What is the correct condition on λ for real roots of x² + 2(λ−1)x + λ² + 1 = 0?समीकरण x² + 2(λ−1)x + λ² + 1 = 0 के वास्तविक मूलों के लिए λ पर सही शर्त क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: λ≤0λ≤0
For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy D≥0. Here a=1, b=2(λ−1), and c=λ²+1. Therefore D=[2(λ−1)]²−4(1)(λ²+1)=4(λ−1)²−4(λ²+1). Expanding and simplifying gives D=4(λ²−2λ+1−λ²−1)=−8λ. The condition for real roots is −8λ≥0. Dividing by the negative number −8 reverses the inequality, giving λ≤0. Equality λ=0 is included because it produces D=0 and hence equal real roots. Thus option A is correct. Option B has the opposite inequality, option C is unnecessarily restrictive, and option D includes values such as λ=1/2 for which D<0 and the roots are not real.किसी द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए उसका विविक्तकर D≥0 होना आवश्यक है। यहाँ a=1, b=2(λ−1) और c=λ²+1 हैं। इसलिए D=[2(λ−1)]²−4(1)(λ²+1)=4(λ−1)²−4(λ²+1)। विस्तार करने पर D=4(λ²−2λ+1−λ²−1)=−8λ प्राप्त होता है। वास्तविक मूलों के लिए −8λ≥0 होना चाहिए। ऋणात्मक संख्या −8 से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है और λ≤0 मिलता है। λ=0 को शामिल करना जरूरी है, क्योंकि उस स्थिति में D=0 और मूल समान वास्तविक होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B विपरीत शर्त देता है, विकल्प C अनावश्यक रूप से सीमित है, और विकल्प D में λ=1/2 जैसे मान शामिल हैं जिन पर D<0 होता है।
Student feedback
Was this question useful?
👍 0 Helpful 👎 0 Not helpful
Yes 0% No 0%
0 responsesStudent Reviews
No published reviews yet.
