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A. \\(D=25\\), दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/\\(D=25\\), two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=9,c=14\\), इसलिए \\(D=9^2-4(1)(14)=81-56=25\\)। चूँकि \\(D>0\\) और 25 पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \\(D=0\\) होने पर सही होता। परीक्षा-युक्ति: \\(D>0\\), \\(D=0\\) और \\(D<0\\) से पहले मूलों की संख्या और प्रकृति जाँचें; परिमेयता के लिए देखें कि विविक्तकर पूर्ण वर्ग है या नहीं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1,b=9,c=14\\), so \\(D=9^2-4(1)(14)=81-56=25\\). Since \\(D>0\\) and 25 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Therefore, option A is correct. Option B would apply only when \\(D=0\\). Exam tip: Use the sign of \\(D\\) to determine whether the roots are real and distinct, equal, or non-real; then check whether \\(D\\) is a perfect square to identify rational roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=6\), \(b=7\) और \(c=-3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=7^2-4(6)(-3)=49+72=121\) है। चूँकि \(D>0\) और 121 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। विकल्प B गलत है, क्योंकि अपरिमेय मूल तब मिलते हैं जब \(D>0\) हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के चिह्न और पूर्ण वर्ग होने की जाँच क्रमशः अवश्य करें। / Here, \(a=6\), \(b=7\), and \(c=-3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=7^2-4(6)(-3)=49+72=121\). Since \(D>0\) and 121 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B is incorrect because irrational roots occur when \(D>0\) but is not a perfect square. Exam tip: First check the sign of the discriminant, then check whether it is a perfect square.
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विविक्तकर �Delta=b-2-4ac का उपयोग करते हैं। विकल्प (A) के लिए �Delta=(-11)2-4(1)(18)=49>0 है, इसलिए इसके दो वास्तविक और असमान मूल हैं; वास्तव में मूल 2 और 9 हैं। विकल्प (B) और (D) में �Delta=0 है, इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं, जबकि विकल्प (C) में �Delta=4-24=-20<0 है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: �Delta>0,
elta=0 और
elta<0 क्रमशः दो असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined using the discriminant, �Delta=b-2-4ac. For option (A), �Delta=(-11)2-4(1)(18)=49>0, so the equation has two real and distinct roots; they are 2 and 9. In options (B) and (D), �Delta=0, so the roots are real and equal, while in option (C), �Delta=4-24=-20<0, so its roots are not real. Exam tip: �Delta>0,
elta=0, and
elta<0 indicate two distinct real roots, equal real roots, and non-real roots, respectively.
A. \(k\leq-\frac{3}{2}\) या \(k\geq\frac{3}{2}\)/\(k\leq-\frac{3}{2}\) or \(k\geq\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(4k)2-4(4)(9)=16\(k^2-9\)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(k^2\geq9\) यानी \(k\leq-\frac{3}{2}\) या \(k\geq\frac{3}{2}\)। / Here (D=(4k)2-4(4)(9)=16\(k^2-9\)). For real roots \(k^2\geq9\), so \(k\leq-\frac{3}{2}\) or \(k\geq\frac{3}{2}\).
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तो वर्गमूल \(\sqrt{D}\) वास्तविक नहीं होता, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; मूल सम्मिश्र और परस्पर संयुग्मी होते हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में सबसे पहले \(D\) का मान या उसका चिन्ह जाँचें। / The discriminant of a quadratic equation is \(D=b^2-4ac\). When \(D<0\), \(\sqrt{D}\) is not real, so the equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Equal real roots require \(D=0\), so option B is incorrect. In an exam, first determine the sign of the discriminant.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(A=2\), \(B=-4a\) और \(C=2a^2-3\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\) है। चूँकि \(D=24>0\) प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। इसलिए विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले प्रश्नों में विविक्तकर को सरल करके देखें कि उसका चिह्न पैरामीटर पर निर्भर करता है या नहीं। / For the quadratic equation, \(A=2\), \(B=-4a\), and \(C=2a^2-3\). Its discriminant is \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\). Since \(D=24>0\) for every real value of \(a\), the roots are always real and distinct. Hence option A is correct; equal roots would require \(D=0\). Exam tip: in parameter-based questions, simplify the discriminant fully and check whether its sign depends on the parameter.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\) है। चूँकि \(D>0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले विविक्तकर का मान सरल करें। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\). Since \(D>0\) for every real value of \(p\), both roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic involving a parameter, simplify the discriminant before testing particular parameter values.
