If the equation \(x^2+2gx+g^2-6g+11=0\) has real roots, what condition must \(g\) satisfy?यदि समीकरण \(x^2+2gx+g^2-6g+11=0\) के मूल वास्तविक हों, तो \(g\) के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(g\ge\frac{11}{6}\)\(g\ge\frac{11}{6}\)
For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2g\), and \(c=g^2-6g+11\). Thus, \(D=(2g)^2-4(g^2-6g+11)=24g-44\). Therefore, \(24g-44\ge0\), giving \(g\ge\frac{11}{6}\). At \(g=\frac{11}{6}\), the roots are equal and real, so option B is incorrect because it excludes this boundary value. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\ge0\).द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2g\) और \(c=g^2-6g+11\) हैं। इसलिए \(D=(2g)^2-4(g^2-6g+11)=24g-44\)। अतः \(24g-44\ge0\), जिससे \(g\ge\frac{11}{6}\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(g=\frac{11}{6}\) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि वह इस सीमा-बिंदु को शामिल नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में पहले \(D\ge0\) लगाएँ।
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