समीकरण \(x^2+2(k-1)x+k+2=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(k\) की कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?

Correct Answer: A. \(k\leq\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) या \(k\geq\frac{3+\sqrt{13}}{2}\). Explanation: द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+2\), इसलिए \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\)। अतः \(k^2-3k-1\geq0\)। इसके शून्यक \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) और \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) हैं। चूँकि \(k^2-3k-1\) का अग्रणी गुणांक धनात्मक है, असमानता शून्यकों के बाहर सत्य होगी, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(k^2-3k-4\) प्राप्त करना गणना की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) लगाकर परिणामी द्विघात असमानता का चिन्ह-विश्लेषण करें। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+2\), so \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\). Thus, \(k^2-3k-1\geq0\). The zeros of this quadratic are \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) and \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\). Since its leading coefficient is positive, the inequality holds outside the interval between these zeros; hence option A is correct. Option C results from the calculation error of writing \(k^2-3k-4\) instead. Exam tip: Set the discriminant \(D\geq0\), then solve the resulting quadratic inequality using its zeros and sign pattern.