यदि किसी वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=2r^2+3\) है, जहाँ \(r\) वास्तविक संख्या है, तो उसके मूलों के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे/The roots will always be real and distinct
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(r\) वास्तविक है, इसलिए \(r^2\ge 0\)। अतः \(D=2r^2+3\ge 3>0\)। द्विघात समीकरण में \(D>0\) होने पर दो वास्तविक और भिन्न मूल प्राप्त होते हैं। समान मूल के लिए \(D=0\) होना आवश्यक है, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के लिए \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) के तीनों मानदंड याद रखें। / Since \(r\) is real, \(r^2\ge 0\). Therefore, \(D=2r^2+3\ge 3>0\). For a quadratic equation, \(D>0\) indicates two real and distinct roots. Equal roots require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: remember the three discriminant tests: \(D>0\) for real and distinct roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.
यहाँ (D=4\(\lambda-1\)2-4\(\lambda^2+1\)=-8\lambda) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(\lambda\le0\)। / Here (D=4\(\lambda-1\)2-4\(\lambda^2+1\)=-8\lambda). For real roots \(D\ge0\), so \(\lambda\le0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2u\) और \(c=u^2+7u\) हैं। इसलिए \(D=(-2u)^2-4(1)(u^2+7u)=-28u\)। अतः \(-28u\ge0\), जिससे \(u\le0\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(D=0\) होने पर समान वास्तविक मूल भी मान्य होते हैं। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge 0\). Here, \(a=1\), \(b=-2u\), and \(c=u^2+7u\), so \(D=(-2u)^2-4(1)(u^2+7u)=-28u\). Thus, \(-28u\ge0\), giving \(u\le0\). Remember that \(D=0\), which gives equal real roots, is also included.
A. \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}<t<\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2t, c=t+4\), इसलिए \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\)। अतः \(t^2-t-4<0\), जिसके शून्यक \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) और \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\) हैं। परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए असमानता इन दोनों शून्यकों के बीच संतुष्ट होती है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) में विविक्तकर के शून्यकों के बीच का अंतराल चुनें, सिरों को शामिल न करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1, b=2t, c=t+4\), so \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\). Thus, \(t^2-t-4<0\), whose zeros are \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) and \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\). Since the corresponding parabola opens upward, the inequality holds between these two zeros. Exam tip: For \(D<0\), choose the interval between the discriminant’s zeros and exclude the endpoints.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\)। अतः \(8(a-1)\ge0\), जिससे \(a\ge1\) प्राप्त होता है। विकल्प C \(a>3\) पर्याप्त तो है, लेकिन आवश्यक और पूर्ण शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले \(D\) को शून्य से बड़ा या बराबर रखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\). Therefore, \(8(a-1)\ge0\), giving \(a\ge1\). Option C, \(a>3\), is sufficient but unnecessarily restrictive; it is not the complete condition. Exam tip: For a parameter-based quadratic equation, begin by setting its discriminant greater than or equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के दो वास्तविक और समान मूल तभी होते हैं जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो। विकल्प (A) में \(a=1, b=-6, c=9\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(1)(9)=36-36=0\)। अतः इसके मूल समान हैं: \(x=3,3\)। विकल्प (B) और (D) में विविक्तकर क्रमशः 4 और 16 है, इसलिए उनके मूल अलग-अलग हैं; विकल्प (C) में विविक्तकर \(-4\) है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल पहचानने के लिए पहले \(D=0\) जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has two real and equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. For option (A), \(a=1, b=-6, c=9\), so \(D=(-6)^2-4(1)(9)=36-36=0\). Hence its roots are equal, namely \(x=3,3\). Options (B) and (D) have discriminants 4 and 16, respectively, so their roots are distinct; option (C) has discriminant \(-4\), so its roots are not real. Exam tip: For equal roots, check directly whether \(D=0\).
यहाँ \(a=3\), \(b=2k\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2k)^2-4(3)(k)=4k(k-3)\) होगा। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq 0\) आवश्यक है, इसलिए \(k(k-3)\geq 0\), जिससे \(k\leq 0\) या \(k\geq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, इसलिए वहाँ मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq 0\) लगाएँ। / Here \(a=3\), \(b=2k\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2k)^2-4(3)(k)=4k(k-3)\). For real roots, \(D\geq 0\), so \(k(k-3)\geq 0\), which gives \(k\leq 0\) or \(k\geq 3\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\geq 0\).
