं। / Here, \(a=1, b=-3, c=-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(-1)=13\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since 13 is not a perfect square, they are also irrational. Hence, option A is correct. Option B is wrong because the roots are not rational. Exam tip: Use \(D>0\) to identify real and distinct roots first, then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
