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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

यदि \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण \(x^2-2(a-2b)x+(a+2b)^2=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?

If \(a\) and \(b\) are real numbers, which condition is necessary and sufficient for the equation \(x^2-2(a-2b)x+(a+2b)^2=0\) to have real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(ab\leq 0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\)। अतः \(-32ab\geq0\), जिससे \(ab\leq0\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल पर्याप्त स्थिति है, क्योंकि \(a+2b=0\) से \(ab\leq0\) तो मिलता है, पर यह आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq0\). Here, \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\). Therefore, \(-32ab\geq0\), which gives \(ab\leq0\). Option D is only a sufficient condition: \(a+2b=0\) implies \(ab\leq0\), but it is not necessary. Exam tip: For questions about the nature of quadratic roots, begin by calculating the discriminant and imposing \(D\geq0\).

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Correct Answer: A. \(ab\leq 0\). Explanation: द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\)। अतः \(-32ab\geq0\), जिससे \(ab\leq0\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल पर्याप्त स्थिति है, क्योंकि \(a+2b=0\) से \(ab\leq0\) तो मिलता है, पर यह आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq0\). Here, \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\). Therefore, \(-32ab\geq0\), which gives \(ab\leq0\). Option D is only a sufficient condition: \(a+2b=0\) implies \(ab\leq0\), but it is not necessary. Exam tip: For questions about the nature of quadratic roots, begin by calculating the discriminant and imposing \(D\geq0\).