परवलय और x-अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदु ही द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल दर्शाते हैं। यदि परवलय x-अक्ष को न काटता है और न स्पर्श करता है, तो कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं होता; इसलिए विविक्तकर \(D<0\) और कोई वास्तविक मूल नहीं होता। ध्यान रखें, x-अक्ष को केवल स्पर्श करने की स्थिति में \(D=0\) होता है। / The points where the parabola intersects the x-axis represent the real roots of the quadratic equation. If it neither intersects nor touches the x-axis, there is no real intercept; therefore, the discriminant satisfies \(D<0\), and the equation has no real roots. In contrast, touching the x-axis would give \(D=0\).
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \(D=9\)/Two real, rational, and distinct roots \(D=9\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=2\), \(b=-5\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(2)(2)=25-16=9\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय तथा भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है, क्योंकि धनात्मक विविक्तकर के अपरिमेय मूल तभी मिलते हैं जब वह पूर्ण वर्ग न हो। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना परिमेयता सुनिश्चित करता है। / For the given quadratic equation, \(a=2\), \(b=-5\), and \(c=2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(2)(2)=25-16=9\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B is incorrect because a positive discriminant gives irrational roots only when it is not a perfect square. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, while a perfect-square discriminant indicates that the roots are rational.
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के मूल \\(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\) होते हैं। जब \\(D>0\\) होता है, तब \\(\sqrt{D}\\) धनात्मक वास्तविक संख्या होती है, इसलिए प्लस और माइनस से प्राप्त दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न होते हैं। \\(D=0\\) पर मूल समान और \\(D<0\\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) का मान या चिह्न जाँचें। / The roots of a quadratic equation are \\(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\). When \\(D>0\\), \\(\sqrt{D}\\) is a positive real number, so the plus and minus forms give two real and distinct roots. For comparison, \\(D=0\\) gives equal roots, while \\(D<0\\) gives no real roots. In an exam, first calculate or determine the sign of the discriminant \\(D=b^2-4ac\\).
मानक रूप \\(ax^2+bx+c=0\\) से \\(a=7\\), \\(b=2\\) और \\(c=3\\) हैं। इसलिए \\(D=b^2-4ac=(2)^2-4(7)(3)=4-84=-80\\)। अतः सही उत्तर -80 है। चूँकि \\(D<0\\), इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में विविक्तकर निकालते समय \\(b\\) के चिह्न सहित उसका वर्ग अवश्य लें। / Comparing the equation with the standard form \\(ax^2+bx+c=0\\), we get \\(a=7\\), \\(b=2\\), and \\(c=3\\). Thus, \\(D=b^2-4ac=(2)^2-4(7)(3)=4-84=-80\\). Therefore, -80 is correct. Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. In exams, remember to use the coefficient of \\(x\\), including its sign, when calculating \\(b^2\\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(3)(1)=36-12=24\)। अतः सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि धनात्मक विविक्तकर दो भिन्न वास्तविक मूलों को दर्शाता है; 36 केवल \(b^2\) का मान है, पूरा विविक्तकर नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=1\), so \(D=(-6)^2-4(3)(1)=36-12=24\). Therefore, option A is correct. Remember that a positive discriminant indicates two distinct real roots; 36 is only the value of \(b^2\), not the complete discriminant.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए दो वास्तविक और भिन्न मूल मिलने वाला कथन असत्य है। दो वास्तविक और भिन्न मूल \(D>0\) होने पर मिलते हैं; \(D=0\) पर दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति याद रखने के लिए \(D>0\), \(D=0\), और \(D<0\) के क्रम को अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D<0\), the equation has no real roots, so the statement claiming two real and distinct roots is false. Two real and distinct roots occur when \(D>0\), while \(D=0\) gives equal real roots. Exam tip: Always check the three cases \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) to determine the nature of the roots.
विकल्प A के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(1)(20)=1\) है। चूँकि \(D>0\) और 1 पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होंगे। वास्तव में समीकरण \((x-4)(x-5)=0\) है, इसलिए मूल 4 और 5 हैं। विकल्प B, C और D के विविक्तकर क्रमशः \(-3,-39,-16\) हैं, इसलिए उनके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होते हैं। / For option A, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(1)(20)=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the equation factors as \((x-4)(x-5)=0\), giving roots 4 and 5. The discriminants of options B, C, and D are \(-3,-39,-16\), respectively, so their roots are not real. Exam tip: For a quadratic equation, \(D>0\) and a perfect-square discriminant indicate distinct real rational roots.
