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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

यदि समीकरण \(x^2+2kx+k^2-4k+8=0\) के मूल वास्तविक हों, तो \(k\) के लिए सही शर्त क्या होगी?

If the roots of the equation \(x^2+2kx+k^2-4k+8=0\) are real, what is the correct condition on \(k\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(k\ge 2\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=k^2-4k+8\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\)। अतः \(16(k-2)\ge0\), जिससे \(k\ge2\) प्राप्त होता है। \(k=2\) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए बराबरी का चिह्न भी शामिल होगा। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) होगा। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=k^2-4k+8\). Thus, \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\). Therefore, \(16(k-2)\ge0\), giving \(k\ge2\). At \(k=2\), the roots are equal, so equality must be included. Exam tip: use \(D\ge0\) for real roots, whereas distinct real roots require \(D>0\).

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यदि समीकरण \(x^2+2kx+k^2-4k+8=0\) के मूल वास्तविक हों, तो \(k\) के लिए सही शर्त क्या होगी? / If the roots of the equation \(x^2+2kx+k^2-4k+8=0\) are real, what is the correct condition on \(k\)?

Correct Answer: A. \(k\ge 2\). Explanation: द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=k^2-4k+8\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\)। अतः \(16(k-2)\ge0\), जिससे \(k\ge2\) प्राप्त होता है। \(k=2\) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए बराबरी का चिह्न भी शामिल होगा। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) होगा। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=k^2-4k+8\). Thus, \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\). Therefore, \(16(k-2)\ge0\), giving \(k\ge2\). At \(k=2\), the roots are equal, so equality must be included. Exam tip: use \(D\ge0\) for real roots, whereas distinct real roots require \(D>0\).