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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Expert Level 32

समीकरण \(9x^2-6(a+1)x+a^2-3a=0\) की जड़ें वास्तविक हों, इसके लिए \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?

For the quadratic equation \(9x^2-6(a+1)x+a^2-3a=0\) to have real roots, which condition on \(a\) is necessary?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a\ge -\frac{1}{5}\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a+1)\) और \(C=a^2-3a\), इसलिए \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\)। अतः \(36(5a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है और वह \(a=-\frac{1}{5}\) को भी गलत रूप से बाहर कर देता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ; समान जड़ों के लिए \(D=0\) भी मान्य है। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=9\), \(B=-6(a+1)\), and \(C=a^2-3a\). Thus, \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\). Therefore, \(36(5a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac{1}{5}\). Option B reverses the inequality and incorrectly excludes the boundary value \(a=-\frac{1}{5}\). Exam tip: for real roots, use \(D\ge0\); the case \(D=0\) represents equal real roots and is included.

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समीकरण \(9x^2-6(a+1)x+a^2-3a=0\) की जड़ें वास्तविक हों, इसके लिए \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है? / For the quadratic equation \(9x^2-6(a+1)x+a^2-3a=0\) to have real roots, which condition on \(a\) is necessary?

Correct Answer: A. \(a\ge -\frac{1}{5}\). Explanation: द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a+1)\) और \(C=a^2-3a\), इसलिए \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\)। अतः \(36(5a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है और वह \(a=-\frac{1}{5}\) को भी गलत रूप से बाहर कर देता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ; समान जड़ों के लिए \(D=0\) भी मान्य है। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=9\), \(B=-6(a+1)\), and \(C=a^2-3a\). Thus, \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\). Therefore, \(36(5a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac{1}{5}\). Option B reverses the inequality and incorrectly excludes the boundary value \(a=-\frac{1}{5}\). Exam tip: for real roots, use \(D\ge0\); the case \(D=0\) represents equal real roots and is included.