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। यहाँ \(D=-9<0\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B के लिए \(D>0\) और विकल्प C के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित करें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), the equation has no real roots. Here, \(D=-9<0\), so option A is correct. Option B requires \(D>0\), while option C requires \(D=0\). Exam tip: determine the nature of the roots by checking the sign of the discriminant.
यहाँ \(a=5, b=-20, c=20\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(5)(20)=400-400=0\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \(5(x-2)^2=0\) है, अतः दोनों मूल \(x=2\) हैं। याद रखें: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं; \(D>0\) पर वे भिन्न होते हैं। / Here, \(a=5, b=-20, c=20\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(5)(20)=400-400=0\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, the equation becomes \(5(x-2)^2=0\), so both roots are \(x=2\). Exam tip: \(D=0\) gives real and equal roots, whereas \(D>0\) gives distinct real roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \\(D=b^2-4ac\\) है। यहाँ \\(a=3, b=-5, c=2\\\), इसलिए \\(D=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\\\)। चूँकि \\(D>0\\\), इसके दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। परीक्षा में \\(b\\\) के ऋणात्मक चिह्न को वर्ग करते समय सही रूप से \\((-5)^2\\\) लिखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\\), the discriminant is given by \\(D=b^2-4ac\\\). Here, \\(a=3, b=-5, c=2\\\), so \\(D=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\\\). Since \\(D>0\\\), the equation has two distinct real roots. In an exam, remember to include the negative sign of \\(b\\\) before squaring it.
यहाँ \(a=1, b=3, c=7\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=3^2-4(1)(7)=9-28=-19<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर वास्तविक मूलों की संख्या हमेशा 0 होती है। / Here, \(a=1, b=3, c=7\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=3^2-4(1)(7)=9-28=-19<0\). Therefore, the equation has no real roots, so the correct answer is 0. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means there are zero real roots.
A. दोनों मूल वास्तविक और समान हैं/Both roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
विभेदक \(D=b^2-4ac\) मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है। जब \(D=0\), तो दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं तथा प्रत्येक मूल \(x=-\frac{b}{2a}\) होता है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि वह अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) की स्थिति बताता है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को ‘समान वास्तविक मूल’ के रूप में याद रखें। / The discriminant \(D=b^2-4ac\) determines the nature of the roots. When \(D=0\), both roots are real and equal; the repeated root is \(x=-\frac{b}{2a}\). Therefore, option B is incorrect because distinct real roots occur when \(D>0\). Exam tip: remember \(D=0\) as ‘equal real roots’.
A. मूल वास्तविक और भिन्न हैं/The roots are real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर D के आधार पर मूलों की प्रकृति ज्ञात की जाती है। यहाँ D = 4, अर्थात् D > 0 है; इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। D = 0 होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: D > 0, D = 0 और D < 0 को क्रमशः भिन्न वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूलों से जोड़कर याद रखें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant. Here, D = 4, so D > 0; therefore, the roots are real and distinct. Option B is incorrect because equal real roots occur when D = 0. Exam tip: remember D > 0, D = 0 and D < 0 as distinct real, equal real and non-real roots, respectively.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विवर्तक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=1^2-4(6)(1)=-23<0\), इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प C तब सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि यहाँ विवर्तक ऋणात्मक है। परीक्षा-टिप: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=1^2-4(6)(1)=-23<0\), so the equation has no real roots. Option C would apply only if \(D=0\), but the discriminant here is negative. Exam tip: when \(D<0\), the roots are non-real.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2, b=-7, c=3\), इसलिए \(D=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25>0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और भिन्न हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\), जबकि विकल्प C के लिए \(D<0\) होना चाहिए। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2, b=-7, c=3\), so \(D=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25>0\). Therefore, the roots are real and distinct. Option B would apply if \(D=0\), while option C would require \(D<0\). In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। विकल्प A में \(D=2^2-4(1)(10)=-36<0\), इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B में \(D=0\) और विकल्प C तथा D में \(D>0\) है, इसलिए उनमें वास्तविक मूल हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the nature of the roots is determined by the discriminant \(D=b^2-4ac\). For option A, \(D=2^2-4(1)(10)=-36<0\), so it has no real roots. Option B has \(D=0\), while options C and D have \(D>0\), so they have real roots. Exam tip: roots are non-real when \(D<0\).
